Theorem nn0nnaddcl 9237

Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nnaddcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )

Proof of Theorem nn0nnaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8957	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		nn0cn 9216	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
3		addcom 8124	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
5		nnnn0addcl 9236	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N + M ) e. NN )
6	4, 5	eqeltrrd 2267	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )
7	6	ancoms 268	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5896   CCcc 7839   + caddc 7844   NNcn 8949   NN0cn0 9206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-i2m1 7946  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5899  df-inn 8950  df-n0 9207

This theorem is referenced by:  nn0p1nn  9245  nnaddm1cl  9344  numnncl  9423  modfzo0difsn  10426