Theorem 0mnnnnn0 9424

Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0mnnnnn0	|- ( N e. NN -> ( 0 - N ) e/ NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8169	. . 3 |- 0 e. RR
2		df-neg 8343	. . . . . 6 |- -u N = ( 0 - N )
3	2	eqcomi 2233	. . . . 5 |- ( 0 - N ) = -u N
4	3	eleq1i 2295	. . . 4 |- ( ( 0 - N ) e. NN0 <-> -u N e. NN0 )
5		nn0ge0 9417	. . . . 5 |- ( -u N e. NN0 -> 0 <_ -u N )
6		nnre 9140	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
7	6	le0neg1d 8687	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 <-> 0 <_ -u N ) )
8		nngt0 9158	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
9		0red 8170	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
10	6, 9	lenltd 8287	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 <-> -. 0 < N ) )
11		pm2.21 620	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 < N -> ( 0 < N -> -. 0 e. RR ) )
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( 0 < N -> -. 0 e. RR ) ) )
13	8, 12	mpid 42	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> -. 0 e. RR ) )
14	7, 13	sylbird 170	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 <_ -u N -> -. 0 e. RR ) )
15	5, 14	syl5 32	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( -u N e. NN0 -> -. 0 e. RR ) )
16	4, 15	biimtrid 152	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( 0 - N ) e. NN0 -> -. 0 e. RR ) )
17	1, 16	mt2i 647	. 2 |- ( N e. NN -> -. ( 0 - N ) e. NN0 )
18		df-nel 2496	. 2 |- ( ( 0 - N ) e/ NN0 <-> -. ( 0 - N ) e. NN0 )
19	17, 18	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( 0 - N ) e/ NN0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2200   e/ wnel 2495   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   RRcr 8021   0cc0 8022   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   -ucneg 8341   NNcn 9133   NN0cn0 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393

This theorem is referenced by: (None)