Theorem nnnninf 7023

Description: Elements of ℕ_∞ corresponding to natural numbers. The natural number N corresponds to a sequence of N ones followed by zeroes. Contrast to a sequence which is all ones as seen at infnninf 7022. Remark/TODO: the theorem still holds if N = om, that is, the antecedent could be weakened to N e. suc om. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf	|- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6321	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
2	1	sucid 4339	. . . . . . 7 |- 1o e. suc 1o
3		df-2o 6314	. . . . . . 7 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	eleqtrri 2215	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
6		2on0 6323	. . . . . . 7 |- 2o =/= (/)
7		2onn 6417	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
8		nn0eln0 4533	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> ( (/) e. 2o <-> 2o =/= (/) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( (/) e. 2o <-> 2o =/= (/) )
10	6, 9	mpbir 145	. . . . . 6 |- (/) e. 2o
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
12		nndcel 6396	. . . . . 6 |- ( ( i e. om /\ N e. om ) -> DECID i e. N )
13	12	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> DECID i e. N )
14	5, 11, 13	ifcldcd 3507	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> if ( i e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
15		eqid 2139	. . . 4 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
16	14, 15	fmptd 5574	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
17	7	elexi 2698	. . . 4 |- 2o e. _V
18		omex 4507	. . . 4 |- om e. _V
19	17, 18	elmap 6571	. . 3 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
20	16, 19	sylibr 133	. 2 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
21		ssid 3117	. . . . . . . . 9 |- 1o C_ 1o
22		iftrue 3479	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
23	22	sseq1d 3126	. . . . . . . . . 10 |- ( suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
24	23	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
25	21, 24	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
26		0ss 3401	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ 1o
27		iffalse 3482	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
28	27	sseq1d 3126	. . . . . . . . . 10 |- ( -. suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
29	28	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
30	26, 29	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
31		peano2 4509	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> suc j e. om )
32	31	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> suc j e. om )
33		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> N e. om )
34		nndcel 6396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc j e. om /\ N e. om ) -> DECID suc j e. N )
35	32, 33, 34	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID suc j e. N )
36		exmiddc 821	. . . . . . . . 9 |- (DECID suc j e. N -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
38	25, 30, 37	mpjaodan 787	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
39	38	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
40		iftrue 3479	. . . . . . 7 |- ( j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
41	40	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
42	39, 41	sseqtrrd 3136	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
43		ssid 3117	. . . . . . 7 |- (/) C_ (/)
44	43	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> (/) C_ (/) )
45		nnord 4525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. om -> Ord N )
46		ordtr 4300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord N -> Tr N )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> Tr N )
48		trsuc 4344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Tr N /\ suc j e. N ) -> j e. N )
49	47, 48	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ suc j e. N ) -> j e. N )
50	49	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( N e. om -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
51	50	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
52	51	con3dimp 624	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> -. suc j e. N )
53	52, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
54		iffalse 3482	. . . . . . 7 |- ( -. j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
55	54	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
56	44, 53, 55	3sstr4d 3142	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
57		nndcel 6396	. . . . . . 7 |- ( ( j e. om /\ N e. om ) -> DECID j e. N )
58	57	ancoms 266	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID j e. N )
59		exmiddc 821	. . . . . 6 |- (DECID j e. N -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
60	58, 59	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
61	42, 56, 60	mpjaodan 787	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
62	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
63	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> (/) e. 2o )
64	62, 63, 35	ifcldcd 3507	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
65		eleq1 2202	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> ( i e. N <-> suc j e. N ) )
66	65	ifbid 3493	. . . . . 6 |- ( i = suc j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
67	66, 15	fvmptg 5497	. . . . 5 |- ( ( suc j e. om /\ if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
68	32, 64, 67	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
69		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> j e. om )
70	62, 63, 58	ifcldcd 3507	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
71		eleq1 2202	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( i e. N <-> j e. N ) )
72	71	ifbid 3493	. . . . . 6 |- ( i = j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
73	72, 15	fvmptg 5497	. . . . 5 |- ( ( j e. om /\ if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
74	69, 70, 73	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
75	61, 68, 74	3sstr4d 3142	. . 3 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
76	75	ralrimiva 2505	. 2 |- ( N e. om -> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
77		fveq1 5420	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
78		fveq1 5420	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
79	77, 78	sseq12d 3128	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
80	79	ralbidv 2437	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
81		df-nninf 7007	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
82	80, 81	elrab2 2843	. 2 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
83	20, 76, 82	sylanbrc 413	1 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   |-> cmpt 3989   Tr wtr 4026   Ord word 4284   suc csuc 4287   omcom 4504   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   2oc2o 6307   ^m cmap 6542  ℕ_∞xnninf 7005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007

This theorem is referenced by:  fnn0nninf  10210  nninfsellemdc  13206  nninfsellemqall  13211  nninffeq  13216