Theorem nn0p1nn 9419

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9132	. 2 |- 1 e. NN
2		nn0nnaddcl 9411	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN ) -> ( N + 1 ) e. NN )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   1c1 8011   + caddc 8013   NNcn 9121   NN0cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-n0 9381

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9422  elz2  9529  peano5uzti  9566  fseq1p1m1  10302  fzonn0p1  10429  nn0ennn  10667  faccl  10969  facdiv  10972  facwordi  10974  faclbnd  10975  facubnd  10979  bcm1k  10994  bcp1n  10995  bcp1nk  10996  bcpasc  11000  ccats1pfxeqrex  11263  wrdind  11270  wrd2ind  11271  ccats1pfxeqbi  11290  bcxmas  12016  efcllemp  12185  uzwodc  12574  prmfac1  12690  pcfac  12889  4sqlem12  12941  gsumfzconst  13894  plycolemc  15448  gausslemma2dlem3  15758  2lgslem1a  15783