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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modfzo0difsn | Unicode version | ||
| Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modfzo0difsn |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^ ![\](setminus.gif "\"){kind=small}     
 ..^    |
, , ,| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | eldifi 3329 |
. . . 4
..^ ..^ | |
| 2 | elfzoelz 10381 |
. . . 4
..^
 | |
| 3 | 1, 2 | syl 14 |
. . 3
..^ |
| 4 | elfzoelz 10381 |
. . 3
..^
| |
| 5 | zdcle 9555 |
. . . 4
DECID  | |
| 6 | exmiddc 843 |
. . . 4
DECID 
 | |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . 3
|
| 8 | 3, 4, 7 | syl2anr 290 |
. 2
..^ ..^ |
| 9 | zleloe 9525 |
. . . . . 6
 
| |
| 10 | 3, 4, 9 | syl2anr 290 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 11 | elfzo0 10420 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ 
 | |
| 12 | elfzo0 10420 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 13 | nn0cn 9411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 | |
| 14 | 13 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 16 | nn0cn 9411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 17 | 16 | 3ad2ant1 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 18 | 17 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 19 | nncn 9150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 20 | 19 | 3ad2ant2 1045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 21 | 20 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 22 | 15, 18, 21 | subadd23d 8511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 23 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 24 | nn0z 9498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 25 | nnz 9497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 26 | znnsub 9530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 27 | 24, 25, 26 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | biimp3a 1381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | nn0nnaddcl 9432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 30 | 23, 28, 29 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 31 | 22, 30 | eqeltrd 2308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 32 | 31 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 33 | simp2 1024 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 34 | 33 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 36 | nn0re 9410 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 | |
| 37 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 38 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 39 | nn0re 9410 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 40 | 39 | 3ad2ant1 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 41 | 40 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 42 | 38, 41 | sublt0d 8749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 43 | 42 | bicomd 141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 44 | 43 | biimpa 296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | resubcl 8442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 46 | 37, 40, 45 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | nnre 9149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 48 | 47 | 3ad2ant2 1045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 48 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 50 | 46, 49 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 51 | 50 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 52 | ltaddnegr 8604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 53 | 51, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 54 | 44, 53 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 55 | elfzo1 10429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ | |
| 56 | 32, 35, 54, 55 | syl3anbrc 1207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 57 | 56 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 58 | 12, 57 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^ |
| 59 | 58 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 60 | 59 | 3adant2 1042 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 61 | 11, 60 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
..^ |
| 62 | 1, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ ..^ |
| 63 | 62 | impcom 125 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ ..^ |
| 64 | 63 | impcom 125 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
..^ |
| 65 | oveq1 6024 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 2 | zcnd 9602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 67 | 66 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 68 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 70 | 19 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 71 | 70 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 72 | 67, 69, 71 | 3jca 1203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 73 | 72 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 74 | 1, 73 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 75 | 74 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 76 | 75 | 3adant3 1043 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 77 | 12, 76 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 78 | 77 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | 78 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 80 | nppcan 8400 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 81 | 79, 80 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 82 | 65, 81 | sylan9eqr 2286 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 83 | 82 | oveq1d 6032 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 84 | 83 | eqeq2d 2243 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 85 | 11 | biimpi 120 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 86 | 85 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 87 | 1, 86 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 88 | 87 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 89 | 88 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 90 | addmodidr 10634 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 91 | 90 | eqcomd 2237 |
. . . . . . . . . 10
|
| 92 | 89, 91 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 93 | 64, 84, 92 | rspcedvd 2916 |
. . . . . . . 8
..^
..^
..^ |
| 94 | 93 | ex 115 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 95 | eldifsn 3800 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^  | |
| 96 | eqneqall 2412 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ | |
| 97 | 96 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 98 | 97 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^ |
| 99 | 95, 98 | sylbi 121 |
. . . . . . . . 9
..^
..^ |
| 100 | 99 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ ..^ |
| 101 | 100 | com12 30 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 102 | 94, 101 | jaoi 723 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
| 103 | 102 | com12 30 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 104 | 10, 103 | sylbid 150 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ |
| 105 | 104 | com12 30 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 106 | zltnle 9524 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 107 | 4, 3, 106 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 108 | 107 | bicomd 141 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 109 | 24 | 3ad2ant1 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 110 | nn0z 9498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 111 | 110 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 112 | znnsub 9530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 113 | 109, 111, 112 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 113 | biimpa 296 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 33 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | nn0ge0 9426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 118 | 117 | 3ad2ant1 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 119 | 118 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 120 | subge02 8657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 121 | 36, 40, 120 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 119, 121 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 123 | 40 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 124 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 125 | 48 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 126 | 123, 124, 125 | 3jca 1203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 127 | 45 | ancoms 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 128 | 127 | 3adant3 1043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 129 | simp2 1024 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 130 | simp3 1025 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 131 | 128, 129, 130 | 3jca 1203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 132 | 126, 131 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 133 | lelttr 8267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 134 | 132, 133 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 135 | 122, 134 | mpand 429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 136 | 135 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 138 | 137 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 139 | 114, 116, 138 | 3jca 1203 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 140 | 139 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 141 | 140 | 3adant2 1042 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 142 | 11, 141 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 143 | 1, 142 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 144 | 143 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 145 | 12, 144 | sylbi 121 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 146 | 145 | imp 124 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 147 | 108, 146 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 148 | 147 | impcom 125 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 149 | elfzo1 10429 |
. . . . . 6
..^ | |
| 150 | 148, 149 | sylibr 134 |
. . . . 5
..^
..^
..^ |
| 151 | oveq1 6024 |
. . . . . . . 8
| |
| 152 | 1, 66 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 153 | 4 | zcnd 9602 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 154 | npcan 8387 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 155 | 152, 153, 154 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 156 | 155 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^
..^
|
| 157 | 151, 156 | sylan9eqr 2286 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 158 | 157 | oveq1d 6032 |
. . . . . 6
..^ ..^
|
| 159 | 158 | eqeq2d 2243 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 160 | zmodidfzoimp 10615 |
. . . . . . . . 9
..^
| |
| 161 | 1, 160 | syl 14 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 162 | 161 | adantl 277 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 163 | 162 | adantl 277 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 164 | 163 | eqcomd 2237 |
. . . . 5
..^
..^
|
| 165 | 150, 159, 164 | rspcedvd 2916 |
. . . 4
..^
..^
..^ |
| 166 | 165 | ex 115 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 167 | 105, 166 | jaoi 723 |
. 2
..^ ..^
..^ |
| 168 | 8, 167 | mpcom 36 |
1
..^ ..^
..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 715 DECID wdc 841
w3a 1004
wceq 1397
wcel 2202
wne 2402
wrex 2511
cdif 3197
csn 3669
class class class wbr 4088 (class class class)co 6017
cc 8029
cr 8030
cc0 8031
c1 8032
caddc 8034 clt 8213 cle 8214 cmin 8349 cn 9142 cn0 9401 cz 9478 ..^cfzo 10376
cmo 10583 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4207 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-q 9853 df-rp 9888 df-ico 10128 df-fz 10243 df-fzo 10377 df-fl 10529 df-mod 10584 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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