Theorem nnnn0addcl 9205

Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0addcl	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )

Proof of Theorem nnnn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9177	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnaddcl 8938	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
3		oveq2 5882	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
4		nncn 8926	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. CC )
5	4	addid1d 8105	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( M + 0 ) = M )
6	3, 5	sylan9eqr 2232	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> ( M + N ) = M )
7		simpl 109	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> M e. NN )
8	6, 7	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> ( M + N ) e. NN )
9	2, 8	jaodan 797	. 2 |- ( ( M e. NN /\ ( N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( M + N ) e. NN )
10	1, 9	sylan2b 287	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5874   0cc0 7810   + caddc 7813   NNcn 8918   NN0cn0 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-inn 8919  df-n0 9176

This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  9206  elz2  9323  bcxmas  11496