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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modfzo0difsn | Unicode version | ||
| Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modfzo0difsn |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^ ![\](setminus.gif "\"){kind=small}     
 ..^    |
, , ,| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | eldifi 3282 |
. . . 4
..^ ..^ | |
| 2 | elfzoelz 10216 |
. . . 4
..^
 | |
| 3 | 1, 2 | syl 14 |
. . 3
..^ |
| 4 | elfzoelz 10216 |
. . 3
..^
| |
| 5 | zdcle 9396 |
. . . 4
DECID  | |
| 6 | exmiddc 837 |
. . . 4
DECID 
 | |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . 3
|
| 8 | 3, 4, 7 | syl2anr 290 |
. 2
..^ ..^ |
| 9 | zleloe 9367 |
. . . . . 6
 
| |
| 10 | 3, 4, 9 | syl2anr 290 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 11 | elfzo0 10252 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ 
 | |
| 12 | elfzo0 10252 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 13 | nn0cn 9253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 | |
| 14 | 13 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 16 | nn0cn 9253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 17 | 16 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 18 | 17 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 19 | nncn 8992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 20 | 19 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 21 | 20 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 22 | 15, 18, 21 | subadd23d 8354 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 23 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 24 | nn0z 9340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 25 | nnz 9339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 26 | znnsub 9371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 27 | 24, 25, 26 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | biimp3a 1356 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | nn0nnaddcl 9274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 30 | 23, 28, 29 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 31 | 22, 30 | eqeltrd 2270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 32 | 31 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 33 | simp2 1000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 34 | 33 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 36 | nn0re 9252 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 | |
| 37 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 38 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 39 | nn0re 9252 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 40 | 39 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 41 | 40 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 42 | 38, 41 | sublt0d 8591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 43 | 42 | bicomd 141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 44 | 43 | biimpa 296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | resubcl 8285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 46 | 37, 40, 45 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | nnre 8991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 48 | 47 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 48 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 50 | 46, 49 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 51 | 50 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 52 | ltaddnegr 8446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 53 | 51, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 54 | 44, 53 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 55 | elfzo1 10260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ | |
| 56 | 32, 35, 54, 55 | syl3anbrc 1183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 57 | 56 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 58 | 12, 57 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^ |
| 59 | 58 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 60 | 59 | 3adant2 1018 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 61 | 11, 60 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
..^ |
| 62 | 1, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ ..^ |
| 63 | 62 | impcom 125 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ ..^ |
| 64 | 63 | impcom 125 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
..^ |
| 65 | oveq1 5926 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 2 | zcnd 9443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 67 | 66 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 68 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 70 | 19 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 71 | 70 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 72 | 67, 69, 71 | 3jca 1179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 73 | 72 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 74 | 1, 73 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 75 | 74 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 76 | 75 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 77 | 12, 76 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 78 | 77 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | 78 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 80 | nppcan 8243 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 81 | 79, 80 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 82 | 65, 81 | sylan9eqr 2248 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 83 | 82 | oveq1d 5934 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 84 | 83 | eqeq2d 2205 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 85 | 11 | biimpi 120 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 86 | 85 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 87 | 1, 86 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 88 | 87 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 89 | 88 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 90 | addmodidr 10447 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 91 | 90 | eqcomd 2199 |
. . . . . . . . . 10
|
| 92 | 89, 91 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 93 | 64, 84, 92 | rspcedvd 2871 |
. . . . . . . 8
..^
..^
..^ |
| 94 | 93 | ex 115 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 95 | eldifsn 3746 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^  | |
| 96 | eqneqall 2374 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ | |
| 97 | 96 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 98 | 97 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^ |
| 99 | 95, 98 | sylbi 121 |
. . . . . . . . 9
..^
..^ |
| 100 | 99 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ ..^ |
| 101 | 100 | com12 30 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 102 | 94, 101 | jaoi 717 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
| 103 | 102 | com12 30 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 104 | 10, 103 | sylbid 150 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ |
| 105 | 104 | com12 30 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 106 | zltnle 9366 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 107 | 4, 3, 106 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 108 | 107 | bicomd 141 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 109 | 24 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 110 | nn0z 9340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 111 | 110 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 112 | znnsub 9371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 113 | 109, 111, 112 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 113 | biimpa 296 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 33 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | nn0ge0 9268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 118 | 117 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 119 | 118 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 120 | subge02 8499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 121 | 36, 40, 120 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 119, 121 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 123 | 40 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 124 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 125 | 48 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 126 | 123, 124, 125 | 3jca 1179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 127 | 45 | ancoms 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 128 | 127 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 129 | simp2 1000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 130 | simp3 1001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 131 | 128, 129, 130 | 3jca 1179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 132 | 126, 131 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 133 | lelttr 8110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 134 | 132, 133 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 135 | 122, 134 | mpand 429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 136 | 135 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 138 | 137 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 139 | 114, 116, 138 | 3jca 1179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 140 | 139 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 141 | 140 | 3adant2 1018 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 142 | 11, 141 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 143 | 1, 142 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 144 | 143 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 145 | 12, 144 | sylbi 121 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 146 | 145 | imp 124 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 147 | 108, 146 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 148 | 147 | impcom 125 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 149 | elfzo1 10260 |
. . . . . 6
..^ | |
| 150 | 148, 149 | sylibr 134 |
. . . . 5
..^
..^
..^ |
| 151 | oveq1 5926 |
. . . . . . . 8
| |
| 152 | 1, 66 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 153 | 4 | zcnd 9443 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 154 | npcan 8230 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 155 | 152, 153, 154 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 156 | 155 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^
..^
|
| 157 | 151, 156 | sylan9eqr 2248 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 158 | 157 | oveq1d 5934 |
. . . . . 6
..^ ..^
|
| 159 | 158 | eqeq2d 2205 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 160 | zmodidfzoimp 10428 |
. . . . . . . . 9
..^
| |
| 161 | 1, 160 | syl 14 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 162 | 161 | adantl 277 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 163 | 162 | adantl 277 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 164 | 163 | eqcomd 2199 |
. . . . 5
..^
..^
|
| 165 | 150, 159, 164 | rspcedvd 2871 |
. . . 4
..^
..^
..^ |
| 166 | 165 | ex 115 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 167 | 105, 166 | jaoi 717 |
. 2
..^ ..^
..^ |
| 168 | 8, 167 | mpcom 36 |
1
..^ ..^
..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 709 DECID wdc 835
w3a 980
wceq 1364
wcel 2164
wne 2364
wrex 2473
cdif 3151
csn 3619
class class class wbr 4030 (class class class)co 5919
cc 7872
cr 7873
cc0 7874
c1 7875
caddc 7877 clt 8056 cle 8057 cmin 8192 cn 8984 cn0 9243 cz 9320 ..^cfzo 10211
cmo 10396 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-sep 4148 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-fv 5263 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-ico 9963 df-fz 10078 df-fzo 10212 df-fl 10342 df-mod 10397 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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