Theorem ifbid 3579

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
ifbid	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) = if ( ch , A , B ) )

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2		ifbi 3578	. 2 |- ( ( ps <-> ch ) -> if ( ps , A , B ) = if ( ch , A , B ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) = if ( ch , A , B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   ifcif 3558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-if 3559

This theorem is referenced by:  ifbieq1d  3580  ifbieq2d  3582  ifbieq12d  3584  ifandc  3596  ifordc  3597  pw2f1odclem  6892  nnnninf  7187  nnnninf2  7188  nnnninfeq  7189  nninfisollemne  7192  nninfisol  7194  fodjum  7207  fodju0  7208  fodjuomni  7210  fodjumkv  7221  nninfwlporlemd  7233  nninfwlpor  7235  nninfwlpoimlemg  7236  nninfwlpoimlemginf  7237  nninfwlpoim  7239  xaddval  9914  0tonninf  10514  1tonninf  10515  nninfinf  10517  sumeq1  11501  summodc  11529  zsumdc  11530  fsum3  11533  isumss  11537  sumsplitdc  11578  prodeq1f  11698  zproddc  11725  fprodseq  11729  nninfctlemfo  12180  pcmpt  12484  pcmpt2  12485  pcfac  12491  lgsval  15161  lgsneg  15181  lgsdilem  15184  lgsdir2  15190  lgsdir  15192  bj-charfunbi  15373  subctctexmid  15561  nninfalllem1  15568  nninfsellemdc  15570  nninfself  15573  nninfsellemeq  15574  nninfsellemqall  15575  nninfsellemeqinf  15576  nninfomni  15579  nninffeq  15580  dceqnconst  15620  dcapnconst  15621