Theorem nnaddm1cl 9436

Description: Closure of addition of positive integers minus one. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaddm1cl	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A + B ) - 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nnaddm1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9046	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. CC )
2		nncn 9046	. . 3 |- ( B e. NN -> B e. CC )
3		ax-1cn 8020	. . . 4 |- 1 e. CC
4		addsub 8285	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + B ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) + B ) )
5	3, 4	mp3an3 1339	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) + B ) )
6	1, 2, 5	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A + B ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) + B ) )
7		nnm1nn0 9338	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A - 1 ) e. NN0 )
8		nn0nnaddcl 9328	. . 3 |- ( ( ( A - 1 ) e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A - 1 ) + B ) e. NN )
9	7, 8	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A - 1 ) + B ) e. NN )
10	6, 9	eqeltrd 2282	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A + B ) - 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   CCcc 7925   1c1 7928   + caddc 7930   - cmin 8245   NNcn 9038   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by: (None)