Theorem lspsnel3 14602

Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnss.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnel3.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnel3.u	|- ( ph -> U e. S )
lspsnel3.x	|- ( ph -> X e. U )
lspsnel3.y	|- ( ph -> Y e. ( N ` { X } ) )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel3	|- ( ph -> Y e. U )

Proof of Theorem lspsnel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel3.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspsnel3.u	. . 3 |- ( ph -> U e. S )
3		lspsnel3.x	. . 3 |- ( ph -> X e. U )
4		lspsnss.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
5		lspsnss.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
6	4, 5	lspsnss 14601	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ U )
8		lspsnel3.y	. 2 |- ( ph -> Y e. ( N ` { X } ) )
9	7, 8	sseldd 3241	1 |- ( ph -> Y e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3213   {csn 3691   ` cfv 5354   LModclmod 14484   LSubSpclss 14549   LSpanclspn 14583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-lmod 14486  df-lssm 14550  df-lsp 14584

This theorem is referenced by: (None)