Theorem nnnn0addcl 9325

Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0addcl	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )

Proof of Theorem nnnn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9297	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnaddcl 9056	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
3		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
4		nncn 9044	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. CC )
5	4	addridd 8221	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( M + 0 ) = M )
6	3, 5	sylan9eqr 2260	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> ( M + N ) = M )
7		simpl 109	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> M e. NN )
8	6, 7	eqeltrd 2282	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> ( M + N ) e. NN )
9	2, 8	jaodan 799	. 2 |- ( ( M e. NN /\ ( N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( M + N ) e. NN )
10	1, 9	sylan2b 287	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   0cc0 7925   + caddc 7928   NNcn 9036   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  9326  elz2  9444  bcxmas  11800  dec2nprm  12738