Theorem grpassd 13618

Description: A group operation is associative. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpassd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpassd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpassd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpassd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpassd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
grpassd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpassd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpassd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		grpassd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpassd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	grpass 13615	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1275	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183  Grpcgrp 13606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-fv 5336  df-ov 6026  df-inn 9149  df-2 9207  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609

This theorem is referenced by: (None)