Theorem isotilem 6999

Description: Lemma for isoti 7000. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isotilem	|- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v, x, y   u, F, v, x, y   u, R, v   u, S, v, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   R( x, y)

Proof of Theorem isotilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5802	. . . . . 6 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
2		f1of 5457	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
3		ffvelcdm 5645	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ u e. A ) -> ( F ` u ) e. B )
4	3	ex 115	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( u e. A -> ( F ` u ) e. B ) )
5		ffvelcdm 5645	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. B )
6	5	ex 115	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( v e. A -> ( F ` v ) e. B ) )
7	4, 6	anim12d 335	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) ) )
8	1, 2, 7	3syl 17	. . . . 5 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) ) )
9	8	imp 124	. . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) )
10		eqeq1 2184	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` u ) -> ( x = y <-> ( F ` u ) = y ) )
11		breq1 4003	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` u ) -> ( x S y <-> ( F ` u ) S y ) )
12	11	notbid 667	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` u ) -> ( -. x S y <-> -. ( F ` u ) S y ) )
13		breq2 4004	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` u ) -> ( y S x <-> y S ( F ` u ) ) )
14	13	notbid 667	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` u ) -> ( -. y S x <-> -. y S ( F ` u ) ) )
15	12, 14	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` u ) -> ( ( -. x S y /\ -. y S x ) <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) )
16	10, 15	bibi12d 235	. . . . 5 |- ( x = ( F ` u ) -> ( ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> ( ( F ` u ) = y <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) ) )
17		eqeq2 2187	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( F ` u ) = y <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
18		breq2 4004	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( F ` u ) S y <-> ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
19	18	notbid 667	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` v ) -> ( -. ( F ` u ) S y <-> -. ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
20		breq1 4003	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` v ) -> ( y S ( F ` u ) <-> ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
21	20	notbid 667	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` v ) -> ( -. y S ( F ` u ) <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
22	19, 21	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) )
23	17, 22	bibi12d 235	. . . . 5 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( ( F ` u ) = y <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) <-> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
24	16, 23	rspc2v 2854	. . . 4 |- ( ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
25	9, 24	syl 14	. . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
26		f1of1 5456	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -1-1-> B )
27	1, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-> B )
28		f1fveq 5767	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
29	27, 28	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
30	29	bicomd 141	. . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
31		isorel 5803	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u R v <-> ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
32	31	notbid 667	. . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. u R v <-> -. ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
33		isorel 5803	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( v R u <-> ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
34	33	notbid 667	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( -. v R u <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
35	34	ancom2s 566	. . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. v R u <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
36	32, 35	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( -. u R v /\ -. v R u ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) )
37	30, 36	bibi12d 235	. . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
38	25, 37	sylibrd 169	. 2 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
39	38	ralrimdvva 2562	1 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4000   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212   Isom wiso 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221

This theorem is referenced by:  isoti  7000