Theorem nnnninf 7031

Description: Elements of ℕ_∞ corresponding to natural numbers. The natural number N corresponds to a sequence of N ones followed by zeroes. Contrast to a sequence which is all ones as seen at infnninf 7030. Remark/TODO: the theorem still holds if N = om, that is, the antecedent could be weakened to N e. suc om. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf	|- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6329	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
2	1	sucid 4347	. . . . . . 7 |- 1o e. suc 1o
3		df-2o 6322	. . . . . . 7 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	eleqtrri 2216	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
6		2on0 6331	. . . . . . 7 |- 2o =/= (/)
7		2onn 6425	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
8		nn0eln0 4541	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> ( (/) e. 2o <-> 2o =/= (/) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( (/) e. 2o <-> 2o =/= (/) )
10	6, 9	mpbir 145	. . . . . 6 |- (/) e. 2o
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
12		nndcel 6404	. . . . . 6 |- ( ( i e. om /\ N e. om ) -> DECID i e. N )
13	12	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> DECID i e. N )
14	5, 11, 13	ifcldcd 3512	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> if ( i e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
15		eqid 2140	. . . 4 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
16	14, 15	fmptd 5582	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
17	7	elexi 2701	. . . 4 |- 2o e. _V
18		omex 4515	. . . 4 |- om e. _V
19	17, 18	elmap 6579	. . 3 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
20	16, 19	sylibr 133	. 2 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
21		ssid 3122	. . . . . . . . 9 |- 1o C_ 1o
22		iftrue 3484	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
23	22	sseq1d 3131	. . . . . . . . . 10 |- ( suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
24	23	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
25	21, 24	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
26		0ss 3406	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ 1o
27		iffalse 3487	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
28	27	sseq1d 3131	. . . . . . . . . 10 |- ( -. suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
29	28	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
30	26, 29	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
31		peano2 4517	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> suc j e. om )
32	31	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> suc j e. om )
33		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> N e. om )
34		nndcel 6404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc j e. om /\ N e. om ) -> DECID suc j e. N )
35	32, 33, 34	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID suc j e. N )
36		exmiddc 822	. . . . . . . . 9 |- (DECID suc j e. N -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
38	25, 30, 37	mpjaodan 788	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
39	38	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
40		iftrue 3484	. . . . . . 7 |- ( j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
41	40	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
42	39, 41	sseqtrrd 3141	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
43		ssid 3122	. . . . . . 7 |- (/) C_ (/)
44	43	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> (/) C_ (/) )
45		nnord 4533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. om -> Ord N )
46		ordtr 4308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord N -> Tr N )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> Tr N )
48		trsuc 4352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Tr N /\ suc j e. N ) -> j e. N )
49	47, 48	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ suc j e. N ) -> j e. N )
50	49	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( N e. om -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
51	50	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
52	51	con3dimp 625	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> -. suc j e. N )
53	52, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
54		iffalse 3487	. . . . . . 7 |- ( -. j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
55	54	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
56	44, 53, 55	3sstr4d 3147	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
57		nndcel 6404	. . . . . . 7 |- ( ( j e. om /\ N e. om ) -> DECID j e. N )
58	57	ancoms 266	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID j e. N )
59		exmiddc 822	. . . . . 6 |- (DECID j e. N -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
60	58, 59	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
61	42, 56, 60	mpjaodan 788	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
62	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
63	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> (/) e. 2o )
64	62, 63, 35	ifcldcd 3512	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
65		eleq1 2203	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> ( i e. N <-> suc j e. N ) )
66	65	ifbid 3498	. . . . . 6 |- ( i = suc j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
67	66, 15	fvmptg 5505	. . . . 5 |- ( ( suc j e. om /\ if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
68	32, 64, 67	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
69		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> j e. om )
70	62, 63, 58	ifcldcd 3512	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
71		eleq1 2203	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( i e. N <-> j e. N ) )
72	71	ifbid 3498	. . . . . 6 |- ( i = j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
73	72, 15	fvmptg 5505	. . . . 5 |- ( ( j e. om /\ if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
74	69, 70, 73	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
75	61, 68, 74	3sstr4d 3147	. . 3 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
76	75	ralrimiva 2508	. 2 |- ( N e. om -> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
77		fveq1 5428	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
78		fveq1 5428	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
79	77, 78	sseq12d 3133	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
80	79	ralbidv 2438	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
81		df-nninf 7015	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
82	80, 81	elrab2 2847	. 2 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
83	20, 76, 82	sylanbrc 414	1 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   A.wral 2417   C_ wss 3076   (/)c0 3368   ifcif 3479   |-> cmpt 3997   Tr wtr 4034   Ord word 4292   suc csuc 4295   omcom 4512   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1oc1o 6314   2oc2o 6315   ^m cmap 6550  ℕ_∞xnninf 7013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1o 6321  df-2o 6322  df-map 6552  df-nninf 7015

This theorem is referenced by:  fnn0nninf  10241  nninfsellemdc  13381  nninfsellemqall  13386  nninffeq  13391