ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsopi Unicode version

Theorem ltsopi 7096
Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltsopi  |-  <N  Or  N.

Proof of Theorem ltsopi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirrv 4433 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  x
2 ltpiord 7095 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( x  <N  x  <->  x  e.  x ) )
32anidms 394 . . . . . 6  |-  ( x  e.  N.  ->  (
x  <N  x  <->  x  e.  x ) )
41, 3mtbiri 649 . . . . 5  |-  ( x  e.  N.  ->  -.  x  <N  x )
54adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
N. )  ->  -.  x  <N  x )
6 pion 7086 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  On )
7 ontr1 4281 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  On  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
983ad2ant3 989 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
10 ltpiord 7095 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  <N  y  <->  x  e.  y ) )
11103adant3 986 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  <N  y  <->  x  e.  y ) )
12 ltpiord 7095 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  <N  z  <->  y  e.  z ) )
13123adant1 984 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
y  <N  z  <->  y  e.  z ) )
1411, 13anbi12d 464 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  <N  y  /\  y  <N  z )  <-> 
( x  e.  y  /\  y  e.  z ) ) )
15 ltpiord 7095 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( x  <N  z  <->  x  e.  z ) )
16153adant2 985 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  <N  z  <->  x  e.  z ) )
179, 14, 163imtr4d 202 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  <N  y  /\  y  <N  z )  ->  x  <N  z
) )
1817adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e. 
N. ) )  -> 
( ( x  <N  y  /\  y  <N  z
)  ->  x  <N  z ) )
195, 18ispod 4196 . . 3  |-  ( T. 
->  <N  Po  N. )
20 pinn 7085 . . . . . 6  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
21 pinn 7085 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
22 nntri3or 6357 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
2320, 21, 22syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
24 biidd 171 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  =  y  <-> 
x  =  y ) )
25 ltpiord 7095 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( y  <N  x  <->  y  e.  x ) )
2625ancoms 266 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  <N  x  <->  y  e.  x ) )
2710, 24, 263orbi123d 1274 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x
)  <->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2823, 27mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x ) )
2928adantl 275 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. ) )  -> 
( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x ) )
3019, 29issod 4211 . 2  |-  ( T. 
->  <N  Or  N. )
3130mptru 1325 1  |-  <N  Or  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 946    /\ w3a 947   T. wtru 1317    e. wcel 1465   class class class wbr 3899    Or wor 4187   Oncon0 4255   omcom 4474   N.cnpi 7048    <N clti 7051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-ni 7080  df-lti 7083
This theorem is referenced by:  ltsonq  7174
  Copyright terms: Public domain W3C validator