Theorem nn0nnaddcl 9210

Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nnaddcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )

Proof of Theorem nn0nnaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8930	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		nn0cn 9189	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
3		addcom 8097	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
5		nnnn0addcl 9209	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N + M ) e. NN )
6	4, 5	eqeltrrd 2255	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )
7	6	ancoms 268	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5878   CCcc 7812   + caddc 7817   NNcn 8922   NN0cn0 9179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5881  df-inn 8923  df-n0 9180

This theorem is referenced by:  nn0p1nn  9218  nnaddm1cl  9317  numnncl  9396  modfzo0difsn  10398