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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modfzo0difsn | Unicode version | ||
| Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modfzo0difsn |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^ ![\](setminus.gif "\"){kind=small}     
 ..^    |
, , ,| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | eldifi 3244 |
. . . 4
..^ ..^ | |
| 2 | elfzoelz 10082 |
. . . 4
..^
 | |
| 3 | 1, 2 | syl 14 |
. . 3
..^ |
| 4 | elfzoelz 10082 |
. . 3
..^
| |
| 5 | zdcle 9267 |
. . . 4
DECID  | |
| 6 | exmiddc 826 |
. . . 4
DECID 
 | |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . 3
|
| 8 | 3, 4, 7 | syl2anr 288 |
. 2
..^ ..^ |
| 9 | zleloe 9238 |
. . . . . 6
 
| |
| 10 | 3, 4, 9 | syl2anr 288 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 11 | elfzo0 10117 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ 
 | |
| 12 | elfzo0 10117 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 13 | nn0cn 9124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 | |
| 14 | 13 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 15 | 14 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 16 | nn0cn 9124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 17 | 16 | 3ad2ant1 1008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 18 | 17 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 19 | nncn 8865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 20 | 19 | 3ad2ant2 1009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 21 | 20 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 22 | 15, 18, 21 | subadd23d 8231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 23 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 24 | nn0z 9211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 25 | nnz 9210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 26 | znnsub 9242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 27 | 24, 25, 26 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | biimp3a 1335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | nn0nnaddcl 9145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 30 | 23, 28, 29 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 31 | 22, 30 | eqeltrd 2243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 32 | 31 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 33 | simp2 988 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 34 | 33 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 35 | 34 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 36 | nn0re 9123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 | |
| 37 | 36 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 38 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 39 | nn0re 9123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 40 | 39 | 3ad2ant1 1008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 41 | 40 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 42 | 38, 41 | sublt0d 8468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 43 | 42 | bicomd 140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 44 | 43 | biimpa 294 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | resubcl 8162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 46 | 37, 40, 45 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | nnre 8864 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 48 | 47 | 3ad2ant2 1009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 48 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 50 | 46, 49 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 51 | 50 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 52 | ltaddnegr 8323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 53 | 51, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 54 | 44, 53 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 55 | elfzo1 10125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ | |
| 56 | 32, 35, 54, 55 | syl3anbrc 1171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 57 | 56 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 58 | 12, 57 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^ |
| 59 | 58 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 60 | 59 | 3adant2 1006 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 61 | 11, 60 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
..^ |
| 62 | 1, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ ..^ |
| 63 | 62 | impcom 124 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ ..^ |
| 64 | 63 | impcom 124 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
..^ |
| 65 | oveq1 5849 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 2 | zcnd 9314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 67 | 66 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 68 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 69 | 68 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 70 | 19 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 71 | 70 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 72 | 67, 69, 71 | 3jca 1167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 73 | 72 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 74 | 1, 73 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 75 | 74 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 76 | 75 | 3adant3 1007 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 77 | 12, 76 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 78 | 77 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | 78 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 80 | nppcan 8120 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 81 | 79, 80 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 82 | 65, 81 | sylan9eqr 2221 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 83 | 82 | oveq1d 5857 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 84 | 83 | eqeq2d 2177 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 85 | 11 | biimpi 119 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 86 | 85 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 87 | 1, 86 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 88 | 87 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 89 | 88 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 90 | addmodidr 10308 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 91 | 90 | eqcomd 2171 |
. . . . . . . . . 10
|
| 92 | 89, 91 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 93 | 64, 84, 92 | rspcedvd 2836 |
. . . . . . . 8
..^
..^
..^ |
| 94 | 93 | ex 114 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 95 | eldifsn 3703 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^  | |
| 96 | eqneqall 2346 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ | |
| 97 | 96 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 98 | 97 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^ |
| 99 | 95, 98 | sylbi 120 |
. . . . . . . . 9
..^
..^ |
| 100 | 99 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ ..^ |
| 101 | 100 | com12 30 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 102 | 94, 101 | jaoi 706 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
| 103 | 102 | com12 30 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 104 | 10, 103 | sylbid 149 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ |
| 105 | 104 | com12 30 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 106 | zltnle 9237 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 107 | 4, 3, 106 | syl2an 287 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 108 | 107 | bicomd 140 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 109 | 24 | 3ad2ant1 1008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 110 | nn0z 9211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 111 | 110 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 112 | znnsub 9242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 113 | 109, 111, 112 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 113 | biimpa 294 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 33 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | nn0ge0 9139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 118 | 117 | 3ad2ant1 1008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 119 | 118 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 120 | subge02 8376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 121 | 36, 40, 120 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 119, 121 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 123 | 40 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 124 | 36 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 125 | 48 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 126 | 123, 124, 125 | 3jca 1167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 127 | 45 | ancoms 266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 128 | 127 | 3adant3 1007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 129 | simp2 988 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 130 | simp3 989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 131 | 128, 129, 130 | 3jca 1167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 132 | 126, 131 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 133 | lelttr 7987 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 134 | 132, 133 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 135 | 122, 134 | mpand 426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 136 | 135 | impancom 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 138 | 137 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 139 | 114, 116, 138 | 3jca 1167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 140 | 139 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 141 | 140 | 3adant2 1006 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 142 | 11, 141 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 143 | 1, 142 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 144 | 143 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 145 | 12, 144 | sylbi 120 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 146 | 145 | imp 123 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 147 | 108, 146 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 148 | 147 | impcom 124 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 149 | elfzo1 10125 |
. . . . . 6
..^ | |
| 150 | 148, 149 | sylibr 133 |
. . . . 5
..^
..^
..^ |
| 151 | oveq1 5849 |
. . . . . . . 8
| |
| 152 | 1, 66 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 153 | 4 | zcnd 9314 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 154 | npcan 8107 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 155 | 152, 153, 154 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 156 | 155 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
..^
..^
|
| 157 | 151, 156 | sylan9eqr 2221 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 158 | 157 | oveq1d 5857 |
. . . . . 6
..^ ..^
|
| 159 | 158 | eqeq2d 2177 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 160 | zmodidfzoimp 10289 |
. . . . . . . . 9
..^
| |
| 161 | 1, 160 | syl 14 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 162 | 161 | adantl 275 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 163 | 162 | adantl 275 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 164 | 163 | eqcomd 2171 |
. . . . 5
..^
..^
|
| 165 | 150, 159, 164 | rspcedvd 2836 |
. . . 4
..^
..^
..^ |
| 166 | 165 | ex 114 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 167 | 105, 166 | jaoi 706 |
. 2
..^ ..^
..^ |
| 168 | 8, 167 | mpcom 36 |
1
..^ ..^
..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 698 DECID wdc 824
w3a 968
wceq 1343
wcel 2136
wne 2336
wrex 2445
cdif 3113
csn 3576
class class class wbr 3982 (class class class)co 5842
cc 7751
cr 7752
cc0 7753
c1 7754
caddc 7756 clt 7933 cle 7934 cmin 8069 cn 8857 cn0 9114 cz 9191 ..^cfzo 10077
cmo 10257 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-sep 4100 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-fv 5196 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-ico 9830 df-fz 9945 df-fzo 10078 df-fl 10205 df-mod 10258 |
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