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Theorem modfzo0difsn 10368
Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modfzo0difsn  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  (
1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) )
Distinct variable groups:    i, J    i, K    i, N

Proof of Theorem modfzo0difsn
StepHypRef Expression
1 eldifi 3257 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  K  e.  ( 0..^ N ) )
2 elfzoelz 10120 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  K  e.  ZZ )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  K  e.  ZZ )
4 elfzoelz 10120 . . 3  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ZZ )
5 zdcle 9305 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  -> DECID  K  <_  J )
6 exmiddc 836 . . . 4  |-  (DECID  K  <_  J  ->  ( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J
) )
83, 4, 7syl2anr 290 . 2  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J
) )
9 zleloe 9276 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  J  <->  ( K  <  J  \/  K  =  J )
) )
103, 4, 9syl2anr 290 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <_  J  <->  ( K  <  J  \/  K  =  J )
) )
11 elfzo0 10155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) )
12 elfzo0 10155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  <->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
13 nn0cn 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
1413adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  CC )
1514adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  K  e.  CC )
16 nn0cn 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  CC )
17163ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  J  e.  CC )
1817adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  J  e.  CC )
19 nncn 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
20193ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  N  e.  CC )
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  N  e.  CC )
2215, 18, 21subadd23d 8267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  =  ( K  +  ( N  -  J ) ) )
23 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  NN0 )
24 nn0z 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  ZZ )
25 nnz 9248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
26 znnsub 9280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  <  N  <->  ( N  -  J )  e.  NN ) )
2724, 25, 26syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( J  <  N  <->  ( N  -  J )  e.  NN ) )
2827biimp3a 1345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  ( N  -  J )  e.  NN )
29 nn0nnaddcl 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  J
)  e.  NN )  ->  ( K  +  ( N  -  J
) )  e.  NN )
3023, 28, 29syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( K  +  ( N  -  J ) )  e.  NN )
3122, 30eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  NN )
3231adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  +  N
)  e.  NN )
33 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  N  e.  NN )
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  N  e.  NN )
3534adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  ->  N  e.  NN )
36 nn0re 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
3736adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  RR )
3837adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  K  e.  RR )
39 nn0re 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  RR )
40393ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  J  e.  RR )
4140adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  J  e.  RR )
4238, 41sublt0d 8504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  <  0  <->  K  <  J ) )
4342bicomd 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( K  <  J  <->  ( K  -  J )  <  0
) )
4443biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( K  -  J
)  <  0 )
45 resubcl 8198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  RR  /\  J  e.  RR )  ->  ( K  -  J
)  e.  RR )
4637, 40, 45syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( K  -  J )  e.  RR )
47 nnre 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
48473ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  N  e.  RR )
4948adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  N  e.  RR )
5046, 49jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
5150adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
52 ltaddnegr 8359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  -  J
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( K  -  J )  <  0  <->  ( ( K  -  J
)  +  N )  <  N ) )
5351, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  <  0  <->  ( ( K  -  J
)  +  N )  <  N ) )
5444, 53mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  +  N
)  <  N )
55 elfzo1 10163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N )  <->  ( ( ( K  -  J )  +  N )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( ( K  -  J )  +  N )  < 
N ) )
5632, 35, 54, 55syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  +  N
)  e.  ( 1..^ N ) )
5756exp31 364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  ( K  < 
J  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
5812, 57sylbi 121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  ( K  <  J  ->  (
( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
5958com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  -> 
( J  e.  ( 0..^ N )  -> 
( K  <  J  ->  ( ( K  -  J )  +  N
)  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
60593adant2 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  <  J  ->  (
( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
6111, 60sylbi 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  < 
J  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
621, 61syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  <  J  ->  (
( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
6362impcom 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <  J  ->  ( ( K  -  J )  +  N
)  e.  ( 1..^ N ) ) )
6463impcom 125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  ( 1..^ N ) )
65 oveq1 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( ( K  -  J )  +  N )  ->  (
i  +  J )  =  ( ( ( K  -  J )  +  N )  +  J ) )
662zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  K  e.  CC )
6766adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  K  e.  CC )
6816adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  J  e.  CC )
6968adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  J  e.  CC )
7019adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  N  e.  CC )
7267, 69, 713jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )
)
7372ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
741, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  (
( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
7574com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
)  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
76753adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  ( K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } )  -> 
( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )
) )
7712, 76sylbi 121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
7877imp 124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )
)
7978adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )
80 nppcan 8156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( ( K  -  J )  +  N
)  +  J )  =  ( K  +  N ) )
8179, 80syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( (
( K  -  J
)  +  N )  +  J )  =  ( K  +  N
) )
8265, 81sylan9eqr 2232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  /\  i  =  ( ( K  -  J )  +  N
) )  ->  (
i  +  J )  =  ( K  +  N ) )
8382oveq1d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  /\  i  =  ( ( K  -  J )  +  N
) )  ->  (
( i  +  J
)  mod  N )  =  ( ( K  +  N )  mod 
N ) )
8483eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  /\  i  =  ( ( K  -  J )  +  N
) )  ->  ( K  =  ( (
i  +  J )  mod  N )  <->  K  =  ( ( K  +  N )  mod  N
) ) )
8511biimpi 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
8685a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) ) )
871, 86syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) ) )
8887impcom 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N ) )
8988adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
90 addmodidr 10346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( K  +  N
)  mod  N )  =  K )
9190eqcomd 2183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  K  =  ( ( K  +  N )  mod 
N ) )
9289, 91syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  K  =  ( ( K  +  N )  mod  N
) )
9364, 84, 92rspcedvd 2847 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) )
9493ex 115 . . . . . . 7  |-  ( K  <  J  ->  (
( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
95 eldifsn 3718 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  J
) )
96 eqneqall 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  =  J  ->  ( K  =/=  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) ) )
9796com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =/=  J  ->  ( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N
) ) )
9897adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  J )  ->  ( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N
) ) )
9995, 98sylbi 121 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N
) ) )
10099adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
101100com12 30 . . . . . . 7  |-  ( K  =  J  ->  (
( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
10294, 101jaoi 716 . . . . . 6  |-  ( ( K  <  J  \/  K  =  J )  ->  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) ) )
103102com12 30 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( ( K  < 
J  \/  K  =  J )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) ) )
10410, 103sylbid 150 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <_  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
105104com12 30 . . 3  |-  ( K  <_  J  ->  (
( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
106 zltnle 9275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <  K  <->  -.  K  <_  J )
)
1074, 3, 106syl2an 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( J  <  K  <->  -.  K  <_  J )
)
108107bicomd 141 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( -.  K  <_  J 
<->  J  <  K ) )
109243ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  J  e.  ZZ )
110 nn0z 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
111110adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  ZZ )
112 znnsub 9280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <  K  <->  ( K  -  J )  e.  NN ) )
113109, 111, 112syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )  ->  ( J  <  K  <->  ( K  -  J )  e.  NN ) )
114113biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  -> 
( K  -  J
)  e.  NN )
11533adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )  ->  N  e.  NN )
116115adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  ->  N  e.  NN )
117 nn0ge0 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN0  ->  0  <_  J )
1181173ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  0  <_  J )
119118adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  0  <_  J
)
120 subge02 8412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  RR  /\  J  e.  RR )  ->  ( 0  <_  J  <->  ( K  -  J )  <_  K ) )
12136, 40, 120syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( 0  <_  J 
<->  ( K  -  J
)  <_  K )
)
122119, 121mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( K  -  J )  <_  K
)
12340adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  J  e.  RR )
12436adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  K  e.  RR )
12548adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  N  e.  RR )
126123, 124, 1253jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
12745ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( K  -  J
)  e.  RR )
1281273adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  -  J )  e.  RR )
129 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  K  e.  RR )
130 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
131128, 129, 1303jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( K  -  J
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
132126, 131syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
133 lelttr 8023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  -  J
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( ( K  -  J )  <_  K  /\  K  <  N )  ->  ( K  -  J )  <  N
) )
134132, 133syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( ( ( K  -  J )  <_  K  /\  K  <  N )  ->  ( K  -  J )  <  N ) )
135122, 134mpand 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( K  < 
N  ->  ( K  -  J )  <  N
) )
136135impancom 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  -> 
( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  ->  ( K  -  J )  <  N
) )
137136imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )  ->  ( K  -  J )  <  N )
138137adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  -> 
( K  -  J
)  <  N )
139114, 116, 1383jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  -> 
( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
)
140139exp31 364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  -> 
( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  ->  ( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) ) ) )
1411403adant2 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) ) )
14211, 141sylbi 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N )  ->  ( J  <  K  ->  (
( K  -  J
)  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  <  N ) ) ) )
1431, 142syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  (
( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) ) )
144143com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  ( K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) ) )
14512, 144sylbi 121 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( J  <  K  ->  (
( K  -  J
)  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  <  N ) ) ) )
146145imp 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) )
147108, 146sylbid 150 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( -.  K  <_  J  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) ) )
148147impcom 125 . . . . . 6  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) )
149 elfzo1 10163 . . . . . 6  |-  ( ( K  -  J )  e.  ( 1..^ N )  <->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) )
150148, 149sylibr 134 . . . . 5  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  -  J )  e.  ( 1..^ N ) )
151 oveq1 5875 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( K  -  J )  ->  (
i  +  J )  =  ( ( K  -  J )  +  J ) )
1521, 66syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  K  e.  CC )
1534zcnd 9352 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  CC )
154 npcan 8143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC )  ->  ( ( K  -  J )  +  J
)  =  K )
155152, 153, 154syl2anr 290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( ( K  -  J )  +  J
)  =  K )
156155adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  J )  =  K )
157151, 156sylan9eqr 2232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) ) )  /\  i  =  ( K  -  J ) )  -> 
( i  +  J
)  =  K )
158157oveq1d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) ) )  /\  i  =  ( K  -  J ) )  -> 
( ( i  +  J )  mod  N
)  =  ( K  mod  N ) )
159158eqeq2d 2189 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) ) )  /\  i  =  ( K  -  J ) )  -> 
( K  =  ( ( i  +  J
)  mod  N )  <->  K  =  ( K  mod  N ) ) )
160 zmodidfzoimp 10327 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  mod  N )  =  K )
1611, 160syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( K  mod  N )  =  K )
162161adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  mod  N
)  =  K )
163162adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  mod  N )  =  K )
164163eqcomd 2183 . . . . 5  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  K  =  ( K  mod  N ) )
165150, 159, 164rspcedvd 2847 . . . 4  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) )
166165ex 115 . . 3  |-  ( -.  K  <_  J  ->  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
167105, 166jaoi 716 . 2  |-  ( ( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J )  ->  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  (
1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
1688, 167mpcom 36 1  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  (
1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   E.wrex 2456    \ cdif 3126   {csn 3591   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   CCcc 7787   RRcr 7788   0cc0 7789   1c1 7790    + caddc 7792    < clt 7969    <_ cle 7970    - cmin 8105   NNcn 8895   NN0cn0 9152   ZZcz 9229  ..^cfzo 10115    mod cmo 10295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-ico 9868  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-fl 10243  df-mod 10296
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