Theorem 0mnnnnn0 9401

Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0mnnnnn0	|- ( N e. NN -> ( 0 - N ) e/ NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8146	. . 3 |- 0 e. RR
2		df-neg 8320	. . . . . 6 |- -u N = ( 0 - N )
3	2	eqcomi 2233	. . . . 5 |- ( 0 - N ) = -u N
4	3	eleq1i 2295	. . . 4 |- ( ( 0 - N ) e. NN0 <-> -u N e. NN0 )
5		nn0ge0 9394	. . . . 5 |- ( -u N e. NN0 -> 0 <_ -u N )
6		nnre 9117	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
7	6	le0neg1d 8664	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 <-> 0 <_ -u N ) )
8		nngt0 9135	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
9		0red 8147	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
10	6, 9	lenltd 8264	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 <-> -. 0 < N ) )
11		pm2.21 620	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 < N -> ( 0 < N -> -. 0 e. RR ) )
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( 0 < N -> -. 0 e. RR ) ) )
13	8, 12	mpid 42	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> -. 0 e. RR ) )
14	7, 13	sylbird 170	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 <_ -u N -> -. 0 e. RR ) )
15	5, 14	syl5 32	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( -u N e. NN0 -> -. 0 e. RR ) )
16	4, 15	biimtrid 152	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( 0 - N ) e. NN0 -> -. 0 e. RR ) )
17	1, 16	mt2i 647	. 2 |- ( N e. NN -> -. ( 0 - N ) e. NN0 )
18		df-nel 2496	. 2 |- ( ( 0 - N ) e/ NN0 <-> -. ( 0 - N ) e. NN0 )
19	17, 18	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( 0 - N ) e/ NN0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2200   e/ wnel 2495   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   -ucneg 8318   NNcn 9110   NN0cn0 9369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370

This theorem is referenced by: (None)