Theorem nnnn0addcl 9140

Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0addcl	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )

Proof of Theorem nnnn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9112	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnaddcl 8873	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
3		oveq2 5849	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
4		nncn 8861	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. CC )
5	4	addid1d 8043	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( M + 0 ) = M )
6	3, 5	sylan9eqr 2220	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> ( M + N ) = M )
7		simpl 108	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> M e. NN )
8	6, 7	eqeltrd 2242	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> ( M + N ) e. NN )
9	2, 8	jaodan 787	. 2 |- ( ( M e. NN /\ ( N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( M + N ) e. NN )
10	1, 9	sylan2b 285	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5841   0cc0 7749   + caddc 7752   NNcn 8853   NN0cn0 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addass 7851  ax-i2m1 7854  ax-0id 7857

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-inn 8854  df-n0 9111

This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  9141  elz2  9258  bcxmas  11426