Theorem modfzo0difsn 10061

Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modfzo0difsn	|- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) )

Distinct variable groups:   i, J   i, K   i, N

Proof of Theorem modfzo0difsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3164	. . . 4 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> K e. ( 0..^ N ) )
2		elfzoelz 9817	. . . 4 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> K e. ZZ )
4		elfzoelz 9817	. . 3 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
5		zdcle 9031	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> DECID K <_ J )
6		exmiddc 804	. . . 4 |- (DECID K <_ J -> ( K <_ J \/ -. K <_ J ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( K <_ J \/ -. K <_ J ) )
8	3, 4, 7	syl2anr 286	. 2 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K <_ J \/ -. K <_ J ) )
9		zleloe 9005	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( K <_ J <-> ( K < J \/ K = J ) ) )
10	3, 4, 9	syl2anr 286	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K <_ J <-> ( K < J \/ K = J ) ) )
11		elfzo0 9852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
12		elfzo0 9852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. ( 0..^ N ) <-> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
13		nn0cn 8891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( K e. NN0 -> K e. CC )
14	13	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. CC )
15	14	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> K e. CC )
16		nn0cn 8891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J e. NN0 -> J e. CC )
17	16	3ad2ant1 985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. CC )
18	17	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> J e. CC )
19		nncn 8638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN -> N e. CC )
20	19	3ad2ant2 986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. CC )
21	20	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> N e. CC )
22	15, 18, 21	subadd23d 8018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) + N ) = ( K + ( N - J ) ) )
23		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. NN0 )
24		nn0z 8978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J e. NN0 -> J e. ZZ )
25		nnz 8977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
26		znnsub 9009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J < N <-> ( N - J ) e. NN ) )
27	24, 25, 26	syl2an 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( J < N <-> ( N - J ) e. NN ) )
28	27	biimp3a 1306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( N - J ) e. NN )
29		nn0nnaddcl 8912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N - J ) e. NN ) -> ( K + ( N - J ) ) e. NN )
30	23, 28, 29	syl2anr 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( K + ( N - J ) ) e. NN )
31	22, 30	eqeltrd 2191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) + N ) e. NN )
32	31	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) + N ) e. NN )
33		simp2 965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. NN )
34	33	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> N e. NN )
35	34	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> N e. NN )
36		nn0re 8890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
37	36	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. RR )
38	37	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> K e. RR )
39		nn0re 8890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( J e. NN0 -> J e. RR )
40	39	3ad2ant1 985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. RR )
41	40	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> J e. RR )
42	38, 41	sublt0d 8250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) < 0 <-> K < J ) )
43	42	bicomd 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( K < J <-> ( K - J ) < 0 ) )
44	43	biimpa 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( K - J ) < 0 )
45		resubcl 7949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR ) -> ( K - J ) e. RR )
46	37, 40, 45	syl2anr 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( K - J ) e. RR )
47		nnre 8637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> N e. RR )
48	47	3ad2ant2 986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. RR )
49	48	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> N e. RR )
50	46, 49	jca 302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ N e. RR ) )
51	50	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ N e. RR ) )
52		ltaddnegr 8106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K - J ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - J ) < 0 <-> ( ( K - J ) + N ) < N ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) < 0 <-> ( ( K - J ) + N ) < N ) )
54	44, 53	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) + N ) < N )
55		elfzo1 9860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) <-> ( ( ( K - J ) + N ) e. NN /\ N e. NN /\ ( ( K - J ) + N ) < N ) )
56	32, 35, 54, 55	syl3anbrc 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) )
57	56	exp31 359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
58	12, 57	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
59	58	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
60	59	3adant2 983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
61	11, 60	sylbi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
62	1, 61	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
63	62	impcom 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) )
64	63	impcom 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) )
65		oveq1 5735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( ( K - J ) + N ) -> ( i + J ) = ( ( ( K - J ) + N ) + J ) )
66	2	zcnd 9078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> K e. CC )
67	66	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> K e. CC )
68	16	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> J e. CC )
69	68	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> J e. CC )
70	19	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. CC )
71	70	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> N e. CC )
72	67, 69, 71	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) )
73	72	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) )
74	1, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) )
75	74	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) )
76	75	3adant3 984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) )
77	12, 76	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) )
78	77	imp 123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) )
79	78	adantl 273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) )
80		nppcan 7907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( ( K - J ) + N ) + J ) = ( K + N ) )
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( ( K - J ) + N ) + J ) = ( K + N ) )
82	65, 81	sylan9eqr 2169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( ( K - J ) + N ) ) -> ( i + J ) = ( K + N ) )
83	82	oveq1d 5743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( ( K - J ) + N ) ) -> ( ( i + J ) mod N ) = ( ( K + N ) mod N ) )
84	83	eqeq2d 2126	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( ( K - J ) + N ) ) -> ( K = ( ( i + J ) mod N ) <-> K = ( ( K + N ) mod N ) ) )
85	11	biimpi 119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
86	85	a1d 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) )
87	1, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) )
88	87	impcom 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
89	88	adantl 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
90		addmodidr 10039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( ( K + N ) mod N ) = K )
91	90	eqcomd 2120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> K = ( ( K + N ) mod N ) )
92	89, 91	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> K = ( ( K + N ) mod N ) )
93	64, 84, 92	rspcedvd 2766	. . . . . . . 8 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) )
94	93	ex 114	. . . . . . 7 |- ( K < J -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
95		eldifsn 3616	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= J ) )
96		eqneqall 2292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K = J -> ( K =/= J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
97	96	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( K =/= J -> ( K = J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
98	97	adantl 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= J ) -> ( K = J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
99	95, 98	sylbi 120	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( K = J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
100	99	adantl 273	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K = J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
101	100	com12 30	. . . . . . 7 |- ( K = J -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
102	94, 101	jaoi 688	. . . . . 6 |- ( ( K < J \/ K = J ) -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
103	102	com12 30	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( ( K < J \/ K = J ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
104	10, 103	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K <_ J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
105	104	com12 30	. . 3 |- ( K <_ J -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
106		zltnle 9004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J < K <-> -. K <_ J ) )
107	4, 3, 106	syl2an 285	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( J < K <-> -. K <_ J ) )
108	107	bicomd 140	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( -. K <_ J <-> J < K ) )
109	24	3ad2ant1 985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. ZZ )
110		nn0z 8978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
111	110	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. ZZ )
112		znnsub 9009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J < K <-> ( K - J ) e. NN ) )
113	109, 111, 112	syl2anr 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( J < K <-> ( K - J ) e. NN ) )
114	113	biimpa 292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> ( K - J ) e. NN )
115	33	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> N e. NN )
116	115	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> N e. NN )
117		nn0ge0 8906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J e. NN0 -> 0 <_ J )
118	117	3ad2ant1 985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> 0 <_ J )
119	118	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> 0 <_ J )
120		subge02 8159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR ) -> ( 0 <_ J <-> ( K - J ) <_ K ) )
121	36, 40, 120	syl2an 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( 0 <_ J <-> ( K - J ) <_ K ) )
122	119, 121	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( K - J ) <_ K )
123	40	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> J e. RR )
124	36	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> K e. RR )
125	48	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> N e. RR )
126	123, 124, 125	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
127	45	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR ) -> ( K - J ) e. RR )
128	127	3adant3 984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K - J ) e. RR )
129		simp2 965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> K e. RR )
130		simp3 966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> N e. RR )
131	128, 129, 130	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
132	126, 131	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
133		lelttr 7775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( K - J ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( K - J ) <_ K /\ K < N ) -> ( K - J ) < N ) )
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( ( ( K - J ) <_ K /\ K < N ) -> ( K - J ) < N ) )
135	122, 134	mpand 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( K < N -> ( K - J ) < N ) )
136	135	impancom 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K - J ) < N ) )
137	136	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( K - J ) < N )
138	137	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> ( K - J ) < N )
139	114, 116, 138	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) )
140	139	exp31 359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
141	140	3adant2 983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
142	11, 141	sylbi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
143	1, 142	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
144	143	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
145	12, 144	sylbi 120	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
146	145	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) )
147	108, 146	sylbid 149	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( -. K <_ J -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) )
148	147	impcom 124	. . . . . 6 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) )
149		elfzo1 9860	. . . . . 6 |- ( ( K - J ) e. ( 1..^ N ) <-> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) )
150	148, 149	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K - J ) e. ( 1..^ N ) )
151		oveq1 5735	. . . . . . . 8 |- ( i = ( K - J ) -> ( i + J ) = ( ( K - J ) + J ) )
152	1, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> K e. CC )
153	4	zcnd 9078	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. CC )
154		npcan 7894	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ J e. CC ) -> ( ( K - J ) + J ) = K )
155	152, 153, 154	syl2anr 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( ( K - J ) + J ) = K )
156	155	adantl 273	. . . . . . . 8 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( K - J ) + J ) = K )
157	151, 156	sylan9eqr 2169	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( K - J ) ) -> ( i + J ) = K )
158	157	oveq1d 5743	. . . . . 6 |- ( ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( K - J ) ) -> ( ( i + J ) mod N ) = ( K mod N ) )
159	158	eqeq2d 2126	. . . . 5 |- ( ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( K - J ) ) -> ( K = ( ( i + J ) mod N ) <-> K = ( K mod N ) ) )
160		zmodidfzoimp 10020	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( K mod N ) = K )
161	1, 160	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( K mod N ) = K )
162	161	adantl 273	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K mod N ) = K )
163	162	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K mod N ) = K )
164	163	eqcomd 2120	. . . . 5 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> K = ( K mod N ) )
165	150, 159, 164	rspcedvd 2766	. . . 4 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) )
166	165	ex 114	. . 3 |- ( -. K <_ J -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
167	105, 166	jaoi 688	. 2 |- ( ( K <_ J \/ -. K <_ J ) -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
168	8, 167	mpcom 36	1 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680  DECID wdc 802   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   =/= wne 2282   E.wrex 2391   \ cdif 3034   {csn 3493   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   CCcc 7545   RRcr 7546   0cc0 7547   1c1 7548   + caddc 7550   < clt 7724   <_ cle 7725   - cmin 7856   NNcn 8630   NN0cn0 8881   ZZcz 8958  ..^cfzo 9812   mod cmo 9988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-ico 9570  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-fl 9936  df-mod 9989

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