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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nnnninf | Unicode version |
Description: Elements of
ℕ∞ corresponding to natural numbers. The natural
number ![]() ![]() |
Ref | Expression |
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nnnninf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 1lt2o 6456 |
. . . . . 6
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2 | 1 | a1i 9 |
. . . . 5
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3 | 0lt2o 6455 |
. . . . . 6
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4 | 3 | a1i 9 |
. . . . 5
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5 | nndcel 6514 |
. . . . . 6
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6 | 5 | ancoms 268 |
. . . . 5
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7 | 2, 4, 6 | ifcldcd 3582 |
. . . 4
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8 | 7 | fmpttd 5684 |
. . 3
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9 | 2onn 6535 |
. . . . 5
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10 | 9 | elexi 2761 |
. . . 4
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11 | omex 4604 |
. . . 4
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12 | 10, 11 | elmap 6690 |
. . 3
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13 | 8, 12 | sylibr 134 |
. 2
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14 | ssid 3187 |
. . . . . . . . 9
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15 | iftrue 3551 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | 15 | sseq1d 3196 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 16 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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18 | 14, 17 | mpbiri 168 |
. . . . . . . 8
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19 | 0ss 3473 |
. . . . . . . . 9
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20 | iffalse 3554 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 20 | sseq1d 3196 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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23 | 19, 22 | mpbiri 168 |
. . . . . . . 8
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24 | peano2 4606 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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26 | simpl 109 |
. . . . . . . . . 10
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27 | nndcel 6514 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 25, 26, 27 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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29 | exmiddc 837 |
. . . . . . . . 9
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30 | 28, 29 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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31 | 18, 23, 30 | mpjaodan 799 |
. . . . . . 7
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32 | 31 | adantr 276 |
. . . . . 6
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33 | iftrue 3551 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | adantl 277 |
. . . . . 6
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35 | 32, 34 | sseqtrrd 3206 |
. . . . 5
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36 | ssid 3187 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | a1i 9 |
. . . . . 6
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38 | nnord 4623 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | ordtr 4390 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | trsuc 4434 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 40, 41 | sylan 283 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | ex 115 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | con3dimp 636 |
. . . . . . 7
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46 | 45, 20 | syl 14 |
. . . . . 6
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47 | iffalse 3554 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | adantl 277 |
. . . . . 6
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49 | 37, 46, 48 | 3sstr4d 3212 |
. . . . 5
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50 | nndcel 6514 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | ancoms 268 |
. . . . . 6
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52 | exmiddc 837 |
. . . . . 6
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53 | 51, 52 | syl 14 |
. . . . 5
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54 | 35, 49, 53 | mpjaodan 799 |
. . . 4
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55 | 1 | a1i 9 |
. . . . . 6
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56 | 3 | a1i 9 |
. . . . . 6
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57 | 55, 56, 28 | ifcldcd 3582 |
. . . . 5
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58 | eleq1 2250 |
. . . . . . 7
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59 | 58 | ifbid 3567 |
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60 | eqid 2187 |
. . . . . 6
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61 | 59, 60 | fvmptg 5605 |
. . . . 5
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62 | 25, 57, 61 | syl2anc 411 |
. . . 4
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63 | simpr 110 |
. . . . 5
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64 | 55, 56, 51 | ifcldcd 3582 |
. . . . 5
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65 | eleq1 2250 |
. . . . . . 7
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66 | 65 | ifbid 3567 |
. . . . . 6
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67 | 66, 60 | fvmptg 5605 |
. . . . 5
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68 | 63, 64, 67 | syl2anc 411 |
. . . 4
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69 | 54, 62, 68 | 3sstr4d 3212 |
. . 3
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70 | 69 | ralrimiva 2560 |
. 2
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71 | fveq1 5526 |
. . . . 5
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72 | fveq1 5526 |
. . . . 5
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73 | 71, 72 | sseq12d 3198 |
. . . 4
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74 | 73 | ralbidv 2487 |
. . 3
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75 | df-nninf 7132 |
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76 | 74, 75 | elrab2 2908 |
. 2
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77 | 13, 70, 76 | sylanbrc 417 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-ral 2470 df-rex 2471 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-iord 4378 df-on 4380 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-fv 5236 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1o 6430 df-2o 6431 df-map 6663 df-nninf 7132 |
This theorem is referenced by: nnnninf2 7138 fnn0nninf 10450 nninfsellemdc 15031 nninfsellemqall 15036 nninffeq 15041 |
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