Theorem ltsopi 7321

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	|- <N Or N.

Proof of Theorem ltsopi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4549	. . . . . 6 |- -. x e. x
2		ltpiord 7320	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ x e. N. ) -> ( x <N x <-> x e. x ) )
3	2	anidms 397	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> ( x <N x <-> x e. x ) )
4	1, 3	mtbiri 675	. . . . 5 |- ( x e. N. -> -. x <N x )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. N. ) -> -. x <N x )
6		pion 7311	. . . . . . . 8 |- ( z e. N. -> z e. On )
7		ontr1 4391	. . . . . . . 8 |- ( z e. On -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. N. -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
9	8	3ad2ant3 1020	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
10		ltpiord 7320	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x <N y <-> x e. y ) )
11	10	3adant3 1017	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N y <-> x e. y ) )
12		ltpiord 7320	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y <N z <-> y e. z ) )
13	12	3adant1 1015	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y <N z <-> y e. z ) )
14	11, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) ) )
15		ltpiord 7320	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N z <-> x e. z ) )
16	15	3adant2 1016	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N z <-> x e. z ) )
17	9, 14, 16	3imtr4d 203	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) -> x <N z ) )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) -> x <N z ) )
19	5, 18	ispod 4306	. . 3 |- ( T. -> <N Po N. )
20		pinn 7310	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> x e. om )
21		pinn 7310	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> y e. om )
22		nntri3or 6496	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
23	20, 21, 22	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
24		biidd 172	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x = y <-> x = y ) )
25		ltpiord 7320	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. ) -> ( y <N x <-> y e. x ) )
26	25	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( y <N x <-> y e. x ) )
27	10, 24, 26	3orbi123d 1311	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
28	23, 27	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) )
29	28	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) )
30	19, 29	issod 4321	. 2 |- ( T. -> <N Or N. )
31	30	mptru 1362	1 |- <N Or N.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 977   /\ w3a 978   T. wtru 1354   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   Or wor 4297   Oncon0 4365   omcom 4591   N.cnpi 7273   <N clti 7276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-ni 7305  df-lti 7308

This theorem is referenced by:  ltsonq  7399