Theorem 0mnnnnn0 9167

Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0mnnnnn0	|- ( N e. NN -> ( 0 - N ) e/ NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7920	. . 3 |- 0 e. RR
2		df-neg 8093	. . . . . 6 |- -u N = ( 0 - N )
3	2	eqcomi 2174	. . . . 5 |- ( 0 - N ) = -u N
4	3	eleq1i 2236	. . . 4 |- ( ( 0 - N ) e. NN0 <-> -u N e. NN0 )
5		nn0ge0 9160	. . . . 5 |- ( -u N e. NN0 -> 0 <_ -u N )
6		nnre 8885	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
7	6	le0neg1d 8436	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 <-> 0 <_ -u N ) )
8		nngt0 8903	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
9		0red 7921	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
10	6, 9	lenltd 8037	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 <-> -. 0 < N ) )
11		pm2.21 612	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 < N -> ( 0 < N -> -. 0 e. RR ) )
12	10, 11	syl6bi 162	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( 0 < N -> -. 0 e. RR ) ) )
13	8, 12	mpid 42	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> -. 0 e. RR ) )
14	7, 13	sylbird 169	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 <_ -u N -> -. 0 e. RR ) )
15	5, 14	syl5 32	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( -u N e. NN0 -> -. 0 e. RR ) )
16	4, 15	syl5bi 151	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( 0 - N ) e. NN0 -> -. 0 e. RR ) )
17	1, 16	mt2i 639	. 2 |- ( N e. NN -> -. ( 0 - N ) e. NN0 )
18		df-nel 2436	. 2 |- ( ( 0 - N ) e/ NN0 <-> -. ( 0 - N ) e. NN0 )
19	17, 18	sylibr 133	1 |- ( N e. NN -> ( 0 - N ) e/ NN0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2141   e/ wnel 2435   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   -ucneg 8091   NNcn 8878   NN0cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by: (None)