Theorem ifbid 3578

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
ifbid	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) = if ( ch , A , B ) )

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2		ifbi 3577	. 2 |- ( ( ps <-> ch ) -> if ( ps , A , B ) = if ( ch , A , B ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) = if ( ch , A , B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   ifcif 3557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-if 3558

This theorem is referenced by:  ifbieq1d  3579  ifbieq2d  3581  ifbieq12d  3583  ifandc  3595  ifordc  3596  pw2f1odclem  6890  nnnninf  7185  nnnninf2  7186  nnnninfeq  7187  nninfisollemne  7190  nninfisol  7192  fodjum  7205  fodju0  7206  fodjuomni  7208  fodjumkv  7219  nninfwlporlemd  7231  nninfwlpor  7233  nninfwlpoimlemg  7234  nninfwlpoimlemginf  7235  nninfwlpoim  7237  xaddval  9911  0tonninf  10511  1tonninf  10512  nninfinf  10514  sumeq1  11498  summodc  11526  zsumdc  11527  fsum3  11530  isumss  11534  sumsplitdc  11575  prodeq1f  11695  zproddc  11722  fprodseq  11726  nninfctlemfo  12177  pcmpt  12481  pcmpt2  12482  pcfac  12488  lgsval  15120  lgsneg  15140  lgsdilem  15143  lgsdir2  15149  lgsdir  15151  bj-charfunbi  15303  subctctexmid  15491  nninfalllem1  15498  nninfsellemdc  15500  nninfself  15503  nninfsellemeq  15504  nninfsellemqall  15505  nninfsellemeqinf  15506  nninfomni  15509  nninffeq  15510  dceqnconst  15550  dcapnconst  15551