Theorem grpassd 13087

Description: A group operation is associative. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpassd.b	|- B = ( Base ` G )
grpassd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpassd.g	|- ( ph -> G e. Grp )
grpassd.1	|- ( ph -> X e. B )
grpassd.2	|- ( ph -> Y e. B )
grpassd.3	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpassd	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem grpassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpassd.g	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpassd.1	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		grpassd.2	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
4		grpassd.3	. 2 |- ( ph -> Z e. B )
5		grpassd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
6		grpassd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
7	5, 6	grpass 13084	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1251	1 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   Grpcgrp 13075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078

This theorem is referenced by: (None)