Theorem ltsopi 7432

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	|- <N Or N.

Proof of Theorem ltsopi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4595	. . . . . 6 |- -. x e. x
2		ltpiord 7431	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ x e. N. ) -> ( x <N x <-> x e. x ) )
3	2	anidms 397	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> ( x <N x <-> x e. x ) )
4	1, 3	mtbiri 676	. . . . 5 |- ( x e. N. -> -. x <N x )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. N. ) -> -. x <N x )
6		pion 7422	. . . . . . . 8 |- ( z e. N. -> z e. On )
7		ontr1 4435	. . . . . . . 8 |- ( z e. On -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. N. -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
9	8	3ad2ant3 1022	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
10		ltpiord 7431	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x <N y <-> x e. y ) )
11	10	3adant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N y <-> x e. y ) )
12		ltpiord 7431	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y <N z <-> y e. z ) )
13	12	3adant1 1017	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y <N z <-> y e. z ) )
14	11, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) ) )
15		ltpiord 7431	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N z <-> x e. z ) )
16	15	3adant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N z <-> x e. z ) )
17	9, 14, 16	3imtr4d 203	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) -> x <N z ) )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) -> x <N z ) )
19	5, 18	ispod 4350	. . 3 |- ( T. -> <N Po N. )
20		pinn 7421	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> x e. om )
21		pinn 7421	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> y e. om )
22		nntri3or 6578	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
23	20, 21, 22	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
24		biidd 172	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x = y <-> x = y ) )
25		ltpiord 7431	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. ) -> ( y <N x <-> y e. x ) )
26	25	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( y <N x <-> y e. x ) )
27	10, 24, 26	3orbi123d 1323	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
28	23, 27	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) )
29	28	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) )
30	19, 29	issod 4365	. 2 |- ( T. -> <N Or N. )
31	30	mptru 1381	1 |- <N Or N.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 979   /\ w3a 980   T. wtru 1373   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   Or wor 4341   Oncon0 4409   omcom 4637   N.cnpi 7384   <N clti 7387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-tr 4142  df-eprel 4335  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-ni 7416  df-lti 7419

This theorem is referenced by:  ltsonq  7510