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Theorem modfzo0difsn 10757
Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modfzo0difsn |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) )
Distinct variable groups:   i, J   i, K   i, N
Proof of Theorem modfzo0difsn
StepHypRef Expression
1 eldifi 3341 . . . 4 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> K e. ( 0..^ N ) )
2 elfzoelz 10481 . . . 4 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> K e. ZZ )
31, 2syl 14 . . 3 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> K e. ZZ )
4 elfzoelz 10481 . . 3 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
5 zdcle 9654 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> DECID K <_ J )
6 exmiddc 844 . . . 4 |- (DECID K <_ J -> ( K <_ J \/ -. K <_ J ) )
75, 6syl 14 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( K <_ J \/ -. K <_ J ) )
83, 4, 7syl2anr 290 . 2 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K <_ J \/ -. K <_ J ) )
9 zleloe 9624 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( K <_ J <-> ( K < J \/ K = J ) ) )
103, 4, 9syl2anr 290 . . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K <_ J <-> ( K < J \/ K = J ) ) )
11 elfzo0 10520 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
12 elfzo0 10520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. ( 0..^ N ) <-> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
13 nn0cn 9506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( K e. NN0 -> K e. CC )
1413adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. CC )
1514adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> K e. CC )
16 nn0cn 9506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J e. NN0 -> J e. CC )
17163ad2ant1 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. CC )
1817adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> J e. CC )
19 nncn 9245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN -> N e. CC )
20193ad2ant2 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. CC )
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> N e. CC )
2215, 18, 21subadd23d 8606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) + N ) = ( K + ( N - J ) ) )
23 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. NN0 )
24 nn0z 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J e. NN0 -> J e. ZZ )
25 nnz 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
26 znnsub 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J < N <-> ( N - J ) e. NN ) )
2724, 25, 26syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( J < N <-> ( N - J ) e. NN ) )
2827biimp3a 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( N - J ) e. NN )
29 nn0nnaddcl 9527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N - J ) e. NN ) -> ( K + ( N - J ) ) e. NN )
3023, 28, 29syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( K + ( N - J ) ) e. NN )
3122, 30eqeltrd 2309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) + N ) e. NN )
3231adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) + N ) e. NN )
33 simp2 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. NN )
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> N e. NN )
3534adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> N e. NN )
36 nn0re 9505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
3736adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. RR )
3837adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> K e. RR )
39 nn0re 9505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( J e. NN0 -> J e. RR )
40393ad2ant1 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. RR )
4140adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> J e. RR )
4238, 41sublt0d 8844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) < 0 <-> K < J ) )
4342bicomd 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( K < J <-> ( K - J ) < 0 ) )
4443biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( K - J ) < 0 )
45 resubcl 8537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR ) -> ( K - J ) e. RR )
4637, 40, 45syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( K - J ) e. RR )
47 nnre 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> N e. RR )
48473ad2ant2 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. RR )
4948adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> N e. RR )
5046, 49jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ N e. RR ) )
5150adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ N e. RR ) )
52 ltaddnegr 8699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K - J ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - J ) < 0 <-> ( ( K - J ) + N ) < N ) )
5351, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) < 0 <-> ( ( K - J ) + N ) < N ) )
5444, 53mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) + N ) < N )
55 elfzo1 10530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) <-> ( ( ( K - J ) + N ) e. NN /\ N e. NN /\ ( ( K - J ) + N ) < N ) )
5632, 35, 54, 55syl3anbrc 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) )
5756exp31 364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
5812, 57sylbi 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
5958com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
60593adant2 1043 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
6111, 60sylbi 121 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
621, 61syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) ) )
6362impcom 125 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) ) )
6463impcom 125 . . . . . . . . 9 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1..^ N ) )
65 oveq1 6057 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( ( K - J ) + N ) -> ( i + J ) = ( ( ( K - J ) + N ) + J ) )
662zcnd 9701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> K e. CC )
6766adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> K e. CC )
6816adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> J e. CC )
6968adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> J e. CC )
7019adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. CC )
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> N e. CC )
7267, 69, 713jca 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) )
7372ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) )
741, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) )
7574com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) )
76753adant3 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) )
7712, 76sylbi 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) )
7877imp 124 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) )
7978adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) )
80 nppcan 8495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( ( K - J ) + N ) + J ) = ( K + N ) )
8179, 80syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( ( K - J ) + N ) + J ) = ( K + N ) )
8265, 81sylan9eqr 2287 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( ( K - J ) + N ) ) -> ( i + J ) = ( K + N ) )
8382oveq1d 6065 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( ( K - J ) + N ) ) -> ( ( i + J ) mod N ) = ( ( K + N ) mod N ) )
8483eqeq2d 2244 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( ( K - J ) + N ) ) -> ( K = ( ( i + J ) mod N ) <-> K = ( ( K + N ) mod N ) ) )
8511biimpi 120 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
8685a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) )
871, 86syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) )
8887impcom 125 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
8988adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
90 addmodidr 10735 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( ( K + N ) mod N ) = K )
9190eqcomd 2238 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> K = ( ( K + N ) mod N ) )
9289, 91syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> K = ( ( K + N ) mod N ) )
9364, 84, 92rspcedvd 2927 . . . . . . . 8 |- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) )
9493ex 115 . . . . . . 7 |- ( K < J -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
95 eldifsn 3820 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= J ) )
96 eqneqall 2422 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K = J -> ( K =/= J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
9796com12 30 . . . . . . . . . . 11 |- ( K =/= J -> ( K = J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
9897adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= J ) -> ( K = J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
9995, 98sylbi 121 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( K = J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
10099adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K = J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
101100com12 30 . . . . . . 7 |- ( K = J -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
10294, 101jaoi 724 . . . . . 6 |- ( ( K < J \/ K = J ) -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
103102com12 30 . . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( ( K < J \/ K = J ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
10410, 103sylbid 150 . . . 4 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K <_ J -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
105104com12 30 . . 3 |- ( K <_ J -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
106 zltnle 9623 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J < K <-> -. K <_ J ) )
1074, 3, 106syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( J < K <-> -. K <_ J ) )
108107bicomd 141 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( -. K <_ J <-> J < K ) )
109243ad2ant1 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. ZZ )
110 nn0z 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
111110adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. ZZ )
112 znnsub 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J < K <-> ( K - J ) e. NN ) )
113109, 111, 112syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( J < K <-> ( K - J ) e. NN ) )
114113biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> ( K - J ) e. NN )
11533adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> N e. NN )
116115adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> N e. NN )
117 nn0ge0 9521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J e. NN0 -> 0 <_ J )
1181173ad2ant1 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> 0 <_ J )
119118adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> 0 <_ J )
120 subge02 8752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR ) -> ( 0 <_ J <-> ( K - J ) <_ K ) )
12136, 40, 120syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( 0 <_ J <-> ( K - J ) <_ K ) )
122119, 121mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( K - J ) <_ K )
12340adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> J e. RR )
12436adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> K e. RR )
12548adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> N e. RR )
126123, 124, 1253jca 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
12745ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR ) -> ( K - J ) e. RR )
1281273adant3 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K - J ) e. RR )
129 simp2 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> K e. RR )
130 simp3 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> N e. RR )
131128, 129, 1303jca 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
132126, 131syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
133 lelttr 8362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( K - J ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( K - J ) <_ K /\ K < N ) -> ( K - J ) < N ) )
134132, 133syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( ( ( K - J ) <_ K /\ K < N ) -> ( K - J ) < N ) )
135122, 134mpand 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( K < N -> ( K - J ) < N ) )
136135impancom 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K - J ) < N ) )
137136imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( K - J ) < N )
138137adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> ( K - J ) < N )
139114, 116, 1383jca 1204 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) )
140139exp31 364 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
1411403adant2 1043 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
14211, 141sylbi 121 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
1431, 142syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
144143com12 30 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
14512, 144sylbi 121 . . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) )
146145imp 124 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) )
147108, 146sylbid 150 . . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( -. K <_ J -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) )
148147impcom 125 . . . . . 6 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) )
149 elfzo1 10530 . . . . . 6 |- ( ( K - J ) e. ( 1..^ N ) <-> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) )
150148, 149sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K - J ) e. ( 1..^ N ) )
151 oveq1 6057 . . . . . . . 8 |- ( i = ( K - J ) -> ( i + J ) = ( ( K - J ) + J ) )
1521, 66syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> K e. CC )
1534zcnd 9701 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. CC )
154 npcan 8482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ J e. CC ) -> ( ( K - J ) + J ) = K )
155152, 153, 154syl2anr 290 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( ( K - J ) + J ) = K )
156155adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( K - J ) + J ) = K )
157151, 156sylan9eqr 2287 . . . . . . 7 |- ( ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( K - J ) ) -> ( i + J ) = K )
158157oveq1d 6065 . . . . . 6 |- ( ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( K - J ) ) -> ( ( i + J ) mod N ) = ( K mod N ) )
159158eqeq2d 2244 . . . . 5 |- ( ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( K - J ) ) -> ( K = ( ( i + J ) mod N ) <-> K = ( K mod N ) ) )
160 zmodidfzoimp 10716 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0..^ N ) -> ( K mod N ) = K )
1611, 160syl 14 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) -> ( K mod N ) = K )
162161adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K mod N ) = K )
163162adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K mod N ) = K )
164163eqcomd 2238 . . . . 5 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> K = ( K mod N ) )
165150, 159, 164rspcedvd 2927 . . . 4 |- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) )
166165ex 115 . . 3 |- ( -. K <_ J -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
167105, 166jaoi 724 . 2 |- ( ( K <_ J \/ -. K <_ J ) -> ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) )
1688, 167mpcom 36 1 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   E.wrex 2521   \ cdif 3208   {csn 3689   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   NNcn 9237   NN0cn0 9496   ZZcz 9577  ..^cfzo 10476   mod cmo 10684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-ico 10227  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685
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