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Theorem sowlin 4320
Description: A strict order relation satisfies weak linearity. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sowlin  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  A  /\  C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( B R C  ->  ( B R D  \/  D R C ) ) )

Proof of Theorem sowlin
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4006 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
x R y  <->  B R
y ) )
2 breq1 4006 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
x R z  <->  B R
z ) )
32orbi1d 791 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( x R z  \/  z R y )  <->  ( B R z  \/  z R y ) ) )
41, 3imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) )  <->  ( B R y  ->  ( B R z  \/  z R y ) ) ) )
54imbi2d 230 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( R  Or  A  ->  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )  <-> 
( R  Or  A  ->  ( B R y  ->  ( B R z  \/  z R y ) ) ) ) )
6 breq2 4007 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( B R y  <->  B R C ) )
7 breq2 4007 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
z R y  <->  z R C ) )
87orbi2d 790 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( B R z  \/  z R y )  <->  ( B R z  \/  z R C ) ) )
96, 8imbi12d 234 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  (
( B R y  ->  ( B R z  \/  z R y ) )  <->  ( B R C  ->  ( B R z  \/  z R C ) ) ) )
109imbi2d 230 . . 3  |-  ( y  =  C  ->  (
( R  Or  A  ->  ( B R y  ->  ( B R z  \/  z R y ) ) )  <-> 
( R  Or  A  ->  ( B R C  ->  ( B R z  \/  z R C ) ) ) ) )
11 breq2 4007 . . . . . 6  |-  ( z  =  D  ->  ( B R z  <->  B R D ) )
12 breq1 4006 . . . . . 6  |-  ( z  =  D  ->  (
z R C  <->  D R C ) )
1311, 12orbi12d 793 . . . . 5  |-  ( z  =  D  ->  (
( B R z  \/  z R C )  <->  ( B R D  \/  D R C ) ) )
1413imbi2d 230 . . . 4  |-  ( z  =  D  ->  (
( B R C  ->  ( B R z  \/  z R C ) )  <->  ( B R C  ->  ( B R D  \/  D R C ) ) ) )
1514imbi2d 230 . . 3  |-  ( z  =  D  ->  (
( R  Or  A  ->  ( B R C  ->  ( B R z  \/  z R C ) ) )  <-> 
( R  Or  A  ->  ( B R C  ->  ( B R D  \/  D R C ) ) ) ) )
16 df-iso 4297 . . . . 5  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
17 3anass 982 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  A
) ) )
18 rsp 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  ->  (
x  e.  A  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) ) )
19 rsp2 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  ->  (
( y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
2018, 19syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
2120impd 254 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) )
2217, 21biimtrid 152 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
2322adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) )
2416, 23sylbi 121 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
2524com12 30 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( R  Or  A  ->  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) ) )
265, 10, 15, 25vtocl3ga 2807 . 2  |-  ( ( B  e.  A  /\  C  e.  A  /\  D  e.  A )  ->  ( R  Or  A  ->  ( B R C  ->  ( B R D  \/  D R C ) ) ) )
2726impcom 125 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  A  /\  C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( B R C  ->  ( B R D  \/  D R C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4003    Po wpo 4294    Or wor 4295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-iso 4297
This theorem is referenced by:  sotri2  5026  sotri3  5027  suplub2ti  6999  addextpr  7619  cauappcvgprlemloc  7650  caucvgprlemloc  7673  caucvgprprlemloc  7701  caucvgprprlemaddq  7706  ltsosr  7762  suplocsrlem  7806  axpre-ltwlin  7881  xrlelttr  9804  xrltletr  9805  xrletr  9806  xrmaxiflemlub  11251
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