Theorem nn0nnaddcl 9361

Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nnaddcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )

Proof of Theorem nn0nnaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9079	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		nn0cn 9340	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
3		addcom 8244	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
5		nnnn0addcl 9360	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( N + M ) e. NN )
6	4, 5	eqeltrrd 2285	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )
7	6	ancoms 268	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   CCcc 7958   + caddc 7963   NNcn 9071   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  nn0p1nn  9369  nnaddm1cl  9469  numnncl  9548  modfzo0difsn  10577