Theorem sowlin 4250

Description: A strict order relation satisfies weak linearity. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sowlin	|- ( ( R Or A /\ ( B e. A /\ C e. A /\ D e. A ) ) -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) )

Proof of Theorem sowlin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3940	. . . . 5 |- ( x = B -> ( x R y <-> B R y ) )
2		breq1 3940	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( x R z <-> B R z ) )
3	2	orbi1d 781	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( x R z \/ z R y ) <-> ( B R z \/ z R y ) ) )
4	1, 3	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) ) )
5	4	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = B -> ( ( R Or A -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) <-> ( R Or A -> ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) ) ) )
6		breq2 3941	. . . . 5 |- ( y = C -> ( B R y <-> B R C ) )
7		breq2 3941	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( z R y <-> z R C ) )
8	7	orbi2d 780	. . . . 5 |- ( y = C -> ( ( B R z \/ z R y ) <-> ( B R z \/ z R C ) ) )
9	6, 8	imbi12d 233	. . . 4 |- ( y = C -> ( ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) <-> ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) ) )
10	9	imbi2d 229	. . 3 |- ( y = C -> ( ( R Or A -> ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) ) <-> ( R Or A -> ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) ) ) )
11		breq2 3941	. . . . . 6 |- ( z = D -> ( B R z <-> B R D ) )
12		breq1 3940	. . . . . 6 |- ( z = D -> ( z R C <-> D R C ) )
13	11, 12	orbi12d 783	. . . . 5 |- ( z = D -> ( ( B R z \/ z R C ) <-> ( B R D \/ D R C ) ) )
14	13	imbi2d 229	. . . 4 |- ( z = D -> ( ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) <-> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) ) )
15	14	imbi2d 229	. . 3 |- ( z = D -> ( ( R Or A -> ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) ) <-> ( R Or A -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) ) ) )
16		df-iso 4227	. . . . 5 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
17		3anass 967	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) <-> ( x e. A /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) )
18		rsp 2483	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( x e. A -> A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
19		rsp2 2485	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
20	18, 19	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( x e. A -> ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
21	20	impd 252	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( ( x e. A /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
22	17, 21	syl5bi 151	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
23	22	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
24	16, 23	sylbi 120	. . . 4 |- ( R Or A -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
25	24	com12 30	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( R Or A -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
26	5, 10, 15, 25	vtocl3ga 2759	. 2 |- ( ( B e. A /\ C e. A /\ D e. A ) -> ( R Or A -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) ) )
27	26	impcom 124	1 |- ( ( R Or A /\ ( B e. A /\ C e. A /\ D e. A ) ) -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   class class class wbr 3937   Po wpo 4224   Or wor 4225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-iso 4227

This theorem is referenced by:  sotri2  4944  sotri3  4945  suplub2ti  6896  addextpr  7453  cauappcvgprlemloc  7484  caucvgprlemloc  7507  caucvgprprlemloc  7535  caucvgprprlemaddq  7540  ltsosr  7596  suplocsrlem  7640  axpre-ltwlin  7715  xrlelttr  9619  xrltletr  9620  xrletr  9621  xrmaxiflemlub  11049