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Theorem isotilem 6938
Description: Lemma for isoti 6939. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
isotilem |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v, x, y   u, F, v, x, y   u, R, v   u, S, v, x, y
Allowed substitution hints:   A( x, y)   R( x, y)
Proof of Theorem isotilem
StepHypRef Expression
1 isof1o 5748 . . . . . 6 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
2 f1of 5407 . . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
3 ffvelrn 5593 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ u e. A ) -> ( F ` u ) e. B )
43ex 114 . . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( u e. A -> ( F ` u ) e. B ) )
5 ffvelrn 5593 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. B )
65ex 114 . . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( v e. A -> ( F ` v ) e. B ) )
74, 6anim12d 333 . . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) ) )
81, 2, 73syl 17 . . . . 5 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) ) )
98imp 123 . . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) )
10 eqeq1 2161 . . . . . 6 |- ( x = ( F ` u ) -> ( x = y <-> ( F ` u ) = y ) )
11 breq1 3964 . . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` u ) -> ( x S y <-> ( F ` u ) S y ) )
1211notbid 657 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` u ) -> ( -. x S y <-> -. ( F ` u ) S y ) )
13 breq2 3965 . . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` u ) -> ( y S x <-> y S ( F ` u ) ) )
1413notbid 657 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` u ) -> ( -. y S x <-> -. y S ( F ` u ) ) )
1512, 14anbi12d 465 . . . . . 6 |- ( x = ( F ` u ) -> ( ( -. x S y /\ -. y S x ) <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) )
1610, 15bibi12d 234 . . . . 5 |- ( x = ( F ` u ) -> ( ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> ( ( F ` u ) = y <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) ) )
17 eqeq2 2164 . . . . . 6 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( F ` u ) = y <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
18 breq2 3965 . . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( F ` u ) S y <-> ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
1918notbid 657 . . . . . . 7 |- ( y = ( F ` v ) -> ( -. ( F ` u ) S y <-> -. ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
20 breq1 3964 . . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` v ) -> ( y S ( F ` u ) <-> ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
2120notbid 657 . . . . . . 7 |- ( y = ( F ` v ) -> ( -. y S ( F ` u ) <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
2219, 21anbi12d 465 . . . . . 6 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) )
2317, 22bibi12d 234 . . . . 5 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( ( F ` u ) = y <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) <-> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
2416, 23rspc2v 2826 . . . 4 |- ( ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
259, 24syl 14 . . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
26 f1of1 5406 . . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -1-1-> B )
271, 26syl 14 . . . . . 6 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-> B )
28 f1fveq 5713 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
2927, 28sylan 281 . . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
3029bicomd 140 . . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
31 isorel 5749 . . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u R v <-> ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
3231notbid 657 . . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. u R v <-> -. ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
33 isorel 5749 . . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( v R u <-> ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
3433notbid 657 . . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( -. v R u <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
3534ancom2s 556 . . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. v R u <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
3632, 35anbi12d 465 . . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( -. u R v /\ -. v R u ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) )
3730, 36bibi12d 234 . . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
3825, 37sylibrd 168 . 2 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
3938ralrimdvva 2539 1 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 2125   A.wral 2432   class class class wbr 3961   -->wf 5159   -1-1->wf1 5160   -1-1-onto->wf1o 5162   ` cfv 5163   Isom wiso 5164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172
This theorem is referenced by:  isoti  6939
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