ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 Unicode version

Theorem 0mnnnnn0 9032
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 7789 . . 3  |-  0  e.  RR
2 df-neg 7959 . . . . . 6  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
32eqcomi 2144 . . . . 5  |-  ( 0  -  N )  = 
-u N
43eleq1i 2206 . . . 4  |-  ( ( 0  -  N )  e.  NN0  <->  -u N  e.  NN0 )
5 nn0ge0 9025 . . . . 5  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u N )
6 nnre 8750 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
76le0neg1d 8302 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  <->  0  <_  -u N ) )
8 nngt0 8768 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
9 0red 7790 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
106, 9lenltd 7903 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  <->  -.  0  <  N ) )
11 pm2.21 607 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  <  N  -> 
( 0  <  N  ->  -.  0  e.  RR ) )
1210, 11syl6bi 162 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  (
0  <  N  ->  -.  0  e.  RR ) ) )
138, 12mpid 42 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  -.  0  e.  RR )
)
147, 13sylbird 169 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <_  -u N  ->  -.  0  e.  RR ) )
155, 14syl5 32 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u N  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
164, 15syl5bi 151 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  -  N
)  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
171, 16mt2i 634 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( 0  -  N
)  e.  NN0 )
18 df-nel 2405 . 2  |-  ( ( 0  -  N )  e/  NN0  <->  -.  ( 0  -  N )  e. 
NN0 )
1917, 18sylibr 133 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1481    e/ wnel 2404   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   RRcr 7642   0cc0 7643    < clt 7823    <_ cle 7824    - cmin 7956   -ucneg 7957   NNcn 8743   NN0cn0 9000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator