Theorem indfdc 9298

Description: An indicator function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indfdc	|- ( ( O e. V /\ A C_ O /\ A. x e. O DECID x e. A ) -> ( (𝟭 ` O ) ` A ) : O --> { 0 , 1 } )

Distinct variable groups:   x, A   x, O

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem indfdc

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 9296	. . 3 |- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` A ) = ( y e. O |-> if ( y e. A , 1 , 0 ) ) )
2	1	3adant3 1048	. 2 |- ( ( O e. V /\ A C_ O /\ A. x e. O DECID x e. A ) -> ( (𝟭 ` O ) ` A ) = ( y e. O |-> if ( y e. A , 1 , 0 ) ) )
3		1red 8341	. . . 4 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O /\ A. x e. O DECID x e. A ) /\ y e. O ) -> 1 e. RR )
4		0red 8327	. . . 4 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O /\ A. x e. O DECID x e. A ) /\ y e. O ) -> 0 e. RR )
5		eleq1w 2299	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
6	5	dcbid 850	. . . . 5 |- ( x = y -> (DECID x e. A <-> DECID y e. A ) )
7		simpl3 1033	. . . . 5 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O /\ A. x e. O DECID x e. A ) /\ y e. O ) -> A. x e. O DECID x e. A )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O /\ A. x e. O DECID x e. A ) /\ y e. O ) -> y e. O )
9	6, 7, 8	rspcdva 2934	. . . 4 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O /\ A. x e. O DECID x e. A ) /\ y e. O ) -> DECID y e. A )
10		ifprdc 3819	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ 0 e. RR /\ DECID y e. A ) -> if ( y e. A , 1 , 0 ) e. { 1 , 0 } )
11	3, 4, 9, 10	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O /\ A. x e. O DECID x e. A ) /\ y e. O ) -> if ( y e. A , 1 , 0 ) e. { 1 , 0 } )
12		prcom 3787	. . 3 |- { 1 , 0 } = { 0 , 1 }
13	11, 12	eleqtrdi 2331	. 2 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O /\ A. x e. O DECID x e. A ) /\ y e. O ) -> if ( y e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 } )
14	2, 13	fmpt3d 5864	1 |- ( ( O e. V /\ A C_ O /\ A. x e. O DECID x e. A ) -> ( (𝟭 ` O ) ` A ) : O --> { 0 , 1 } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ifcif 3638   {cpr 3710   |-> cmpt 4192   -->wf 5373   ` cfv 5377   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180  𝟭cind 9293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ind 9294

This theorem is used by: (None)