ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf Unicode version

Theorem nnnninf 6991
Description: Elements of ℕ corresponding to natural numbers. The natural number  N corresponds to a sequence of  N ones followed by zeroes. Contrast to a sequence which is all ones as seen at infnninf 6990. Remark/TODO: the theorem still holds if  N  =  om, that is, the antecedent could be weakened to  N  e.  suc  om. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
Distinct variable group:    i, N

Proof of Theorem nnnninf
Dummy variables  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6289 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  _V
21sucid 4309 . . . . . . 7  |-  1o  e.  suc  1o
3 df-2o 6282 . . . . . . 7  |-  2o  =  suc  1o
42, 3eleqtrri 2193 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
54a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
6 2on0 6291 . . . . . . 7  |-  2o  =/=  (/)
7 2onn 6385 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
8 nn0eln0 4503 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  ( (/) 
e.  2o  <->  2o  =/=  (/) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  2o  <->  2o  =/=  (/) )
106, 9mpbir 145 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
1110a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  -> 
(/)  e.  2o )
12 nndcel 6364 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  i  e.  N )
1312ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  -> DECID  i  e.  N )
145, 11, 13ifcldcd 3477 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
15 eqid 2117 . . . 4  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
1614, 15fmptd 5542 . . 3  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o )
177elexi 2672 . . . 4  |-  2o  e.  _V
18 omex 4477 . . . 4  |-  om  e.  _V
1917, 18elmap 6539 . . 3  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o )
2016, 19sylibr 133 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om ) )
21 ssid 3087 . . . . . . . . 9  |-  1o  C_  1o
22 iftrue 3449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  j  e.  N  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2322sseq1d 3096 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  j  e.  N  -> 
( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o 
<->  1o  C_  1o )
)
2423adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  suc  j  e.  N
)  ->  ( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o 
<->  1o  C_  1o )
)
2521, 24mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  suc  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
26 0ss 3371 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  1o
27 iffalse 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
suc  j  e.  N  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
2827sseq1d 3096 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
suc  j  e.  N  ->  ( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o 
<->  (/)  C_  1o ) )
2928adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  suc  j  e.  N )  ->  ( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o  <->  (/)  C_  1o ) )
3026, 29mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  suc  j  e.  N )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
31 peano2 4479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
3231adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  suc  j  e.  om )
33 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  N  e.  om )
34 nndcel 6364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  suc  j  e.  N )
3532, 33, 34syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  -> DECID  suc  j  e.  N )
36 exmiddc 806 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  suc  j  e.  N  ->  ( suc  j  e.  N  \/  -.  suc  j  e.  N
) )
3735, 36syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( suc  j  e.  N  \/  -.  suc  j  e.  N )
)
3825, 30, 37mpjaodan 772 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
3938adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
40 iftrue 3449 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  ->  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4140adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  j  e.  N
)  ->  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4239, 41sseqtrrd 3106 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
43 ssid 3087 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  (/)
4443a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  (/)  C_  (/) )
45 nnord 4495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  om  ->  Ord  N )
46 ordtr 4270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
N  ->  Tr  N
)
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  om  ->  Tr  N )
48 trsuc 4314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Tr  N  /\  suc  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
4947, 48sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  suc  j  e.  N
)  ->  j  e.  N )
5049ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  om  ->  ( suc  j  e.  N  ->  j  e.  N ) )
5150adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( suc  j  e.  N  ->  j  e.  N ) )
5251con3dimp 609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  -.  suc  j  e.  N )
5352, 27syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
54 iffalse 3452 . . . . . . 7  |-  ( -.  j  e.  N  ->  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
5554adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
5644, 53, 553sstr4d 3112 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
57 nndcel 6364 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  j  e.  N )
5857ancoms 266 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  -> DECID  j  e.  N )
59 exmiddc 806 . . . . . 6  |-  (DECID  j  e.  N  ->  ( j  e.  N  \/  -.  j  e.  N )
)
6058, 59syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( j  e.  N  \/  -.  j  e.  N
) )
6142, 56, 60mpjaodan 772 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
624a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
6310a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  -> 
(/)  e.  2o )
6462, 63, 35ifcldcd 3477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
65 eleq1 2180 . . . . . . 7  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( i  e.  N  <->  suc  j  e.  N ) )
6665ifbid 3463 . . . . . 6  |-  ( i  =  suc  j  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6766, 15fvmptg 5465 . . . . 5  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  =  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6832, 64, 67syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  =  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
69 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
7062, 63, 58ifcldcd 3477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
71 eleq1 2180 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  N  <->  j  e.  N ) )
7271ifbid 3463 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
7372, 15fvmptg 5465 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
7469, 70, 73syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
7561, 68, 743sstr4d 3112 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
7675ralrimiva 2482 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) )
77 fveq1 5388 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( f `  suc  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )
)
78 fveq1 5388 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( f `  j
)  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
7977, 78sseq12d 3098 . . . 4  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
8079ralbidv 2414 . . 3  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( A. j  e. 
om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
81 df-nninf 6975 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
8280, 81elrab2 2816 . 2  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  <->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
8320, 76, 82sylanbrc 413 1  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285   A.wral 2393    C_ wss 3041   (/)c0 3333   ifcif 3444    |-> cmpt 3959   Tr wtr 3996   Ord word 4254   suc csuc 4257   omcom 4474   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   1oc1o 6274   2oc2o 6275    ^m cmap 6510  ℕxnninf 6973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1o 6281  df-2o 6282  df-map 6512  df-nninf 6975
This theorem is referenced by:  fnn0nninf  10165  nninfsellemdc  13102  nninfsellemqall  13107  nninffeq  13112
  Copyright terms: Public domain W3C validator