Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf Unicode version

Theorem nnnninf 6935
 Description: Elements of ℕ∞ corresponding to natural numbers. The natural number corresponds to a sequence of ones followed by zeroes. Contrast to a sequence which is all ones as seen at infnninf 6934. Remark/TODO: the theorem still holds if , that is, the antecedent could be weakened to . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nnnninf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6251 . . . . . . . 8
21sucid 4277 . . . . . . 7
3 df-2o 6244 . . . . . . 7
42, 3eleqtrri 2175 . . . . . 6
54a1i 9 . . . . 5
6 2on0 6253 . . . . . . 7
7 2onn 6347 . . . . . . . 8
8 nn0eln0 4471 . . . . . . . 8
97, 8ax-mp 7 . . . . . . 7
106, 9mpbir 145 . . . . . 6
1110a1i 9 . . . . 5
12 nndcel 6326 . . . . . 6 DECID
1312ancoms 266 . . . . 5 DECID
145, 11, 13ifcldcd 3454 . . . 4
15 eqid 2100 . . . 4
1614, 15fmptd 5506 . . 3
177elexi 2653 . . . 4
18 omex 4445 . . . 4
1917, 18elmap 6501 . . 3
2016, 19sylibr 133 . 2
21 ssid 3067 . . . . . . . . 9
22 iftrue 3426 . . . . . . . . . . 11
2322sseq1d 3076 . . . . . . . . . 10
2423adantl 273 . . . . . . . . 9
2521, 24mpbiri 167 . . . . . . . 8
26 0ss 3348 . . . . . . . . 9
27 iffalse 3429 . . . . . . . . . . 11
2827sseq1d 3076 . . . . . . . . . 10
2928adantl 273 . . . . . . . . 9
3026, 29mpbiri 167 . . . . . . . 8
31 peano2 4447 . . . . . . . . . . 11
3231adantl 273 . . . . . . . . . 10
33 simpl 108 . . . . . . . . . 10
34 nndcel 6326 . . . . . . . . . 10 DECID
3532, 33, 34syl2anc 406 . . . . . . . . 9 DECID
36 exmiddc 788 . . . . . . . . 9 DECID
3735, 36syl 14 . . . . . . . 8
3825, 30, 37mpjaodan 753 . . . . . . 7
3938adantr 272 . . . . . 6
40 iftrue 3426 . . . . . . 7
4140adantl 273 . . . . . 6
4239, 41sseqtr4d 3086 . . . . 5
43 ssid 3067 . . . . . . 7
4443a1i 9 . . . . . 6
45 nnord 4463 . . . . . . . . . . . 12
46 ordtr 4238 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11
48 trsuc 4282 . . . . . . . . . . 11
4947, 48sylan 279 . . . . . . . . . 10
5049ex 114 . . . . . . . . 9
5150adantr 272 . . . . . . . 8
5251con3dimp 604 . . . . . . 7
5352, 27syl 14 . . . . . 6
54 iffalse 3429 . . . . . . 7
5554adantl 273 . . . . . 6
5644, 53, 553sstr4d 3092 . . . . 5
57 nndcel 6326 . . . . . . 7 DECID
5857ancoms 266 . . . . . 6 DECID
59 exmiddc 788 . . . . . 6 DECID
6058, 59syl 14 . . . . 5
6142, 56, 60mpjaodan 753 . . . 4
624a1i 9 . . . . . 6
6310a1i 9 . . . . . 6
6462, 63, 35ifcldcd 3454 . . . . 5
65 eleq1 2162 . . . . . . 7
6665ifbid 3440 . . . . . 6
6766, 15fvmptg 5429 . . . . 5
6832, 64, 67syl2anc 406 . . . 4
69 simpr 109 . . . . 5
7062, 63, 58ifcldcd 3454 . . . . 5
71 eleq1 2162 . . . . . . 7
7271ifbid 3440 . . . . . 6
7372, 15fvmptg 5429 . . . . 5
7469, 70, 73syl2anc 406 . . . 4
7561, 68, 743sstr4d 3092 . . 3
7675ralrimiva 2464 . 2
77 fveq1 5352 . . . . 5
78 fveq1 5352 . . . . 5
7977, 78sseq12d 3078 . . . 4
8079ralbidv 2396 . . 3
81 df-nninf 6919 . . 3
8280, 81elrab2 2796 . 2
8320, 76, 82sylanbrc 411 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 670  DECID wdc 786   wceq 1299   wcel 1448   wne 2267  wral 2375   wss 3021  c0 3310  cif 3421   cmpt 3929   wtr 3966   word 4222   csuc 4225  com 4442  wf 5055  cfv 5059  (class class class)co 5706  c1o 6236  c2o 6237   cmap 6472  ℕ∞xnninf 6917 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1o 6243  df-2o 6244  df-map 6474  df-nninf 6919 This theorem is referenced by:  fnn0nninf  10051  nninfsellemdc  12790  nninfsellemqall  12795  nninffeq  12800
 Copyright terms: Public domain W3C validator