Theorem nn0nnaddcl 9271

Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nnaddcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0nnaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8990	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0cn 9250	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
3		addcom 8156	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑀 + 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑀 + 𝑁))
5		nnnn0addcl 9270	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
6	4, 5	eqeltrrd 2271	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
7	6	ancoms 268	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   + caddc 7875  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  nn0p1nn  9279  nnaddm1cl  9378  numnncl  9457  modfzo0difsn  10466