Theorem ltsopi 7282

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	|- <N Or N.

Proof of Theorem ltsopi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4532	. . . . . 6 |- -. x e. x
2		ltpiord 7281	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ x e. N. ) -> ( x <N x <-> x e. x ) )
3	2	anidms 395	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> ( x <N x <-> x e. x ) )
4	1, 3	mtbiri 670	. . . . 5 |- ( x e. N. -> -. x <N x )
5	4	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. N. ) -> -. x <N x )
6		pion 7272	. . . . . . . 8 |- ( z e. N. -> z e. On )
7		ontr1 4374	. . . . . . . 8 |- ( z e. On -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. N. -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
9	8	3ad2ant3 1015	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
10		ltpiord 7281	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x <N y <-> x e. y ) )
11	10	3adant3 1012	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N y <-> x e. y ) )
12		ltpiord 7281	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y <N z <-> y e. z ) )
13	12	3adant1 1010	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y <N z <-> y e. z ) )
14	11, 13	anbi12d 470	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) ) )
15		ltpiord 7281	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N z <-> x e. z ) )
16	15	3adant2 1011	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N z <-> x e. z ) )
17	9, 14, 16	3imtr4d 202	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) -> x <N z ) )
18	17	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) -> x <N z ) )
19	5, 18	ispod 4289	. . 3 |- ( T. -> <N Po N. )
20		pinn 7271	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> x e. om )
21		pinn 7271	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> y e. om )
22		nntri3or 6472	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
23	20, 21, 22	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
24		biidd 171	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x = y <-> x = y ) )
25		ltpiord 7281	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. ) -> ( y <N x <-> y e. x ) )
26	25	ancoms 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( y <N x <-> y e. x ) )
27	10, 24, 26	3orbi123d 1306	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
28	23, 27	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) )
29	28	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) )
30	19, 29	issod 4304	. 2 |- ( T. -> <N Or N. )
31	30	mptru 1357	1 |- <N Or N.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ w3o 972   /\ w3a 973   T. wtru 1349   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   Or wor 4280   Oncon0 4348   omcom 4574   N.cnpi 7234   <N clti 7237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-ni 7266  df-lti 7269

This theorem is referenced by:  ltsonq  7360