ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf Unicode version

Theorem nnnninf 6935
Description: Elements of ℕ corresponding to natural numbers. The natural number  N corresponds to a sequence of  N ones followed by zeroes. Contrast to a sequence which is all ones as seen at infnninf 6934. Remark/TODO: the theorem still holds if  N  =  om, that is, the antecedent could be weakened to  N  e.  suc  om. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
Distinct variable group:    i, N

Proof of Theorem nnnninf
Dummy variables  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6251 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  _V
21sucid 4277 . . . . . . 7  |-  1o  e.  suc  1o
3 df-2o 6244 . . . . . . 7  |-  2o  =  suc  1o
42, 3eleqtrri 2175 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
54a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
6 2on0 6253 . . . . . . 7  |-  2o  =/=  (/)
7 2onn 6347 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
8 nn0eln0 4471 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  ( (/) 
e.  2o  <->  2o  =/=  (/) ) )
97, 8ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  2o  <->  2o  =/=  (/) )
106, 9mpbir 145 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
1110a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  -> 
(/)  e.  2o )
12 nndcel 6326 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  i  e.  N )
1312ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  -> DECID  i  e.  N )
145, 11, 13ifcldcd 3454 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
15 eqid 2100 . . . 4  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
1614, 15fmptd 5506 . . 3  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o )
177elexi 2653 . . . 4  |-  2o  e.  _V
18 omex 4445 . . . 4  |-  om  e.  _V
1917, 18elmap 6501 . . 3  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o )
2016, 19sylibr 133 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om ) )
21 ssid 3067 . . . . . . . . 9  |-  1o  C_  1o
22 iftrue 3426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  j  e.  N  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2322sseq1d 3076 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  j  e.  N  -> 
( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o 
<->  1o  C_  1o )
)
2423adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  suc  j  e.  N
)  ->  ( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o 
<->  1o  C_  1o )
)
2521, 24mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  suc  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
26 0ss 3348 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  1o
27 iffalse 3429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
suc  j  e.  N  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
2827sseq1d 3076 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
suc  j  e.  N  ->  ( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o 
<->  (/)  C_  1o ) )
2928adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  suc  j  e.  N )  ->  ( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o  <->  (/)  C_  1o ) )
3026, 29mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  suc  j  e.  N )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
31 peano2 4447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
3231adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  suc  j  e.  om )
33 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  N  e.  om )
34 nndcel 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  suc  j  e.  N )
3532, 33, 34syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  -> DECID  suc  j  e.  N )
36 exmiddc 788 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  suc  j  e.  N  ->  ( suc  j  e.  N  \/  -.  suc  j  e.  N
) )
3735, 36syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( suc  j  e.  N  \/  -.  suc  j  e.  N )
)
3825, 30, 37mpjaodan 753 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
3938adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
40 iftrue 3426 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  ->  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4140adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  j  e.  N
)  ->  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4239, 41sseqtr4d 3086 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
43 ssid 3067 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  (/)
4443a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  (/)  C_  (/) )
45 nnord 4463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  om  ->  Ord  N )
46 ordtr 4238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
N  ->  Tr  N
)
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  om  ->  Tr  N )
48 trsuc 4282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Tr  N  /\  suc  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
4947, 48sylan 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  suc  j  e.  N
)  ->  j  e.  N )
5049ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  om  ->  ( suc  j  e.  N  ->  j  e.  N ) )
5150adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( suc  j  e.  N  ->  j  e.  N ) )
5251con3dimp 604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  -.  suc  j  e.  N )
5352, 27syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
54 iffalse 3429 . . . . . . 7  |-  ( -.  j  e.  N  ->  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
5554adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
5644, 53, 553sstr4d 3092 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
57 nndcel 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  j  e.  N )
5857ancoms 266 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  -> DECID  j  e.  N )
59 exmiddc 788 . . . . . 6  |-  (DECID  j  e.  N  ->  ( j  e.  N  \/  -.  j  e.  N )
)
6058, 59syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( j  e.  N  \/  -.  j  e.  N
) )
6142, 56, 60mpjaodan 753 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
624a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
6310a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  -> 
(/)  e.  2o )
6462, 63, 35ifcldcd 3454 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
65 eleq1 2162 . . . . . . 7  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( i  e.  N  <->  suc  j  e.  N ) )
6665ifbid 3440 . . . . . 6  |-  ( i  =  suc  j  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6766, 15fvmptg 5429 . . . . 5  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  =  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6832, 64, 67syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  =  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
69 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
7062, 63, 58ifcldcd 3454 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
71 eleq1 2162 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  N  <->  j  e.  N ) )
7271ifbid 3440 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
7372, 15fvmptg 5429 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
7469, 70, 73syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
7561, 68, 743sstr4d 3092 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
7675ralrimiva 2464 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) )
77 fveq1 5352 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( f `  suc  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )
)
78 fveq1 5352 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( f `  j
)  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
7977, 78sseq12d 3078 . . . 4  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
8079ralbidv 2396 . . 3  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( A. j  e. 
om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
81 df-nninf 6919 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
8280, 81elrab2 2796 . 2  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  <->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
8320, 76, 82sylanbrc 411 1  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 670  DECID wdc 786    = wceq 1299    e. wcel 1448    =/= wne 2267   A.wral 2375    C_ wss 3021   (/)c0 3310   ifcif 3421    |-> cmpt 3929   Tr wtr 3966   Ord word 4222   suc csuc 4225   omcom 4442   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   1oc1o 6236   2oc2o 6237    ^m cmap 6472  ℕxnninf 6917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1o 6243  df-2o 6244  df-map 6474  df-nninf 6919
This theorem is referenced by:  fnn0nninf  10051  nninfsellemdc  12790  nninfsellemqall  12795  nninffeq  12800
  Copyright terms: Public domain W3C validator