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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modfzo0difsn | Unicode version | ||
| Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modfzo0difsn |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^ ![\](setminus.gif "\"){kind=small}     
 ..^    |
, , ,| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | eldifi 3249 |
. . . 4
..^ ..^ | |
| 2 | elfzoelz 10103 |
. . . 4
..^
 | |
| 3 | 1, 2 | syl 14 |
. . 3
..^ |
| 4 | elfzoelz 10103 |
. . 3
..^
| |
| 5 | zdcle 9288 |
. . . 4
DECID  | |
| 6 | exmiddc 831 |
. . . 4
DECID 
 | |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . 3
|
| 8 | 3, 4, 7 | syl2anr 288 |
. 2
..^ ..^ |
| 9 | zleloe 9259 |
. . . . . 6
 
| |
| 10 | 3, 4, 9 | syl2anr 288 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 11 | elfzo0 10138 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ 
 | |
| 12 | elfzo0 10138 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 13 | nn0cn 9145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 | |
| 14 | 13 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 15 | 14 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 16 | nn0cn 9145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 17 | 16 | 3ad2ant1 1013 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 18 | 17 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 19 | nncn 8886 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 20 | 19 | 3ad2ant2 1014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 21 | 20 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 22 | 15, 18, 21 | subadd23d 8252 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 23 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 24 | nn0z 9232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 25 | nnz 9231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 26 | znnsub 9263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 27 | 24, 25, 26 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | biimp3a 1340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | nn0nnaddcl 9166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 30 | 23, 28, 29 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 31 | 22, 30 | eqeltrd 2247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 32 | 31 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 33 | simp2 993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 34 | 33 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 35 | 34 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 36 | nn0re 9144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 | |
| 37 | 36 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 38 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 39 | nn0re 9144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 40 | 39 | 3ad2ant1 1013 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 41 | 40 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 42 | 38, 41 | sublt0d 8489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 43 | 42 | bicomd 140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 44 | 43 | biimpa 294 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | resubcl 8183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 46 | 37, 40, 45 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | nnre 8885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 48 | 47 | 3ad2ant2 1014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 48 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 50 | 46, 49 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 51 | 50 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 52 | ltaddnegr 8344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 53 | 51, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 54 | 44, 53 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 55 | elfzo1 10146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ | |
| 56 | 32, 35, 54, 55 | syl3anbrc 1176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 57 | 56 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 58 | 12, 57 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^ |
| 59 | 58 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 60 | 59 | 3adant2 1011 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 61 | 11, 60 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
..^ |
| 62 | 1, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ ..^ |
| 63 | 62 | impcom 124 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ ..^ |
| 64 | 63 | impcom 124 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
..^ |
| 65 | oveq1 5860 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 2 | zcnd 9335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 67 | 66 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 68 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 69 | 68 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 70 | 19 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 71 | 70 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 72 | 67, 69, 71 | 3jca 1172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 73 | 72 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 74 | 1, 73 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 75 | 74 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 76 | 75 | 3adant3 1012 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 77 | 12, 76 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 78 | 77 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | 78 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 80 | nppcan 8141 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 81 | 79, 80 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 82 | 65, 81 | sylan9eqr 2225 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 83 | 82 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 84 | 83 | eqeq2d 2182 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 85 | 11 | biimpi 119 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 86 | 85 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 87 | 1, 86 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 88 | 87 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 89 | 88 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 90 | addmodidr 10329 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 91 | 90 | eqcomd 2176 |
. . . . . . . . . 10
|
| 92 | 89, 91 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 93 | 64, 84, 92 | rspcedvd 2840 |
. . . . . . . 8
..^
..^
..^ |
| 94 | 93 | ex 114 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 95 | eldifsn 3710 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^  | |
| 96 | eqneqall 2350 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ | |
| 97 | 96 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 98 | 97 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^ |
| 99 | 95, 98 | sylbi 120 |
. . . . . . . . 9
..^
..^ |
| 100 | 99 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ ..^ |
| 101 | 100 | com12 30 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 102 | 94, 101 | jaoi 711 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
| 103 | 102 | com12 30 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 104 | 10, 103 | sylbid 149 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ |
| 105 | 104 | com12 30 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 106 | zltnle 9258 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 107 | 4, 3, 106 | syl2an 287 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 108 | 107 | bicomd 140 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 109 | 24 | 3ad2ant1 1013 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 110 | nn0z 9232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 111 | 110 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 112 | znnsub 9263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 113 | 109, 111, 112 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 113 | biimpa 294 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 33 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | nn0ge0 9160 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 118 | 117 | 3ad2ant1 1013 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 119 | 118 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 120 | subge02 8397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 121 | 36, 40, 120 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 119, 121 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 123 | 40 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 124 | 36 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 125 | 48 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 126 | 123, 124, 125 | 3jca 1172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 127 | 45 | ancoms 266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 128 | 127 | 3adant3 1012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 129 | simp2 993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 130 | simp3 994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 131 | 128, 129, 130 | 3jca 1172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 132 | 126, 131 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 133 | lelttr 8008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 134 | 132, 133 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 135 | 122, 134 | mpand 427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 136 | 135 | impancom 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 138 | 137 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 139 | 114, 116, 138 | 3jca 1172 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 140 | 139 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 141 | 140 | 3adant2 1011 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 142 | 11, 141 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 143 | 1, 142 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 144 | 143 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 145 | 12, 144 | sylbi 120 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 146 | 145 | imp 123 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 147 | 108, 146 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 148 | 147 | impcom 124 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 149 | elfzo1 10146 |
. . . . . 6
..^ | |
| 150 | 148, 149 | sylibr 133 |
. . . . 5
..^
..^
..^ |
| 151 | oveq1 5860 |
. . . . . . . 8
| |
| 152 | 1, 66 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 153 | 4 | zcnd 9335 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 154 | npcan 8128 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 155 | 152, 153, 154 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 156 | 155 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
..^
..^
|
| 157 | 151, 156 | sylan9eqr 2225 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 158 | 157 | oveq1d 5868 |
. . . . . 6
..^ ..^
|
| 159 | 158 | eqeq2d 2182 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 160 | zmodidfzoimp 10310 |
. . . . . . . . 9
..^
| |
| 161 | 1, 160 | syl 14 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 162 | 161 | adantl 275 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 163 | 162 | adantl 275 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 164 | 163 | eqcomd 2176 |
. . . . 5
..^
..^
|
| 165 | 150, 159, 164 | rspcedvd 2840 |
. . . 4
..^
..^
..^ |
| 166 | 165 | ex 114 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 167 | 105, 166 | jaoi 711 |
. 2
..^ ..^
..^ |
| 168 | 8, 167 | mpcom 36 |
1
..^ ..^
..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 703 DECID wdc 829
w3a 973
wceq 1348
wcel 2141
wne 2340
wrex 2449
cdif 3118
csn 3583
class class class wbr 3989 (class class class)co 5853
cc 7772
cr 7773
cc0 7774
c1 7775
caddc 7777 clt 7954 cle 7955 cmin 8090 cn 8878 cn0 9135 cz 9212 ..^cfzo 10098
cmo 10278 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-sep 4107 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-ico 9851 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-fl 10226 df-mod 10279 |
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