Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf Unicode version

Theorem nnnninf 7023
 Description: Elements of ℕ∞ corresponding to natural numbers. The natural number corresponds to a sequence of ones followed by zeroes. Contrast to a sequence which is all ones as seen at infnninf 7022. Remark/TODO: the theorem still holds if , that is, the antecedent could be weakened to . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nnnninf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6321 . . . . . . . 8
21sucid 4339 . . . . . . 7
3 df-2o 6314 . . . . . . 7
42, 3eleqtrri 2215 . . . . . 6
54a1i 9 . . . . 5
6 2on0 6323 . . . . . . 7
7 2onn 6417 . . . . . . . 8
8 nn0eln0 4533 . . . . . . . 8
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7
106, 9mpbir 145 . . . . . 6
1110a1i 9 . . . . 5
12 nndcel 6396 . . . . . 6 DECID
1312ancoms 266 . . . . 5 DECID
145, 11, 13ifcldcd 3507 . . . 4
15 eqid 2139 . . . 4
1614, 15fmptd 5574 . . 3
177elexi 2698 . . . 4
18 omex 4507 . . . 4
1917, 18elmap 6571 . . 3
2016, 19sylibr 133 . 2
21 ssid 3117 . . . . . . . . 9
22 iftrue 3479 . . . . . . . . . . 11
2322sseq1d 3126 . . . . . . . . . 10
2423adantl 275 . . . . . . . . 9
2521, 24mpbiri 167 . . . . . . . 8
26 0ss 3401 . . . . . . . . 9
27 iffalse 3482 . . . . . . . . . . 11
2827sseq1d 3126 . . . . . . . . . 10
2928adantl 275 . . . . . . . . 9
3026, 29mpbiri 167 . . . . . . . 8
31 peano2 4509 . . . . . . . . . . 11
3231adantl 275 . . . . . . . . . 10
33 simpl 108 . . . . . . . . . 10
34 nndcel 6396 . . . . . . . . . 10 DECID
3532, 33, 34syl2anc 408 . . . . . . . . 9 DECID
36 exmiddc 821 . . . . . . . . 9 DECID
3735, 36syl 14 . . . . . . . 8
3825, 30, 37mpjaodan 787 . . . . . . 7
3938adantr 274 . . . . . 6
40 iftrue 3479 . . . . . . 7
4140adantl 275 . . . . . 6
4239, 41sseqtrrd 3136 . . . . 5
43 ssid 3117 . . . . . . 7
4443a1i 9 . . . . . 6
45 nnord 4525 . . . . . . . . . . . 12
46 ordtr 4300 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11
48 trsuc 4344 . . . . . . . . . . 11
4947, 48sylan 281 . . . . . . . . . 10
5049ex 114 . . . . . . . . 9
5150adantr 274 . . . . . . . 8
5251con3dimp 624 . . . . . . 7
5352, 27syl 14 . . . . . 6
54 iffalse 3482 . . . . . . 7
5554adantl 275 . . . . . 6
5644, 53, 553sstr4d 3142 . . . . 5
57 nndcel 6396 . . . . . . 7 DECID
5857ancoms 266 . . . . . 6 DECID
59 exmiddc 821 . . . . . 6 DECID
6058, 59syl 14 . . . . 5
6142, 56, 60mpjaodan 787 . . . 4
624a1i 9 . . . . . 6
6310a1i 9 . . . . . 6
6462, 63, 35ifcldcd 3507 . . . . 5
65 eleq1 2202 . . . . . . 7
6665ifbid 3493 . . . . . 6
6766, 15fvmptg 5497 . . . . 5
6832, 64, 67syl2anc 408 . . . 4
69 simpr 109 . . . . 5
7062, 63, 58ifcldcd 3507 . . . . 5
71 eleq1 2202 . . . . . . 7
7271ifbid 3493 . . . . . 6
7372, 15fvmptg 5497 . . . . 5
7469, 70, 73syl2anc 408 . . . 4
7561, 68, 743sstr4d 3142 . . 3
7675ralrimiva 2505 . 2
77 fveq1 5420 . . . . 5
78 fveq1 5420 . . . . 5
7977, 78sseq12d 3128 . . . 4
8079ralbidv 2437 . . 3
81 df-nninf 7007 . . 3
8280, 81elrab2 2843 . 2
8320, 76, 82sylanbrc 413 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697  DECID wdc 819   wceq 1331   wcel 1480   wne 2308  wral 2416   wss 3071  c0 3363  cif 3474   cmpt 3989   wtr 4026   word 4284   csuc 4287  com 4504  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  c1o 6306  c2o 6307   cmap 6542  ℕ∞xnninf 7005 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007 This theorem is referenced by:  fnn0nninf  10224  nninfsellemdc  13315  nninfsellemqall  13320  nninffeq  13325
 Copyright terms: Public domain W3C validator