Theorem isotilem 6842

Description: Lemma for isoti 6843. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isotilem	|- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v, x, y   u, F, v, x, y   u, R, v   u, S, v, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   R( x, y)

Proof of Theorem isotilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5660	. . . . . 6 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
2		f1of 5321	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
3		ffvelrn 5505	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ u e. A ) -> ( F ` u ) e. B )
4	3	ex 114	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( u e. A -> ( F ` u ) e. B ) )
5		ffvelrn 5505	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. B )
6	5	ex 114	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( v e. A -> ( F ` v ) e. B ) )
7	4, 6	anim12d 331	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) ) )
8	1, 2, 7	3syl 17	. . . . 5 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) ) )
9	8	imp 123	. . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) )
10		eqeq1 2119	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` u ) -> ( x = y <-> ( F ` u ) = y ) )
11		breq1 3896	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` u ) -> ( x S y <-> ( F ` u ) S y ) )
12	11	notbid 639	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` u ) -> ( -. x S y <-> -. ( F ` u ) S y ) )
13		breq2 3897	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` u ) -> ( y S x <-> y S ( F ` u ) ) )
14	13	notbid 639	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` u ) -> ( -. y S x <-> -. y S ( F ` u ) ) )
15	12, 14	anbi12d 462	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` u ) -> ( ( -. x S y /\ -. y S x ) <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) )
16	10, 15	bibi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( F ` u ) -> ( ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> ( ( F ` u ) = y <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) ) )
17		eqeq2 2122	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( F ` u ) = y <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
18		breq2 3897	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( F ` u ) S y <-> ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
19	18	notbid 639	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` v ) -> ( -. ( F ` u ) S y <-> -. ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
20		breq1 3896	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` v ) -> ( y S ( F ` u ) <-> ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
21	20	notbid 639	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` v ) -> ( -. y S ( F ` u ) <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
22	19, 21	anbi12d 462	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) )
23	17, 22	bibi12d 234	. . . . 5 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( ( F ` u ) = y <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) <-> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
24	16, 23	rspc2v 2770	. . . 4 |- ( ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
25	9, 24	syl 14	. . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
26		f1of1 5320	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -1-1-> B )
27	1, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-> B )
28		f1fveq 5625	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
29	27, 28	sylan 279	. . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
30	29	bicomd 140	. . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
31		isorel 5661	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u R v <-> ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
32	31	notbid 639	. . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. u R v <-> -. ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
33		isorel 5661	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( v R u <-> ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
34	33	notbid 639	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( -. v R u <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
35	34	ancom2s 538	. . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. v R u <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
36	32, 35	anbi12d 462	. . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( -. u R v /\ -. v R u ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) )
37	30, 36	bibi12d 234	. . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
38	25, 37	sylibrd 168	. 2 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
39	38	ralrimdvva 2489	1 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1312   e. wcel 1461   A.wral 2388   class class class wbr 3893   -->wf 5075   -1-1->wf1 5076   -1-1-onto->wf1o 5078   ` cfv 5079   Isom wiso 5080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-sbc 2877  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088

This theorem is referenced by:  isoti  6843