Theorem sowlin 4417

Description: A strict order relation satisfies weak linearity. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sowlin	|- ( ( R Or A /\ ( B e. A /\ C e. A /\ D e. A ) ) -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) )

Proof of Theorem sowlin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4091	. . . . 5 |- ( x = B -> ( x R y <-> B R y ) )
2		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( x R z <-> B R z ) )
3	2	orbi1d 798	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( x R z \/ z R y ) <-> ( B R z \/ z R y ) ) )
4	1, 3	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( R Or A -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) <-> ( R Or A -> ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) ) ) )
6		breq2 4092	. . . . 5 |- ( y = C -> ( B R y <-> B R C ) )
7		breq2 4092	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( z R y <-> z R C ) )
8	7	orbi2d 797	. . . . 5 |- ( y = C -> ( ( B R z \/ z R y ) <-> ( B R z \/ z R C ) ) )
9	6, 8	imbi12d 234	. . . 4 |- ( y = C -> ( ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) <-> ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( y = C -> ( ( R Or A -> ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) ) <-> ( R Or A -> ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) ) ) )
11		breq2 4092	. . . . . 6 |- ( z = D -> ( B R z <-> B R D ) )
12		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( z = D -> ( z R C <-> D R C ) )
13	11, 12	orbi12d 800	. . . . 5 |- ( z = D -> ( ( B R z \/ z R C ) <-> ( B R D \/ D R C ) ) )
14	13	imbi2d 230	. . . 4 |- ( z = D -> ( ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) <-> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = D -> ( ( R Or A -> ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) ) <-> ( R Or A -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) ) ) )
16		df-iso 4394	. . . . 5 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
17		3anass 1008	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) <-> ( x e. A /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) )
18		rsp 2579	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( x e. A -> A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
19		rsp2 2582	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
20	18, 19	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( x e. A -> ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
21	20	impd 254	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( ( x e. A /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
22	17, 21	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
23	22	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
24	16, 23	sylbi 121	. . . 4 |- ( R Or A -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
25	24	com12 30	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( R Or A -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
26	5, 10, 15, 25	vtocl3ga 2874	. 2 |- ( ( B e. A /\ C e. A /\ D e. A ) -> ( R Or A -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) ) )
27	26	impcom 125	1 |- ( ( R Or A /\ ( B e. A /\ C e. A /\ D e. A ) ) -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   class class class wbr 4088   Po wpo 4391   Or wor 4392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-iso 4394

This theorem is referenced by:  sotri2  5134  sotri3  5135  suplub2ti  7199  addextpr  7840  cauappcvgprlemloc  7871  caucvgprlemloc  7894  caucvgprprlemloc  7922  caucvgprprlemaddq  7927  ltsosr  7983  suplocsrlem  8027  axpre-ltwlin  8102  xrlelttr  10040  xrltletr  10041  xrletr  10042  xrmaxiflemlub  11808