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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modfzo0difsn | Unicode version | ||
| Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modfzo0difsn |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^ ![\](setminus.gif "\"){kind=small}     
 ..^    |
, , ,| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | eldifi 3285 |
. . . 4
..^ ..^ | |
| 2 | elfzoelz 10222 |
. . . 4
..^
 | |
| 3 | 1, 2 | syl 14 |
. . 3
..^ |
| 4 | elfzoelz 10222 |
. . 3
..^
| |
| 5 | zdcle 9402 |
. . . 4
DECID  | |
| 6 | exmiddc 837 |
. . . 4
DECID 
 | |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . 3
|
| 8 | 3, 4, 7 | syl2anr 290 |
. 2
..^ ..^ |
| 9 | zleloe 9373 |
. . . . . 6
 
| |
| 10 | 3, 4, 9 | syl2anr 290 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 11 | elfzo0 10258 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ 
 | |
| 12 | elfzo0 10258 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 13 | nn0cn 9259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 | |
| 14 | 13 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 16 | nn0cn 9259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 17 | 16 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 18 | 17 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 19 | nncn 8998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 20 | 19 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 21 | 20 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 22 | 15, 18, 21 | subadd23d 8359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 23 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 24 | nn0z 9346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 25 | nnz 9345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 26 | znnsub 9377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 27 | 24, 25, 26 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | biimp3a 1356 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | nn0nnaddcl 9280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 30 | 23, 28, 29 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 31 | 22, 30 | eqeltrd 2273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 32 | 31 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 33 | simp2 1000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 34 | 33 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 36 | nn0re 9258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 | |
| 37 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 38 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 39 | nn0re 9258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 40 | 39 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 41 | 40 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 42 | 38, 41 | sublt0d 8597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 43 | 42 | bicomd 141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 44 | 43 | biimpa 296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | resubcl 8290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 46 | 37, 40, 45 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | nnre 8997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 48 | 47 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 48 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 50 | 46, 49 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 51 | 50 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 52 | ltaddnegr 8452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 53 | 51, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 54 | 44, 53 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 55 | elfzo1 10266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ | |
| 56 | 32, 35, 54, 55 | syl3anbrc 1183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 57 | 56 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 58 | 12, 57 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^ |
| 59 | 58 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 60 | 59 | 3adant2 1018 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 61 | 11, 60 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
..^ |
| 62 | 1, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ ..^ |
| 63 | 62 | impcom 125 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ ..^ |
| 64 | 63 | impcom 125 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
..^ |
| 65 | oveq1 5929 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 2 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 67 | 66 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 68 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 70 | 19 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 71 | 70 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 72 | 67, 69, 71 | 3jca 1179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 73 | 72 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 74 | 1, 73 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 75 | 74 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 76 | 75 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 77 | 12, 76 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 78 | 77 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | 78 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 80 | nppcan 8248 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 81 | 79, 80 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 82 | 65, 81 | sylan9eqr 2251 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 83 | 82 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 84 | 83 | eqeq2d 2208 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 85 | 11 | biimpi 120 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 86 | 85 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 87 | 1, 86 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 88 | 87 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 89 | 88 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 90 | addmodidr 10465 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 91 | 90 | eqcomd 2202 |
. . . . . . . . . 10
|
| 92 | 89, 91 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 93 | 64, 84, 92 | rspcedvd 2874 |
. . . . . . . 8
..^
..^
..^ |
| 94 | 93 | ex 115 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 95 | eldifsn 3749 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^  | |
| 96 | eqneqall 2377 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ | |
| 97 | 96 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 98 | 97 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^ |
| 99 | 95, 98 | sylbi 121 |
. . . . . . . . 9
..^
..^ |
| 100 | 99 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ ..^ |
| 101 | 100 | com12 30 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 102 | 94, 101 | jaoi 717 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
| 103 | 102 | com12 30 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 104 | 10, 103 | sylbid 150 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ |
| 105 | 104 | com12 30 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 106 | zltnle 9372 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 107 | 4, 3, 106 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 108 | 107 | bicomd 141 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 109 | 24 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 110 | nn0z 9346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 111 | 110 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 112 | znnsub 9377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 113 | 109, 111, 112 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 113 | biimpa 296 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 33 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | nn0ge0 9274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 118 | 117 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 119 | 118 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 120 | subge02 8505 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 121 | 36, 40, 120 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 119, 121 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 123 | 40 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 124 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 125 | 48 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 126 | 123, 124, 125 | 3jca 1179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 127 | 45 | ancoms 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 128 | 127 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 129 | simp2 1000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 130 | simp3 1001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 131 | 128, 129, 130 | 3jca 1179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 132 | 126, 131 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 133 | lelttr 8115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 134 | 132, 133 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 135 | 122, 134 | mpand 429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 136 | 135 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 138 | 137 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 139 | 114, 116, 138 | 3jca 1179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 140 | 139 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 141 | 140 | 3adant2 1018 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 142 | 11, 141 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 143 | 1, 142 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 144 | 143 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 145 | 12, 144 | sylbi 121 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 146 | 145 | imp 124 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 147 | 108, 146 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 148 | 147 | impcom 125 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 149 | elfzo1 10266 |
. . . . . 6
..^ | |
| 150 | 148, 149 | sylibr 134 |
. . . . 5
..^
..^
..^ |
| 151 | oveq1 5929 |
. . . . . . . 8
| |
| 152 | 1, 66 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 153 | 4 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 154 | npcan 8235 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 155 | 152, 153, 154 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 156 | 155 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^
..^
|
| 157 | 151, 156 | sylan9eqr 2251 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 158 | 157 | oveq1d 5937 |
. . . . . 6
..^ ..^
|
| 159 | 158 | eqeq2d 2208 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 160 | zmodidfzoimp 10446 |
. . . . . . . . 9
..^
| |
| 161 | 1, 160 | syl 14 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 162 | 161 | adantl 277 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 163 | 162 | adantl 277 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 164 | 163 | eqcomd 2202 |
. . . . 5
..^
..^
|
| 165 | 150, 159, 164 | rspcedvd 2874 |
. . . 4
..^
..^
..^ |
| 166 | 165 | ex 115 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 167 | 105, 166 | jaoi 717 |
. 2
..^ ..^
..^ |
| 168 | 8, 167 | mpcom 36 |
1
..^ ..^
..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 709 DECID wdc 835
w3a 980
wceq 1364
wcel 2167
wne 2367
wrex 2476
cdif 3154
csn 3622
class class class wbr 4033 (class class class)co 5922
cc 7877
cr 7878
cc0 7879
c1 7880
caddc 7882 clt 8061 cle 8062 cmin 8197 cn 8990 cn0 9249 cz 9326 ..^cfzo 10217
cmo 10414 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4151 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-ico 9969 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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