Theorem nn0nnaddcl 9283

Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nnaddcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )

Proof of Theorem nn0nnaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9001	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		nn0cn 9262	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
3		addcom 8166	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
5		nnnn0addcl 9282	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N + M ) e. NN )
6	4, 5	eqeltrrd 2274	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )
7	6	ancoms 268	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5923   CCcc 7880   + caddc 7885   NNcn 8993   NN0cn0 9252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-addcom 7982  ax-addass 7984  ax-i2m1 7987  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5926  df-inn 8994  df-n0 9253

This theorem is referenced by:  nn0p1nn  9291  nnaddm1cl  9390  numnncl  9469  modfzo0difsn  10490