Theorem 0mnnnnn0 9362

Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0mnnnnn0	|- ( N e. NN -> ( 0 - N ) e/ NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8107	. . 3 |- 0 e. RR
2		df-neg 8281	. . . . . 6 |- -u N = ( 0 - N )
3	2	eqcomi 2211	. . . . 5 |- ( 0 - N ) = -u N
4	3	eleq1i 2273	. . . 4 |- ( ( 0 - N ) e. NN0 <-> -u N e. NN0 )
5		nn0ge0 9355	. . . . 5 |- ( -u N e. NN0 -> 0 <_ -u N )
6		nnre 9078	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
7	6	le0neg1d 8625	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 <-> 0 <_ -u N ) )
8		nngt0 9096	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
9		0red 8108	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
10	6, 9	lenltd 8225	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 <-> -. 0 < N ) )
11		pm2.21 618	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 < N -> ( 0 < N -> -. 0 e. RR ) )
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( 0 < N -> -. 0 e. RR ) ) )
13	8, 12	mpid 42	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> -. 0 e. RR ) )
14	7, 13	sylbird 170	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 <_ -u N -> -. 0 e. RR ) )
15	5, 14	syl5 32	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( -u N e. NN0 -> -. 0 e. RR ) )
16	4, 15	biimtrid 152	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( 0 - N ) e. NN0 -> -. 0 e. RR ) )
17	1, 16	mt2i 645	. 2 |- ( N e. NN -> -. ( 0 - N ) e. NN0 )
18		df-nel 2474	. 2 |- ( ( 0 - N ) e/ NN0 <-> -. ( 0 - N ) e. NN0 )
19	17, 18	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( 0 - N ) e/ NN0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2178   e/ wnel 2473   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   0cc0 7960   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   -ucneg 8279   NNcn 9071   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331

This theorem is referenced by: (None)