ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 Unicode version

Theorem 0mnnnnn0 9194
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 7945 . . 3  |-  0  e.  RR
2 df-neg 8118 . . . . . 6  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
32eqcomi 2181 . . . . 5  |-  ( 0  -  N )  = 
-u N
43eleq1i 2243 . . . 4  |-  ( ( 0  -  N )  e.  NN0  <->  -u N  e.  NN0 )
5 nn0ge0 9187 . . . . 5  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u N )
6 nnre 8912 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
76le0neg1d 8461 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  <->  0  <_  -u N ) )
8 nngt0 8930 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
9 0red 7946 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
106, 9lenltd 8062 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  <->  -.  0  <  N ) )
11 pm2.21 617 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  <  N  -> 
( 0  <  N  ->  -.  0  e.  RR ) )
1210, 11syl6bi 163 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  (
0  <  N  ->  -.  0  e.  RR ) ) )
138, 12mpid 42 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  -.  0  e.  RR )
)
147, 13sylbird 170 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <_  -u N  ->  -.  0  e.  RR ) )
155, 14syl5 32 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u N  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
164, 15biimtrid 152 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  -  N
)  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
171, 16mt2i 644 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( 0  -  N
)  e.  NN0 )
18 df-nel 2443 . 2  |-  ( ( 0  -  N )  e/  NN0  <->  -.  ( 0  -  N )  e. 
NN0 )
1917, 18sylibr 134 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 2148    e/ wnel 2442   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7798   0cc0 7799    < clt 7979    <_ cle 7980    - cmin 8115   -ucneg 8116   NNcn 8905   NN0cn0 9162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-n0 9163
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator