ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  le2tri3i GIF version

Theorem le2tri3i 7591
Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
le2tri3i ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))

Proof of Theorem le2tri3i
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
2 lt.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
3 lt.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
41, 2, 3letri 7590 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
53, 1letri3i 7581 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
65biimpri 131 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 = 𝐵)
74, 6sylan2 280 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
873impb 1139 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐴 = 𝐵)
92, 3, 1letri 7590 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
101, 2letri3i 7581 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵))
1110biimpri 131 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐶𝐵) → 𝐵 = 𝐶)
129, 11sylan2 280 . . . . 5 ((𝐵𝐶 ∧ (𝐶𝐴𝐴𝐵)) → 𝐵 = 𝐶)
13123impb 1139 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐵 = 𝐶)
14133comr 1151 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
153, 1, 2letri 7590 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
163, 2letri3i 7581 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐴))
1716biimpri 131 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐶𝐴) → 𝐴 = 𝐶)
1817eqcomd 2093 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐶𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
1915, 18sylan 277 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
20193impa 1138 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
218, 14, 203jca 1123 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))
223eqlei 7576 . . 3 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
231eqlei 7576 . . 3 (𝐵 = 𝐶𝐵𝐶)
242eqlei 7576 . . 3 (𝐶 = 𝐴𝐶𝐴)
2522, 23, 243anim123i 1128 . 2 ((𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2621, 25impbii 124 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3845  cr 7347  cle 7521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-apti 7458
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-cnv 4446  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator