Theorem nn0p1nn 9602

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9315	. 2 |- 1 e. NN
2		nn0nnaddcl 9594	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN ) -> ( N + 1 ) e. NN )
3	1, 2	mpan2 429	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   NNcn 9304   NN0cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-n0 9564

This theorem is used by:  elnn0nn  9605  elz2  9716  peano5uzti  9754  fseq1p1m1  10501  fzonn0p1  10629  nn0ennn  10870  faccl  11173  facdiv  11176  facwordi  11178  faclbnd  11179  facubnd  11183  bcm1k  11198  bcp1n  11199  bcp1nk  11200  bcpasc  11204  hashf1  11287  ccats1pfxeqrex  11487  wrdind  11494  wrd2ind  11495  ccats1pfxeqbi  11514  bcxmas  12256  efcllemp  12425  uzwodc  12814  prmfac1  12930  pcfac  13129  4sqlem12  13181  gzsumconst  14143  gsump1  14157  plycolemc  15859  log2tlbndlog2  16082  log2ublem2  16084  log2ublog2  16086  birthdaylem2  16088  gausslemma2dlem3  16182  2lgslem1a  16207  depindlem1  16747