ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0nnaddcl Unicode version

Theorem nn0nnaddcl 8704
Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0nnaddcl  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nn0nnaddcl
StepHypRef Expression
1 nncn 8430 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2 nn0cn 8683 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
3 addcom 7619 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( N  +  M
)  =  ( M  +  N ) )
41, 2, 3syl2an 283 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  +  M
)  =  ( M  +  N ) )
5 nnnn0addcl 8703 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  +  M
)  e.  NN )
64, 5eqeltrrd 2165 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )
76ancoms 264 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438  (class class class)co 5652   CCcc 7348    + caddc 7353   NNcn 8422   NN0cn0 8673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-i2m1 7450  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-iota 4980  df-fv 5023  df-ov 5655  df-inn 8423  df-n0 8674
This theorem is referenced by:  nn0p1nn  8712  nnaddm1cl  8811  numnncl  8886  modfzo0difsn  9802
  Copyright terms: Public domain W3C validator