Theorem nnnninf 7210

Description: Elements of ℕ_∞ corresponding to natural numbers. The natural number N corresponds to a sequence of N ones followed by zeroes. This can be strengthened to include infinity, see nnnninf2 7211. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf	|- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6518	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
3		0lt2o 6517	. . . . . 6 |- (/) e. 2o
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
5		nndcel 6576	. . . . . 6 |- ( ( i e. om /\ N e. om ) -> DECID i e. N )
6	5	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> DECID i e. N )
7	2, 4, 6	ifcldcd 3607	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> if ( i e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
8	7	fmpttd 5729	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
9		2onn 6597	. . . . 5 |- 2o e. om
10	9	elexi 2783	. . . 4 |- 2o e. _V
11		omex 4639	. . . 4 |- om e. _V
12	10, 11	elmap 6754	. . 3 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
13	8, 12	sylibr 134	. 2 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
14		ssid 3212	. . . . . . . . 9 |- 1o C_ 1o
15		iftrue 3575	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
16	15	sseq1d 3221	. . . . . . . . . 10 |- ( suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
18	14, 17	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
19		0ss 3498	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ 1o
20		iffalse 3578	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
21	20	sseq1d 3221	. . . . . . . . . 10 |- ( -. suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
23	19, 22	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
24		peano2 4641	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> suc j e. om )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> suc j e. om )
26		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> N e. om )
27		nndcel 6576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc j e. om /\ N e. om ) -> DECID suc j e. N )
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID suc j e. N )
29		exmiddc 837	. . . . . . . . 9 |- (DECID suc j e. N -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
31	18, 23, 30	mpjaodan 799	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
32	31	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
33		iftrue 3575	. . . . . . 7 |- ( j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
35	32, 34	sseqtrrd 3231	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
36		ssid 3212	. . . . . . 7 |- (/) C_ (/)
37	36	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> (/) C_ (/) )
38		nnord 4658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. om -> Ord N )
39		ordtr 4423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord N -> Tr N )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> Tr N )
41		trsuc 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Tr N /\ suc j e. N ) -> j e. N )
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ suc j e. N ) -> j e. N )
43	42	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( N e. om -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
45	44	con3dimp 636	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> -. suc j e. N )
46	45, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
47		iffalse 3578	. . . . . . 7 |- ( -. j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
48	47	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
49	37, 46, 48	3sstr4d 3237	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
50		nndcel 6576	. . . . . . 7 |- ( ( j e. om /\ N e. om ) -> DECID j e. N )
51	50	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID j e. N )
52		exmiddc 837	. . . . . 6 |- (DECID j e. N -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
54	35, 49, 53	mpjaodan 799	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
55	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
56	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> (/) e. 2o )
57	55, 56, 28	ifcldcd 3607	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
58		eleq1 2267	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> ( i e. N <-> suc j e. N ) )
59	58	ifbid 3591	. . . . . 6 |- ( i = suc j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
60		eqid 2204	. . . . . 6 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
61	59, 60	fvmptg 5649	. . . . 5 |- ( ( suc j e. om /\ if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
62	25, 57, 61	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
63		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> j e. om )
64	55, 56, 51	ifcldcd 3607	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
65		eleq1 2267	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( i e. N <-> j e. N ) )
66	65	ifbid 3591	. . . . . 6 |- ( i = j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
67	66, 60	fvmptg 5649	. . . . 5 |- ( ( j e. om /\ if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
68	63, 64, 67	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
69	54, 62, 68	3sstr4d 3237	. . 3 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
70	69	ralrimiva 2578	. 2 |- ( N e. om -> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
71		fveq1 5569	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
72		fveq1 5569	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
73	71, 72	sseq12d 3223	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
74	73	ralbidv 2505	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
75		df-nninf 7204	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
76	74, 75	elrab2 2931	. 2 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
77	13, 70, 76	sylanbrc 417	1 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   C_ wss 3165   (/)c0 3459   ifcif 3570   |-> cmpt 4104   Tr wtr 4141   Ord word 4407   suc csuc 4410   omcom 4636   -->wf 5264   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   1oc1o 6485   2oc2o 6486   ^m cmap 6725  ℕ_∞xnninf 7203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1o 6492  df-2o 6493  df-map 6727  df-nninf 7204

This theorem is referenced by:  nnnninf2  7211  fnn0nninf  10564  nninfinf  10569  nninfsellemdc  15811  nninfsellemqall  15816  nninffeq  15821