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Theorem isotilem 6971
Description: Lemma for isoti 6972. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
isotilem |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v, x, y   u, F, v, x, y   u, R, v   u, S, v, x, y
Allowed substitution hints:   A( x, y)   R( x, y)
Proof of Theorem isotilem
StepHypRef Expression
1 isof1o 5775 . . . . . 6 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
2 f1of 5432 . . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
3 ffvelrn 5618 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ u e. A ) -> ( F ` u ) e. B )
43ex 114 . . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( u e. A -> ( F ` u ) e. B ) )
5 ffvelrn 5618 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. B )
65ex 114 . . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( v e. A -> ( F ` v ) e. B ) )
74, 6anim12d 333 . . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) ) )
81, 2, 73syl 17 . . . . 5 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) ) )
98imp 123 . . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) )
10 eqeq1 2172 . . . . . 6 |- ( x = ( F ` u ) -> ( x = y <-> ( F ` u ) = y ) )
11 breq1 3985 . . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` u ) -> ( x S y <-> ( F ` u ) S y ) )
1211notbid 657 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` u ) -> ( -. x S y <-> -. ( F ` u ) S y ) )
13 breq2 3986 . . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` u ) -> ( y S x <-> y S ( F ` u ) ) )
1413notbid 657 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` u ) -> ( -. y S x <-> -. y S ( F ` u ) ) )
1512, 14anbi12d 465 . . . . . 6 |- ( x = ( F ` u ) -> ( ( -. x S y /\ -. y S x ) <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) )
1610, 15bibi12d 234 . . . . 5 |- ( x = ( F ` u ) -> ( ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> ( ( F ` u ) = y <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) ) )
17 eqeq2 2175 . . . . . 6 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( F ` u ) = y <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
18 breq2 3986 . . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( F ` u ) S y <-> ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
1918notbid 657 . . . . . . 7 |- ( y = ( F ` v ) -> ( -. ( F ` u ) S y <-> -. ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
20 breq1 3985 . . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` v ) -> ( y S ( F ` u ) <-> ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
2120notbid 657 . . . . . . 7 |- ( y = ( F ` v ) -> ( -. y S ( F ` u ) <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
2219, 21anbi12d 465 . . . . . 6 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) )
2317, 22bibi12d 234 . . . . 5 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( ( F ` u ) = y <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) <-> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
2416, 23rspc2v 2843 . . . 4 |- ( ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
259, 24syl 14 . . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
26 f1of1 5431 . . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -1-1-> B )
271, 26syl 14 . . . . . 6 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-> B )
28 f1fveq 5740 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
2927, 28sylan 281 . . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
3029bicomd 140 . . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
31 isorel 5776 . . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u R v <-> ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
3231notbid 657 . . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. u R v <-> -. ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
33 isorel 5776 . . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( v R u <-> ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
3433notbid 657 . . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( -. v R u <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
3534ancom2s 556 . . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. v R u <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
3632, 35anbi12d 465 . . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( -. u R v /\ -. v R u ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) )
3730, 36bibi12d 234 . . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
3825, 37sylibrd 168 . 2 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
3938ralrimdvva 2551 1 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   class class class wbr 3982   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188   Isom wiso 5189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197
This theorem is referenced by:  isoti  6972
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