ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf Unicode version

Theorem nnnninf 7137
Description: Elements of ℕ corresponding to natural numbers. The natural number  N corresponds to a sequence of  N ones followed by zeroes. This can be strengthened to include infinity, see nnnninf2 7138. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
Distinct variable group:    i, N

Proof of Theorem nnnninf
Dummy variables  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2o 6456 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
3 0lt2o 6455 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
43a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  -> 
(/)  e.  2o )
5 nndcel 6514 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  i  e.  N )
65ancoms 268 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  -> DECID  i  e.  N )
72, 4, 6ifcldcd 3582 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  i  e.  om )  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
87fmpttd 5684 . . 3  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o )
9 2onn 6535 . . . . 5  |-  2o  e.  om
109elexi 2761 . . . 4  |-  2o  e.  _V
11 omex 4604 . . . 4  |-  om  e.  _V
1210, 11elmap 6690 . . 3  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o )
138, 12sylibr 134 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om ) )
14 ssid 3187 . . . . . . . . 9  |-  1o  C_  1o
15 iftrue 3551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  j  e.  N  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
1615sseq1d 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  j  e.  N  -> 
( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o 
<->  1o  C_  1o )
)
1716adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  suc  j  e.  N
)  ->  ( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o 
<->  1o  C_  1o )
)
1814, 17mpbiri 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  suc  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
19 0ss 3473 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  1o
20 iffalse 3554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
suc  j  e.  N  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
2120sseq1d 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
suc  j  e.  N  ->  ( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o 
<->  (/)  C_  1o ) )
2221adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  suc  j  e.  N )  ->  ( if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o  <->  (/)  C_  1o ) )
2319, 22mpbiri 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  suc  j  e.  N )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
24 peano2 4606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
2524adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  suc  j  e.  om )
26 simpl 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  N  e.  om )
27 nndcel 6514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  suc  j  e.  N )
2825, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  -> DECID  suc  j  e.  N )
29 exmiddc 837 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  suc  j  e.  N  ->  ( suc  j  e.  N  \/  -.  suc  j  e.  N
) )
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( suc  j  e.  N  \/  -.  suc  j  e.  N )
)
3118, 23, 30mpjaodan 799 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
3231adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
33 iftrue 3551 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  ->  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
3433adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  j  e.  N
)  ->  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
3532, 34sseqtrrd 3206 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
36 ssid 3187 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  (/)
3736a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  (/)  C_  (/) )
38 nnord 4623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  om  ->  Ord  N )
39 ordtr 4390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
N  ->  Tr  N
)
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  om  ->  Tr  N )
41 trsuc 4434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Tr  N  /\  suc  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
4240, 41sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  suc  j  e.  N
)  ->  j  e.  N )
4342ex 115 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  om  ->  ( suc  j  e.  N  ->  j  e.  N ) )
4443adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( suc  j  e.  N  ->  j  e.  N ) )
4544con3dimp 636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  -.  suc  j  e.  N )
4645, 20syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
47 iffalse 3554 . . . . . . 7  |-  ( -.  j  e.  N  ->  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
4847adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
4937, 46, 483sstr4d 3212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  e.  N
)  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
50 nndcel 6514 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  j  e.  N )
5150ancoms 268 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  -> DECID  j  e.  N )
52 exmiddc 837 . . . . . 6  |-  (DECID  j  e.  N  ->  ( j  e.  N  \/  -.  j  e.  N )
)
5351, 52syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( j  e.  N  \/  -.  j  e.  N
) )
5435, 49, 53mpjaodan 799 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  C_  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
551a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
563a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  -> 
(/)  e.  2o )
5755, 56, 28ifcldcd 3582 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
58 eleq1 2250 . . . . . . 7  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( i  e.  N  <->  suc  j  e.  N ) )
5958ifbid 3567 . . . . . 6  |-  ( i  =  suc  j  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
60 eqid 2187 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6159, 60fvmptg 5605 . . . . 5  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  =  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6225, 57, 61syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  =  if ( suc  j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
63 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
6455, 56, 51ifcldcd 3582 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
65 eleq1 2250 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  N  <->  j  e.  N ) )
6665ifbid 3567 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6766, 60fvmptg 5605 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6863, 64, 67syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6954, 62, 683sstr4d 3212 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
7069ralrimiva 2560 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) )
71 fveq1 5526 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( f `  suc  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )
)
72 fveq1 5526 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( f `  j
)  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
7371, 72sseq12d 3198 . . . 4  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
7473ralbidv 2487 . . 3  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( A. j  e. 
om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
75 df-nninf 7132 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
7674, 75elrab2 2908 . 2  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  <->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
7713, 70, 76sylanbrc 417 1  |-  ( N  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465    C_ wss 3141   (/)c0 3434   ifcif 3546    |-> cmpt 4076   Tr wtr 4113   Ord word 4374   suc csuc 4377   omcom 4601   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   1oc1o 6423   2oc2o 6424    ^m cmap 6661  ℕxnninf 7131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1o 6430  df-2o 6431  df-map 6663  df-nninf 7132
This theorem is referenced by:  nnnninf2  7138  fnn0nninf  10450  nninfsellemdc  15031  nninfsellemqall  15036  nninffeq  15041
  Copyright terms: Public domain W3C validator