Theorem indconst0 9302

Description: Indicator of the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst0	|- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) ` (/) ) = ( O X. { 0 } ) )

Proof of Theorem indconst0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3561	. . . 4 |- (/) C_ O
2		indval 9296	. . . 4 |- ( ( O e. V /\ (/) C_ O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` (/) ) = ( y e. O |-> if ( y e. (/) , 1 , 0 ) ) )
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) ` (/) ) = ( y e. O |-> if ( y e. (/) , 1 , 0 ) ) )
4		noel 3525	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
5	4	iffalsei 3649	. . . . 5 |- if ( y e. (/) , 1 , 0 ) = 0
6		0re 8326	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7	6	elexi 2834	. . . . . 6 |- 0 e. _V
8	7	elsn2 3743	. . . . 5 |- ( if ( y e. (/) , 1 , 0 ) e. { 0 } <-> if ( y e. (/) , 1 , 0 ) = 0 )
9	5, 8	mpbir 146	. . . 4 |- if ( y e. (/) , 1 , 0 ) e. { 0 }
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( ( O e. V /\ y e. O ) -> if ( y e. (/) , 1 , 0 ) e. { 0 } )
11	3, 10	fmpt3d 5864	. 2 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) ` (/) ) : O --> { 0 } )
12		fconst2g 5930	. . 3 |- ( 0 e. RR -> ( ( (𝟭 ` O ) ` (/) ) : O --> { 0 } <-> ( (𝟭 ` O ) ` (/) ) = ( O X. { 0 } ) ) )
13	6, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( ( (𝟭 ` O ) ` (/) ) : O --> { 0 } <-> ( (𝟭 ` O ) ` (/) ) = ( O X. { 0 } ) )
14	11, 13	sylib 122	1 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) ` (/) ) = ( O X. { 0 } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3709   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   -->wf 5373   ` cfv 5377   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180  𝟭cind 9293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ind 9294

This theorem is used by: (None)