Theorem lspsnel3 13558

Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lspsnel3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
lspsnel3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lspsnel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspsnel3.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lspsnel3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lspsnss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspsnss.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	4, 5	lspsnss 13557	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
8		lspsnel3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
9	7, 8	sseldd 3168	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ⊆ wss 3141  {csn 3604  ‘cfv 5228  LModclmod 13440  LSubSpclss 13505  LSpanclspn 13539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-lmod 13442  df-lssm 13506  df-lsp 13540

This theorem is referenced by: (None)