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Theorem modfzo0difsn 9767
Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modfzo0difsn  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  (
1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) )
Distinct variable groups:    i, J    i, K    i, N

Proof of Theorem modfzo0difsn
StepHypRef Expression
1 eldifi 3120 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  K  e.  ( 0..^ N ) )
2 elfzoelz 9523 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  K  e.  ZZ )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  K  e.  ZZ )
4 elfzoelz 9523 . . 3  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ZZ )
5 zdcle 8793 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  -> DECID  K  <_  J )
6 exmiddc 782 . . . 4  |-  (DECID  K  <_  J  ->  ( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J
) )
83, 4, 7syl2anr 284 . 2  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J
) )
9 zleloe 8767 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  J  <->  ( K  <  J  \/  K  =  J )
) )
103, 4, 9syl2anr 284 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <_  J  <->  ( K  <  J  \/  K  =  J )
) )
11 elfzo0 9558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) )
12 elfzo0 9558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  <->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
13 nn0cn 8653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
1413adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  CC )
1514adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  K  e.  CC )
16 nn0cn 8653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  CC )
17163ad2ant1 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  J  e.  CC )
1817adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  J  e.  CC )
19 nncn 8402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
20193ad2ant2 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  N  e.  CC )
2120adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  N  e.  CC )
2215, 18, 21subadd23d 7794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  =  ( K  +  ( N  -  J ) ) )
23 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  NN0 )
24 nn0z 8740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  ZZ )
25 nnz 8739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
26 znnsub 8771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  <  N  <->  ( N  -  J )  e.  NN ) )
2724, 25, 26syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( J  <  N  <->  ( N  -  J )  e.  NN ) )
2827biimp3a 1281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  ( N  -  J )  e.  NN )
29 nn0nnaddcl 8674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  J
)  e.  NN )  ->  ( K  +  ( N  -  J
) )  e.  NN )
3023, 28, 29syl2anr 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( K  +  ( N  -  J ) )  e.  NN )
3122, 30eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  NN )
3231adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  +  N
)  e.  NN )
33 simp2 944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  N  e.  NN )
3433adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  N  e.  NN )
3534adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  ->  N  e.  NN )
36 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
3736adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  RR )
3837adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  K  e.  RR )
39 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  RR )
40393ad2ant1 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  J  e.  RR )
4140adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  J  e.  RR )
4238, 41sublt0d 8023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  <  0  <->  K  <  J ) )
4342bicomd 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( K  <  J  <->  ( K  -  J )  <  0
) )
4443biimpa 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( K  -  J
)  <  0 )
45 resubcl 7725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  RR  /\  J  e.  RR )  ->  ( K  -  J
)  e.  RR )
4637, 40, 45syl2anr 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( K  -  J )  e.  RR )
47 nnre 8401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
48473ad2ant2 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  N  e.  RR )
4948adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  N  e.  RR )
5046, 49jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
5150adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
52 ltaddnegr 7882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  -  J
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( K  -  J )  <  0  <->  ( ( K  -  J
)  +  N )  <  N ) )
5351, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  <  0  <->  ( ( K  -  J
)  +  N )  <  N ) )
5444, 53mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  +  N
)  <  N )
55 elfzo1 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N )  <->  ( ( ( K  -  J )  +  N )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( ( K  -  J )  +  N )  < 
N ) )
5632, 35, 54, 55syl3anbrc 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  +  N
)  e.  ( 1..^ N ) )
5756exp31 356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  ( K  < 
J  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
5812, 57sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  ( K  <  J  ->  (
( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
5958com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  -> 
( J  e.  ( 0..^ N )  -> 
( K  <  J  ->  ( ( K  -  J )  +  N
)  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
60593adant2 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  <  J  ->  (
( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
6111, 60sylbi 119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  < 
J  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
621, 61syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  <  J  ->  (
( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
6362impcom 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <  J  ->  ( ( K  -  J )  +  N
)  e.  ( 1..^ N ) ) )
6463impcom 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  ( 1..^ N ) )
65 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( ( K  -  J )  +  N )  ->  (
i  +  J )  =  ( ( ( K  -  J )  +  N )  +  J ) )
662zcnd 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  K  e.  CC )
6766adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  K  e.  CC )
6816adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  J  e.  CC )
6968adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  J  e.  CC )
7019adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
7170adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  N  e.  CC )
7267, 69, 713jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )
)
7372ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
741, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  (
( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
7574com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
)  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
76753adant3 963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  ( K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } )  -> 
( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )
) )
7712, 76sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
7877imp 122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )
)
7978adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )
80 nppcan 7683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( ( K  -  J )  +  N
)  +  J )  =  ( K  +  N ) )
8179, 80syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( (
( K  -  J
)  +  N )  +  J )  =  ( K  +  N
) )
8265, 81sylan9eqr 2142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  /\  i  =  ( ( K  -  J )  +  N
) )  ->  (
i  +  J )  =  ( K  +  N ) )
8382oveq1d 5649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  /\  i  =  ( ( K  -  J )  +  N
) )  ->  (
( i  +  J
)  mod  N )  =  ( ( K  +  N )  mod 
N ) )
8483eqeq2d 2099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  /\  i  =  ( ( K  -  J )  +  N
) )  ->  ( K  =  ( (
i  +  J )  mod  N )  <->  K  =  ( ( K  +  N )  mod  N
) ) )
8511biimpi 118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
8685a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) ) )
871, 86syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) ) )
8887impcom 123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N ) )
8988adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
90 addmodidr 9745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( K  +  N
)  mod  N )  =  K )
9190eqcomd 2093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  K  =  ( ( K  +  N )  mod 
N ) )
9289, 91syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  K  =  ( ( K  +  N )  mod  N
) )
9364, 84, 92rspcedvd 2728 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) )
9493ex 113 . . . . . . 7  |-  ( K  <  J  ->  (
( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
95 eldifsn 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  J
) )
96 eqneqall 2265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  =  J  ->  ( K  =/=  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) ) )
9796com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =/=  J  ->  ( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N
) ) )
9897adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  J )  ->  ( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N
) ) )
9995, 98sylbi 119 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N
) ) )
10099adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
101100com12 30 . . . . . . 7  |-  ( K  =  J  ->  (
( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
10294, 101jaoi 671 . . . . . 6  |-  ( ( K  <  J  \/  K  =  J )  ->  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) ) )
103102com12 30 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( ( K  < 
J  \/  K  =  J )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) ) )
10410, 103sylbid 148 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <_  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
105104com12 30 . . 3  |-  ( K  <_  J  ->  (
( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
106 zltnle 8766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <  K  <->  -.  K  <_  J )
)
1074, 3, 106syl2an 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( J  <  K  <->  -.  K  <_  J )
)
108107bicomd 139 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( -.  K  <_  J 
<->  J  <  K ) )
109243ad2ant1 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  J  e.  ZZ )
110 nn0z 8740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
111110adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  ZZ )
112 znnsub 8771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <  K  <->  ( K  -  J )  e.  NN ) )
113109, 111, 112syl2anr 284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )  ->  ( J  <  K  <->  ( K  -  J )  e.  NN ) )
114113biimpa 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  -> 
( K  -  J
)  e.  NN )
11533adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )  ->  N  e.  NN )
116115adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  ->  N  e.  NN )
117 nn0ge0 8668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN0  ->  0  <_  J )
1181173ad2ant1 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  0  <_  J )
119118adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  0  <_  J
)
120 subge02 7935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  RR  /\  J  e.  RR )  ->  ( 0  <_  J  <->  ( K  -  J )  <_  K ) )
12136, 40, 120syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( 0  <_  J 
<->  ( K  -  J
)  <_  K )
)
122119, 121mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( K  -  J )  <_  K
)
12340adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  J  e.  RR )
12436adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  K  e.  RR )
12548adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  N  e.  RR )
126123, 124, 1253jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
12745ancoms 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( K  -  J
)  e.  RR )
1281273adant3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  -  J )  e.  RR )
129 simp2 944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  K  e.  RR )
130 simp3 945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
131128, 129, 1303jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( K  -  J
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
132126, 131syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
133 lelttr 7552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  -  J
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( ( K  -  J )  <_  K  /\  K  <  N )  ->  ( K  -  J )  <  N
) )
134132, 133syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( ( ( K  -  J )  <_  K  /\  K  <  N )  ->  ( K  -  J )  <  N ) )
135122, 134mpand 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( K  < 
N  ->  ( K  -  J )  <  N
) )
136135impancom 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  -> 
( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  ->  ( K  -  J )  <  N
) )
137136imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )  ->  ( K  -  J )  <  N )
138137adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  -> 
( K  -  J
)  <  N )
139114, 116, 1383jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  -> 
( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
)
140139exp31 356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  -> 
( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  ->  ( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) ) ) )
1411403adant2 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) ) )
14211, 141sylbi 119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N )  ->  ( J  <  K  ->  (
( K  -  J
)  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  <  N ) ) ) )
1431, 142syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  (
( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) ) )
144143com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  ( K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) ) )
14512, 144sylbi 119 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( J  <  K  ->  (
( K  -  J
)  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  <  N ) ) ) )
146145imp 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) )
147108, 146sylbid 148 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( -.  K  <_  J  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) ) )
148147impcom 123 . . . . . 6  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) )
149 elfzo1 9566 . . . . . 6  |-  ( ( K  -  J )  e.  ( 1..^ N )  <->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) )
150148, 149sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  -  J )  e.  ( 1..^ N ) )
151 oveq1 5641 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( K  -  J )  ->  (
i  +  J )  =  ( ( K  -  J )  +  J ) )
1521, 66syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  K  e.  CC )
1534zcnd 8839 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  CC )
154 npcan 7670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC )  ->  ( ( K  -  J )  +  J
)  =  K )
155152, 153, 154syl2anr 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( ( K  -  J )  +  J
)  =  K )
156155adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  J )  =  K )
157151, 156sylan9eqr 2142 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) ) )  /\  i  =  ( K  -  J ) )  -> 
( i  +  J
)  =  K )
158157oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) ) )  /\  i  =  ( K  -  J ) )  -> 
( ( i  +  J )  mod  N
)  =  ( K  mod  N ) )
159158eqeq2d 2099 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) ) )  /\  i  =  ( K  -  J ) )  -> 
( K  =  ( ( i  +  J
)  mod  N )  <->  K  =  ( K  mod  N ) ) )
160 zmodidfzoimp 9726 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  mod  N )  =  K )
1611, 160syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( K  mod  N )  =  K )
162161adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  mod  N
)  =  K )
163162adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  mod  N )  =  K )
164163eqcomd 2093 . . . . 5  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  K  =  ( K  mod  N ) )
165150, 159, 164rspcedvd 2728 . . . 4  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) )
166165ex 113 . . 3  |-  ( -.  K  <_  J  ->  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
167105, 166jaoi 671 . 2  |-  ( ( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J )  ->  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  (
1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
1688, 167mpcom 36 1  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  (
1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   E.wrex 2360    \ cdif 2994   {csn 3441   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720  ..^cfzo 9518    mod cmo 9694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-ico 9281  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695
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