Theorem grpass 12893

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpass	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 12891	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mndass 12832	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
5	1, 4	sylan 283	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   Basecbs 12465   +g cplusg 12539   Mndcmnd 12824   Grpcgrp 12884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5881  df-inn 8923  df-2 8981  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-plusg 12552  df-sgrp 12815  df-mnd 12825  df-grp 12887

This theorem is referenced by:  grprcan  12917  grprinv  12930  grpinvid1  12931  grpinvid2  12932  grpressid  12938  grplcan  12939  grpasscan1  12940  grpasscan2  12941  grplmulf1o  12951  grpinvadd  12955  grpsubadd  12965  grpaddsubass  12967  grpsubsub4  12970  dfgrp3m  12976  grplactcnv  12979  mulgaddcomlem  13016  mulgaddcom  13017  mulgdirlem  13024  issubg2m  13059  isnsg3  13077  nmzsubg  13080  ssnmz  13081  eqger  13094  eqgcpbl  13098  ringcom  13225  lmodass  13404