Theorem nn0p1nn 9305

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9018	. 2 |- 1 e. NN
2		nn0nnaddcl 9297	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN ) -> ( N + 1 ) e. NN )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   1c1 7897   + caddc 7899   NNcn 9007   NN0cn0 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-n0 9267

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9308  elz2  9414  peano5uzti  9451  fseq1p1m1  10186  fzonn0p1  10304  nn0ennn  10542  faccl  10844  facdiv  10847  facwordi  10849  faclbnd  10850  facubnd  10854  bcm1k  10869  bcp1n  10870  bcp1nk  10871  bcpasc  10875  bcxmas  11671  efcllemp  11840  uzwodc  12229  prmfac1  12345  pcfac  12544  4sqlem12  12596  gsumfzconst  13547  plycolemc  15078  gausslemma2dlem3  15388  2lgslem1a  15413