Theorem grpassd 13594

Description: A group operation is associative. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpassd.b	|- B = ( Base ` G )
grpassd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpassd.g	|- ( ph -> G e. Grp )
grpassd.1	|- ( ph -> X e. B )
grpassd.2	|- ( ph -> Y e. B )
grpassd.3	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpassd	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem grpassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpassd.g	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpassd.1	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		grpassd.2	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
4		grpassd.3	. 2 |- ( ph -> Z e. B )
5		grpassd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
6		grpassd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
7	5, 6	grpass 13591	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1275	1 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   Grpcgrp 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585

This theorem is referenced by: (None)