Theorem indfval 9308

Description: Value of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indfval	|- ( ( O e. V /\ A C_ O /\ X e. O ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` A ) ` X ) = if ( X e. A , 1 , 0 ) )

Proof of Theorem indfval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 9305	. . 3 |- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` A ) = ( x e. O |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) ) )
2	1	3adant3 1048	. 2 |- ( ( O e. V /\ A C_ O /\ X e. O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` A ) = ( x e. O |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) ) )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O /\ X e. O ) /\ x = X ) -> x = X )
4	3	eleq1d 2307	. . 3 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O /\ X e. O ) /\ x = X ) -> ( x e. A <-> X e. A ) )
5	4	ifbid 3662	. 2 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O /\ X e. O ) /\ x = X ) -> if ( x e. A , 1 , 0 ) = if ( X e. A , 1 , 0 ) )
6		simp3 1030	. 2 |- ( ( O e. V /\ A C_ O /\ X e. O ) -> X e. O )
7		1re 8331	. . . . 5 |- 1 e. RR
8	7	elexi 2834	. . . 4 |- 1 e. _V
9		0re 8332	. . . . 5 |- 0 e. RR
10	9	elexi 2834	. . . 4 |- 0 e. _V
11	8, 10	ifex 4634	. . 3 |- if ( X e. A , 1 , 0 ) e. _V
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ( O e. V /\ A C_ O /\ X e. O ) -> if ( X e. A , 1 , 0 ) e. _V )
13	2, 5, 6, 12	fvmptd 5789	1 |- ( ( O e. V /\ A C_ O /\ X e. O ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` A ) ` X ) = if ( X e. A , 1 , 0 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ifcif 3638   |-> cmpt 4193   ` cfv 5380   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186  𝟭cind 9302

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-rnegex 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ind 9303

This theorem is used by:  ind1  9309  ind0  9310