Theorem nn0nnaddcl 9274

Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nnaddcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )

Proof of Theorem nn0nnaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8992	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		nn0cn 9253	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
3		addcom 8158	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
5		nnnn0addcl 9273	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N + M ) e. NN )
6	4, 5	eqeltrrd 2271	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )
7	6	ancoms 268	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5919   CCcc 7872   + caddc 7877   NNcn 8984   NN0cn0 9243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-n0 9244

This theorem is referenced by:  nn0p1nn  9282  nnaddm1cl  9381  numnncl  9460  modfzo0difsn  10469