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Theorem isotilem 6680
Description: Lemma for isoti 6681. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
isotilem  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, v   
u, B, v, x, y    u, F, v, x, y    u, R, v    u, S, v, x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    R( x, y)

Proof of Theorem isotilem
StepHypRef Expression
1 isof1o 5568 . . . . . 6  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
2 f1of 5237 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
3 ffvelrn 5416 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  u  e.  A )  ->  ( F `  u
)  e.  B )
43ex 113 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  -> 
( u  e.  A  ->  ( F `  u
)  e.  B ) )
5 ffvelrn 5416 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  v  e.  A )  ->  ( F `  v
)  e.  B )
65ex 113 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  -> 
( v  e.  A  ->  ( F `  v
)  e.  B ) )
74, 6anim12d 328 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  (
( F `  u
)  e.  B  /\  ( F `  v )  e.  B ) ) )
81, 2, 73syl 17 . . . . 5  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  (
( F `  u
)  e.  B  /\  ( F `  v )  e.  B ) ) )
98imp 122 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( ( F `  u )  e.  B  /\  ( F `  v )  e.  B ) )
10 eqeq1 2094 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  (
x  =  y  <->  ( F `  u )  =  y ) )
11 breq1 3840 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  (
x S y  <->  ( F `  u ) S y ) )
1211notbid 627 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  ( -.  x S y  <->  -.  ( F `  u ) S y ) )
13 breq2 3841 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  (
y S x  <->  y S
( F `  u
) ) )
1413notbid 627 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  ( -.  y S x  <->  -.  y S ( F `  u ) ) )
1512, 14anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  (
( -.  x S y  /\  -.  y S x )  <->  ( -.  ( F `  u ) S y  /\  -.  y S ( F `  u ) ) ) )
1610, 15bibi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  (
( x  =  y  <-> 
( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  <-> 
( ( F `  u )  =  y  <-> 
( -.  ( F `
 u ) S y  /\  -.  y S ( F `  u ) ) ) ) )
17 eqeq2 2097 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  (
( F `  u
)  =  y  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
18 breq2 3841 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  (
( F `  u
) S y  <->  ( F `  u ) S ( F `  v ) ) )
1918notbid 627 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  ( -.  ( F `  u
) S y  <->  -.  ( F `  u ) S ( F `  v ) ) )
20 breq1 3840 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  (
y S ( F `
 u )  <->  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) )
2120notbid 627 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  ( -.  y S ( F `
 u )  <->  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) )
2219, 21anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  (
( -.  ( F `
 u ) S y  /\  -.  y S ( F `  u ) )  <->  ( -.  ( F `  u ) S ( F `  v )  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) )
2317, 22bibi12d 233 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  (
( ( F `  u )  =  y  <-> 
( -.  ( F `
 u ) S y  /\  -.  y S ( F `  u ) ) )  <-> 
( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <-> 
( -.  ( F `
 u ) S ( F `  v
)  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) ) )
2416, 23rspc2v 2733 . . . 4  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  B  /\  ( F `  v )  e.  B )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  ( ( F `
 u )  =  ( F `  v
)  <->  ( -.  ( F `  u ) S ( F `  v )  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) ) )
259, 24syl 14 . . 3  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  ( ( F `
 u )  =  ( F `  v
)  <->  ( -.  ( F `  u ) S ( F `  v )  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) ) )
26 f1of1 5236 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -1-1-> B )
271, 26syl 14 . . . . . 6  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-> B )
28 f1fveq 5533 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  v ) )
2927, 28sylan 277 . . . . 5  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <->  u  =  v ) )
3029bicomd 139 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( u  =  v  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
31 isorel 5569 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( u R v  <->  ( F `  u ) S ( F `  v ) ) )
3231notbid 627 . . . . 5  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( -.  u R v  <->  -.  ( F `  u ) S ( F `  v ) ) )
33 isorel 5569 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
v  e.  A  /\  u  e.  A )
)  ->  ( v R u  <->  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) )
3433notbid 627 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
v  e.  A  /\  u  e.  A )
)  ->  ( -.  v R u  <->  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) )
3534ancom2s 533 . . . . 5  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( -.  v R u  <->  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) )
3632, 35anbi12d 457 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( ( -.  u R v  /\  -.  v R u )  <-> 
( -.  ( F `
 u ) S ( F `  v
)  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) )
3730, 36bibi12d 233 . . 3  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( (
u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <-> 
( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <-> 
( -.  ( F `
 u ) S ( F `  v
)  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) ) )
3825, 37sylibrd 167 . 2  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) ) )
3938ralrimdvva 2458 1  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   class class class wbr 3837   -->wf 4998   -1-1->wf1 4999   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002    Isom wiso 5003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011
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