Theorem nnnninf 7417

Description: Elements of ℕ_∞ corresponding to natural numbers. The natural number N corresponds to a sequence of N ones followed by zeroes. This can be strengthened to include infinity, see nnnninf2 7418. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf	|- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6675	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
3		0lt2o 6674	. . . . . 6 |- (/) e. 2o
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
5		nndcel 6733	. . . . . 6 |- ( ( i e. om /\ N e. om ) -> DECID i e. N )
6	5	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> DECID i e. N )
7	2, 4, 6	ifcldcd 3660	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> if ( i e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
8	7	fmpttd 5832	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
9		2onn 6754	. . . . 5 |- 2o e. om
10	9	elexi 2826	. . . 4 |- 2o e. _V
11		omex 4715	. . . 4 |- om e. _V
12	10, 11	elmap 6911	. . 3 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
13	8, 12	sylibr 134	. 2 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
14		ssid 3258	. . . . . . . . 9 |- 1o C_ 1o
15		iftrue 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
16	15	sseq1d 3267	. . . . . . . . . 10 |- ( suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
18	14, 17	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
19		0ss 3547	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ 1o
20		iffalse 3630	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
21	20	sseq1d 3267	. . . . . . . . . 10 |- ( -. suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
23	19, 22	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
24		peano2 4717	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> suc j e. om )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> suc j e. om )
26		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> N e. om )
27		nndcel 6733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc j e. om /\ N e. om ) -> DECID suc j e. N )
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID suc j e. N )
29		exmiddc 844	. . . . . . . . 9 |- (DECID suc j e. N -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
31	18, 23, 30	mpjaodan 806	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
32	31	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
33		iftrue 3627	. . . . . . 7 |- ( j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
35	32, 34	sseqtrrd 3277	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
36		ssid 3258	. . . . . . 7 |- (/) C_ (/)
37	36	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> (/) C_ (/) )
38		nnord 4734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. om -> Ord N )
39		ordtr 4499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord N -> Tr N )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> Tr N )
41		trsuc 4543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Tr N /\ suc j e. N ) -> j e. N )
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ suc j e. N ) -> j e. N )
43	42	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( N e. om -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
45	44	con3dimp 640	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> -. suc j e. N )
46	45, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
47		iffalse 3630	. . . . . . 7 |- ( -. j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
48	47	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
49	37, 46, 48	3sstr4d 3283	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
50		nndcel 6733	. . . . . . 7 |- ( ( j e. om /\ N e. om ) -> DECID j e. N )
51	50	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID j e. N )
52		exmiddc 844	. . . . . 6 |- (DECID j e. N -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
54	35, 49, 53	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
55	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
56	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> (/) e. 2o )
57	55, 56, 28	ifcldcd 3660	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
58		eleq1 2295	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> ( i e. N <-> suc j e. N ) )
59	58	ifbid 3644	. . . . . 6 |- ( i = suc j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
60		eqid 2232	. . . . . 6 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
61	59, 60	fvmptg 5753	. . . . 5 |- ( ( suc j e. om /\ if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
62	25, 57, 61	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
63		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> j e. om )
64	55, 56, 51	ifcldcd 3660	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
65		eleq1 2295	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( i e. N <-> j e. N ) )
66	65	ifbid 3644	. . . . . 6 |- ( i = j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
67	66, 60	fvmptg 5753	. . . . 5 |- ( ( j e. om /\ if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
68	63, 64, 67	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
69	54, 62, 68	3sstr4d 3283	. . 3 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
70	69	ralrimiva 2615	. 2 |- ( N e. om -> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
71		fveq1 5669	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
72		fveq1 5669	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
73	71, 72	sseq12d 3269	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
74	73	ralbidv 2542	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
75		df-nninf 7411	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
76	74, 75	elrab2 2976	. 2 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
77	13, 70, 76	sylanbrc 417	1 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3211   (/)c0 3508   ifcif 3620   |-> cmpt 4171   Tr wtr 4208   Ord word 4483   suc csuc 4486   omcom 4712   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1oc1o 6640   2oc2o 6641   ^m cmap 6882  ℕ_∞xnninf 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-nninf 7411

This theorem is referenced by:  nnnninf2  7418  fnn0nninf  10800  nninfinf  10805  nninfsellemdc  16788  nninfsellemqall  16793  nninffeq  16798