ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsopi Unicode version

Theorem ltsopi 7318
Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltsopi  |-  <N  Or  N.

Proof of Theorem ltsopi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirrv 4547 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  x
2 ltpiord 7317 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( x  <N  x  <->  x  e.  x ) )
32anidms 397 . . . . . 6  |-  ( x  e.  N.  ->  (
x  <N  x  <->  x  e.  x ) )
41, 3mtbiri 675 . . . . 5  |-  ( x  e.  N.  ->  -.  x  <N  x )
54adantl 277 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
N. )  ->  -.  x  <N  x )
6 pion 7308 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  On )
7 ontr1 4389 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  On  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
983ad2ant3 1020 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
10 ltpiord 7317 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  <N  y  <->  x  e.  y ) )
11103adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  <N  y  <->  x  e.  y ) )
12 ltpiord 7317 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  <N  z  <->  y  e.  z ) )
13123adant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
y  <N  z  <->  y  e.  z ) )
1411, 13anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  <N  y  /\  y  <N  z )  <-> 
( x  e.  y  /\  y  e.  z ) ) )
15 ltpiord 7317 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( x  <N  z  <->  x  e.  z ) )
16153adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  <N  z  <->  x  e.  z ) )
179, 14, 163imtr4d 203 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  <N  y  /\  y  <N  z )  ->  x  <N  z
) )
1817adantl 277 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e. 
N. ) )  -> 
( ( x  <N  y  /\  y  <N  z
)  ->  x  <N  z ) )
195, 18ispod 4304 . . 3  |-  ( T. 
->  <N  Po  N. )
20 pinn 7307 . . . . . 6  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
21 pinn 7307 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
22 nntri3or 6493 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
2320, 21, 22syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
24 biidd 172 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  =  y  <-> 
x  =  y ) )
25 ltpiord 7317 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( y  <N  x  <->  y  e.  x ) )
2625ancoms 268 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  <N  x  <->  y  e.  x ) )
2710, 24, 263orbi123d 1311 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x
)  <->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2823, 27mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x ) )
2928adantl 277 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. ) )  -> 
( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x ) )
3019, 29issod 4319 . 2  |-  ( T. 
->  <N  Or  N. )
3130mptru 1362 1  |-  <N  Or  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ w3o 977    /\ w3a 978   T. wtru 1354    e. wcel 2148   class class class wbr 4003    Or wor 4295   Oncon0 4363   omcom 4589   N.cnpi 7270    <N clti 7273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-ni 7302  df-lti 7305
This theorem is referenced by:  ltsonq  7396
  Copyright terms: Public domain W3C validator