Theorem grpass 13141

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpass	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13139	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mndass 13065	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
5	1, 4	sylan 283	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   Mndcmnd 13057   Grpcgrp 13132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135

This theorem is referenced by:  grpassd  13144  grprcan  13169  grprinv  13183  grpinvid1  13184  grpinvid2  13185  grpressid  13193  grplcan  13194  grpasscan1  13195  grpasscan2  13196  grplmulf1o  13206  grpinvadd  13210  grpsubadd  13220  grpaddsubass  13222  grpsubsub4  13225  dfgrp3m  13231  grplactcnv  13234  imasgrp  13241  mulgaddcomlem  13275  mulgaddcom  13276  mulgdirlem  13283  issubg2m  13319  isnsg3  13337  nmzsubg  13340  ssnmz  13341  eqger  13354  eqgcpbl  13358  qusgrp  13362  conjghm  13406  conjnmz  13409  ringcom  13587  lmodass  13859