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Theorem isotilem 7173
Description: Lemma for isoti 7174. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
isotilem |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v, x, y   u, F, v, x, y   u, R, v   u, S, v, x, y
Allowed substitution hints:   A( x, y)   R( x, y)
Proof of Theorem isotilem
StepHypRef Expression
1 isof1o 5931 . . . . . 6 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
2 f1of 5572 . . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
3 ffvelcdm 5768 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ u e. A ) -> ( F ` u ) e. B )
43ex 115 . . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( u e. A -> ( F ` u ) e. B ) )
5 ffvelcdm 5768 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. B )
65ex 115 . . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( v e. A -> ( F ` v ) e. B ) )
74, 6anim12d 335 . . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) ) )
81, 2, 73syl 17 . . . . 5 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) ) )
98imp 124 . . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) )
10 eqeq1 2236 . . . . . 6 |- ( x = ( F ` u ) -> ( x = y <-> ( F ` u ) = y ) )
11 breq1 4086 . . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` u ) -> ( x S y <-> ( F ` u ) S y ) )
1211notbid 671 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` u ) -> ( -. x S y <-> -. ( F ` u ) S y ) )
13 breq2 4087 . . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` u ) -> ( y S x <-> y S ( F ` u ) ) )
1413notbid 671 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` u ) -> ( -. y S x <-> -. y S ( F ` u ) ) )
1512, 14anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( x = ( F ` u ) -> ( ( -. x S y /\ -. y S x ) <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) )
1610, 15bibi12d 235 . . . . 5 |- ( x = ( F ` u ) -> ( ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> ( ( F ` u ) = y <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) ) )
17 eqeq2 2239 . . . . . 6 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( F ` u ) = y <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
18 breq2 4087 . . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( F ` u ) S y <-> ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
1918notbid 671 . . . . . . 7 |- ( y = ( F ` v ) -> ( -. ( F ` u ) S y <-> -. ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
20 breq1 4086 . . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` v ) -> ( y S ( F ` u ) <-> ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
2120notbid 671 . . . . . . 7 |- ( y = ( F ` v ) -> ( -. y S ( F ` u ) <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
2219, 21anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) )
2317, 22bibi12d 235 . . . . 5 |- ( y = ( F ` v ) -> ( ( ( F ` u ) = y <-> ( -. ( F ` u ) S y /\ -. y S ( F ` u ) ) ) <-> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
2416, 23rspc2v 2920 . . . 4 |- ( ( ( F ` u ) e. B /\ ( F ` v ) e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
259, 24syl 14 . . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
26 f1of1 5571 . . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -1-1-> B )
271, 26syl 14 . . . . . 6 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-> B )
28 f1fveq 5896 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
2927, 28sylan 283 . . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
3029bicomd 141 . . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
31 isorel 5932 . . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u R v <-> ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
3231notbid 671 . . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. u R v <-> -. ( F ` u ) S ( F ` v ) ) )
33 isorel 5932 . . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( v R u <-> ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
3433notbid 671 . . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( -. v R u <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
3534ancom2s 566 . . . . 5 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( -. v R u <-> -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) )
3632, 35anbi12d 473 . . . 4 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( -. u R v /\ -. v R u ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) )
3730, 36bibi12d 235 . . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> ( -. ( F ` u ) S ( F ` v ) /\ -. ( F ` v ) S ( F ` u ) ) ) ) )
3825, 37sylibrd 169 . 2 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
3938ralrimdvva 2615 1 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4083   -->wf 5314   -1-1->wf1 5315   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318   Isom wiso 5319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327
This theorem is referenced by:  isoti  7174
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