Theorem nnaddm1cl 9252

Description: Closure of addition of positive integers minus one. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaddm1cl	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A + B ) - 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nnaddm1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8865	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. CC )
2		nncn 8865	. . 3 |- ( B e. NN -> B e. CC )
3		ax-1cn 7846	. . . 4 |- 1 e. CC
4		addsub 8109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + B ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) + B ) )
5	3, 4	mp3an3 1316	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) + B ) )
6	1, 2, 5	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A + B ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) + B ) )
7		nnm1nn0 9155	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A - 1 ) e. NN0 )
8		nn0nnaddcl 9145	. . 3 |- ( ( ( A - 1 ) e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A - 1 ) + B ) e. NN )
9	7, 8	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A - 1 ) + B ) e. NN )
10	6, 9	eqeltrd 2243	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A + B ) - 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5842   CCcc 7751   1c1 7754   + caddc 7756   - cmin 8069   NNcn 8857   NN0cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by: (None)