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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modfzo0difsn | Unicode version | ||
| Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modfzo0difsn |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^ ![\](setminus.gif "\"){kind=small}     
 ..^    |
, , ,| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | eldifi 3257 |
. . . 4
..^ ..^ | |
| 2 | elfzoelz 10133 |
. . . 4
..^
 | |
| 3 | 1, 2 | syl 14 |
. . 3
..^ |
| 4 | elfzoelz 10133 |
. . 3
..^
| |
| 5 | zdcle 9318 |
. . . 4
DECID  | |
| 6 | exmiddc 836 |
. . . 4
DECID 
 | |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . 3
|
| 8 | 3, 4, 7 | syl2anr 290 |
. 2
..^ ..^ |
| 9 | zleloe 9289 |
. . . . . 6
 
| |
| 10 | 3, 4, 9 | syl2anr 290 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 11 | elfzo0 10168 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ 
 | |
| 12 | elfzo0 10168 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 13 | nn0cn 9175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 | |
| 14 | 13 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 16 | nn0cn 9175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 17 | 16 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 18 | 17 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 19 | nncn 8916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 20 | 19 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 21 | 20 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 22 | 15, 18, 21 | subadd23d 8280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 23 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 24 | nn0z 9262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 25 | nnz 9261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 26 | znnsub 9293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 27 | 24, 25, 26 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | biimp3a 1345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | nn0nnaddcl 9196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 30 | 23, 28, 29 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 31 | 22, 30 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 32 | 31 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 33 | simp2 998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 34 | 33 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 36 | nn0re 9174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 | |
| 37 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 38 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 39 | nn0re 9174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 40 | 39 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 41 | 40 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 42 | 38, 41 | sublt0d 8517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 43 | 42 | bicomd 141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 44 | 43 | biimpa 296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | resubcl 8211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 46 | 37, 40, 45 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | nnre 8915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 48 | 47 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 48 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 50 | 46, 49 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 51 | 50 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 52 | ltaddnegr 8372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 53 | 51, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 54 | 44, 53 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 55 | elfzo1 10176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ | |
| 56 | 32, 35, 54, 55 | syl3anbrc 1181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 57 | 56 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 58 | 12, 57 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^ |
| 59 | 58 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 60 | 59 | 3adant2 1016 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 61 | 11, 60 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
..^ |
| 62 | 1, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ ..^ |
| 63 | 62 | impcom 125 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ ..^ |
| 64 | 63 | impcom 125 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
..^ |
| 65 | oveq1 5876 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 2 | zcnd 9365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 67 | 66 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 68 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 70 | 19 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 71 | 70 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 72 | 67, 69, 71 | 3jca 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 73 | 72 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 74 | 1, 73 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 75 | 74 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 76 | 75 | 3adant3 1017 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 77 | 12, 76 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 78 | 77 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | 78 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 80 | nppcan 8169 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 81 | 79, 80 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 82 | 65, 81 | sylan9eqr 2232 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 83 | 82 | oveq1d 5884 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 84 | 83 | eqeq2d 2189 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 85 | 11 | biimpi 120 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 86 | 85 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 87 | 1, 86 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 88 | 87 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 89 | 88 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 90 | addmodidr 10359 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 91 | 90 | eqcomd 2183 |
. . . . . . . . . 10
|
| 92 | 89, 91 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 93 | 64, 84, 92 | rspcedvd 2847 |
. . . . . . . 8
..^
..^
..^ |
| 94 | 93 | ex 115 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 95 | eldifsn 3718 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^  | |
| 96 | eqneqall 2357 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ | |
| 97 | 96 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 98 | 97 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^ |
| 99 | 95, 98 | sylbi 121 |
. . . . . . . . 9
..^
..^ |
| 100 | 99 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ ..^ |
| 101 | 100 | com12 30 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 102 | 94, 101 | jaoi 716 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
| 103 | 102 | com12 30 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 104 | 10, 103 | sylbid 150 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ |
| 105 | 104 | com12 30 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 106 | zltnle 9288 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 107 | 4, 3, 106 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 108 | 107 | bicomd 141 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 109 | 24 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 110 | nn0z 9262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 111 | 110 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 112 | znnsub 9293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 113 | 109, 111, 112 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 113 | biimpa 296 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 33 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | nn0ge0 9190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 118 | 117 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 119 | 118 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 120 | subge02 8425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 121 | 36, 40, 120 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 119, 121 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 123 | 40 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 124 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 125 | 48 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 126 | 123, 124, 125 | 3jca 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 127 | 45 | ancoms 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 128 | 127 | 3adant3 1017 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 129 | simp2 998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 130 | simp3 999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 131 | 128, 129, 130 | 3jca 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 132 | 126, 131 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 133 | lelttr 8036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 134 | 132, 133 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 135 | 122, 134 | mpand 429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 136 | 135 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 138 | 137 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 139 | 114, 116, 138 | 3jca 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 140 | 139 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 141 | 140 | 3adant2 1016 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 142 | 11, 141 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 143 | 1, 142 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 144 | 143 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 145 | 12, 144 | sylbi 121 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 146 | 145 | imp 124 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 147 | 108, 146 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 148 | 147 | impcom 125 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 149 | elfzo1 10176 |
. . . . . 6
..^ | |
| 150 | 148, 149 | sylibr 134 |
. . . . 5
..^
..^
..^ |
| 151 | oveq1 5876 |
. . . . . . . 8
| |
| 152 | 1, 66 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 153 | 4 | zcnd 9365 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 154 | npcan 8156 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 155 | 152, 153, 154 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 156 | 155 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^
..^
|
| 157 | 151, 156 | sylan9eqr 2232 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 158 | 157 | oveq1d 5884 |
. . . . . 6
..^ ..^
|
| 159 | 158 | eqeq2d 2189 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 160 | zmodidfzoimp 10340 |
. . . . . . . . 9
..^
| |
| 161 | 1, 160 | syl 14 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 162 | 161 | adantl 277 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 163 | 162 | adantl 277 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 164 | 163 | eqcomd 2183 |
. . . . 5
..^
..^
|
| 165 | 150, 159, 164 | rspcedvd 2847 |
. . . 4
..^
..^
..^ |
| 166 | 165 | ex 115 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 167 | 105, 166 | jaoi 716 |
. 2
..^ ..^
..^ |
| 168 | 8, 167 | mpcom 36 |
1
..^ ..^
..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 708 DECID wdc 834
w3a 978
wceq 1353
wcel 2148
wne 2347
wrex 2456
cdif 3126
csn 3591
class class class wbr 4000 (class class class)co 5869
cc 7800
cr 7801
cc0 7802
c1 7803
caddc 7805 clt 7982 cle 7983 cmin 8118 cn 8908 cn0 9165 cz 9242 ..^cfzo 10128
cmo 10308 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-ico 9881 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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