Theorem ifbid 3567

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
ifbid	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) = if ( ch , A , B ) )

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2		ifbi 3566	. 2 |- ( ( ps <-> ch ) -> if ( ps , A , B ) = if ( ch , A , B ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) = if ( ch , A , B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1363   ifcif 3546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-11 1516  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-if 3547

This theorem is referenced by:  ifbieq1d  3568  ifbieq2d  3570  ifbieq12d  3572  ifandc  3584  ifordc  3585  nnnninf  7138  nnnninf2  7139  nnnninfeq  7140  nninfisollemne  7143  nninfisol  7145  fodjum  7158  fodju0  7159  fodjuomni  7161  fodjumkv  7172  nninfwlporlemd  7184  nninfwlpor  7186  nninfwlpoimlemg  7187  nninfwlpoimlemginf  7188  nninfwlpoim  7190  xaddval  9859  0tonninf  10453  1tonninf  10454  sumeq1  11377  summodc  11405  zsumdc  11406  fsum3  11409  isumss  11413  sumsplitdc  11454  prodeq1f  11574  zproddc  11601  fprodseq  11605  pcmpt  12355  pcmpt2  12356  pcfac  12362  lgsval  14758  lgsneg  14778  lgsdilem  14781  lgsdir2  14787  lgsdir  14789  bj-charfunbi  14916  subctctexmid  15104  nninfalllem1  15111  nninfsellemdc  15113  nninfself  15116  nninfsellemeq  15117  nninfsellemqall  15118  nninfsellemeqinf  15119  nninfomni  15122  nninffeq  15123  dceqnconst  15162  dcapnconst  15163