Theorem nn0nnaddcl 9573

Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nnaddcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0nnaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9291	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0cn 9552	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
3		addcom 8453	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑀 + 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑀 + 𝑁))
5		nnnn0addcl 9572	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
6	4, 5	eqeltrrd 2316	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
7	6	ancoms 268	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  ℂcc 8167   + caddc 8172  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-n0 9543

This theorem is referenced by:  nn0p1nn  9581  nnaddm1cl  9685  numnncl  9765  modfzo0difsn  10810