Theorem nnnn0addcl 9031

Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0addcl	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )

Proof of Theorem nnnn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9003	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnaddcl 8764	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
3		oveq2 5790	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
4		nncn 8752	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. CC )
5	4	addid1d 7935	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( M + 0 ) = M )
6	3, 5	sylan9eqr 2195	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> ( M + N ) = M )
7		simpl 108	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> M e. NN )
8	6, 7	eqeltrd 2217	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> ( M + N ) e. NN )
9	2, 8	jaodan 787	. 2 |- ( ( M e. NN /\ ( N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( M + N ) e. NN )
10	1, 9	sylan2b 285	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   0cc0 7644   + caddc 7647   NNcn 8744   NN0cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addass 7746  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-inn 8745  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  9032  elz2  9146  bcxmas  11290