Theorem nnnninf 7126

Description: Elements of ℕ_∞ corresponding to natural numbers. The natural number N corresponds to a sequence of N ones followed by zeroes. This can be strengthened to include infinity, see nnnninf2 7127. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf	|- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6445	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
3		0lt2o 6444	. . . . . 6 |- (/) e. 2o
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
5		nndcel 6503	. . . . . 6 |- ( ( i e. om /\ N e. om ) -> DECID i e. N )
6	5	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> DECID i e. N )
7	2, 4, 6	ifcldcd 3572	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> if ( i e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
8	7	fmpttd 5673	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
9		2onn 6524	. . . . 5 |- 2o e. om
10	9	elexi 2751	. . . 4 |- 2o e. _V
11		omex 4594	. . . 4 |- om e. _V
12	10, 11	elmap 6679	. . 3 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
13	8, 12	sylibr 134	. 2 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
14		ssid 3177	. . . . . . . . 9 |- 1o C_ 1o
15		iftrue 3541	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
16	15	sseq1d 3186	. . . . . . . . . 10 |- ( suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
18	14, 17	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
19		0ss 3463	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ 1o
20		iffalse 3544	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
21	20	sseq1d 3186	. . . . . . . . . 10 |- ( -. suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
23	19, 22	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
24		peano2 4596	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> suc j e. om )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> suc j e. om )
26		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> N e. om )
27		nndcel 6503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc j e. om /\ N e. om ) -> DECID suc j e. N )
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID suc j e. N )
29		exmiddc 836	. . . . . . . . 9 |- (DECID suc j e. N -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
31	18, 23, 30	mpjaodan 798	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
32	31	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
33		iftrue 3541	. . . . . . 7 |- ( j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
35	32, 34	sseqtrrd 3196	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
36		ssid 3177	. . . . . . 7 |- (/) C_ (/)
37	36	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> (/) C_ (/) )
38		nnord 4613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. om -> Ord N )
39		ordtr 4380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord N -> Tr N )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> Tr N )
41		trsuc 4424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Tr N /\ suc j e. N ) -> j e. N )
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ suc j e. N ) -> j e. N )
43	42	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( N e. om -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
45	44	con3dimp 635	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> -. suc j e. N )
46	45, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
47		iffalse 3544	. . . . . . 7 |- ( -. j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
48	47	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
49	37, 46, 48	3sstr4d 3202	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
50		nndcel 6503	. . . . . . 7 |- ( ( j e. om /\ N e. om ) -> DECID j e. N )
51	50	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID j e. N )
52		exmiddc 836	. . . . . 6 |- (DECID j e. N -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
54	35, 49, 53	mpjaodan 798	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
55	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
56	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> (/) e. 2o )
57	55, 56, 28	ifcldcd 3572	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
58		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> ( i e. N <-> suc j e. N ) )
59	58	ifbid 3557	. . . . . 6 |- ( i = suc j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
60		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
61	59, 60	fvmptg 5594	. . . . 5 |- ( ( suc j e. om /\ if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
62	25, 57, 61	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
63		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> j e. om )
64	55, 56, 51	ifcldcd 3572	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
65		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( i e. N <-> j e. N ) )
66	65	ifbid 3557	. . . . . 6 |- ( i = j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
67	66, 60	fvmptg 5594	. . . . 5 |- ( ( j e. om /\ if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
68	63, 64, 67	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
69	54, 62, 68	3sstr4d 3202	. . 3 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
70	69	ralrimiva 2550	. 2 |- ( N e. om -> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
71		fveq1 5516	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
72		fveq1 5516	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
73	71, 72	sseq12d 3188	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
74	73	ralbidv 2477	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
75		df-nninf 7121	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
76	74, 75	elrab2 2898	. 2 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
77	13, 70, 76	sylanbrc 417	1 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   (/)c0 3424   ifcif 3536   |-> cmpt 4066   Tr wtr 4103   Ord word 4364   suc csuc 4367   omcom 4591   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1oc1o 6412   2oc2o 6413   ^m cmap 6650  ℕ_∞xnninf 7120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-nninf 7121

This theorem is referenced by:  nnnninf2  7127  fnn0nninf  10439  nninfsellemdc  14798  nninfsellemqall  14803  nninffeq  14808