Theorem nn0p1nn 9369

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9082	. 2 |- 1 e. NN
2		nn0nnaddcl 9361	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN ) -> ( N + 1 ) e. NN )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   1c1 7961   + caddc 7963   NNcn 9071   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9372  elz2  9479  peano5uzti  9516  fseq1p1m1  10251  fzonn0p1  10377  nn0ennn  10615  faccl  10917  facdiv  10920  facwordi  10922  faclbnd  10923  facubnd  10927  bcm1k  10942  bcp1n  10943  bcp1nk  10944  bcpasc  10948  ccats1pfxeqrex  11206  wrdind  11213  wrd2ind  11214  ccats1pfxeqbi  11233  bcxmas  11915  efcllemp  12084  uzwodc  12473  prmfac1  12589  pcfac  12788  4sqlem12  12840  gsumfzconst  13792  plycolemc  15345  gausslemma2dlem3  15655  2lgslem1a  15680