Theorem nnnninf 6935

Description: Elements of ℕ_∞ corresponding to natural numbers. The natural number N corresponds to a sequence of N ones followed by zeroes. Contrast to a sequence which is all ones as seen at infnninf 6934. Remark/TODO: the theorem still holds if N = om, that is, the antecedent could be weakened to N e. suc om. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf	|- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6251	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
2	1	sucid 4277	. . . . . . 7 |- 1o e. suc 1o
3		df-2o 6244	. . . . . . 7 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	eleqtrri 2175	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
6		2on0 6253	. . . . . . 7 |- 2o =/= (/)
7		2onn 6347	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
8		nn0eln0 4471	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> ( (/) e. 2o <-> 2o =/= (/) ) )
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( (/) e. 2o <-> 2o =/= (/) )
10	6, 9	mpbir 145	. . . . . 6 |- (/) e. 2o
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
12		nndcel 6326	. . . . . 6 |- ( ( i e. om /\ N e. om ) -> DECID i e. N )
13	12	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> DECID i e. N )
14	5, 11, 13	ifcldcd 3454	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ i e. om ) -> if ( i e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
15		eqid 2100	. . . 4 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
16	14, 15	fmptd 5506	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
17	7	elexi 2653	. . . 4 |- 2o e. _V
18		omex 4445	. . . 4 |- om e. _V
19	17, 18	elmap 6501	. . 3 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
20	16, 19	sylibr 133	. 2 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
21		ssid 3067	. . . . . . . . 9 |- 1o C_ 1o
22		iftrue 3426	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
23	22	sseq1d 3076	. . . . . . . . . 10 |- ( suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
24	23	adantl 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> 1o C_ 1o ) )
25	21, 24	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
26		0ss 3348	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ 1o
27		iffalse 3429	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. suc j e. N -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
28	27	sseq1d 3076	. . . . . . . . . 10 |- ( -. suc j e. N -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
29	28	adantl 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> ( if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o <-> (/) C_ 1o ) )
30	26, 29	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. suc j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
31		peano2 4447	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> suc j e. om )
32	31	adantl 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> suc j e. om )
33		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> N e. om )
34		nndcel 6326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc j e. om /\ N e. om ) -> DECID suc j e. N )
35	32, 33, 34	syl2anc 406	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID suc j e. N )
36		exmiddc 788	. . . . . . . . 9 |- (DECID suc j e. N -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N \/ -. suc j e. N ) )
38	25, 30, 37	mpjaodan 753	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
39	38	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ 1o )
40		iftrue 3426	. . . . . . 7 |- ( j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
41	40	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = 1o )
42	39, 41	sseqtr4d 3086	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
43		ssid 3067	. . . . . . 7 |- (/) C_ (/)
44	43	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> (/) C_ (/) )
45		nnord 4463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. om -> Ord N )
46		ordtr 4238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord N -> Tr N )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> Tr N )
48		trsuc 4282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Tr N /\ suc j e. N ) -> j e. N )
49	47, 48	sylan 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ suc j e. N ) -> j e. N )
50	49	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( N e. om -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
51	50	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( suc j e. N -> j e. N ) )
52	51	con3dimp 604	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> -. suc j e. N )
53	52, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
54		iffalse 3429	. . . . . . 7 |- ( -. j e. N -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
55	54	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) = (/) )
56	44, 53, 55	3sstr4d 3092	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ j e. om ) /\ -. j e. N ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
57		nndcel 6326	. . . . . . 7 |- ( ( j e. om /\ N e. om ) -> DECID j e. N )
58	57	ancoms 266	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> DECID j e. N )
59		exmiddc 788	. . . . . 6 |- (DECID j e. N -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
60	58, 59	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( j e. N \/ -. j e. N ) )
61	42, 56, 60	mpjaodan 753	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) C_ if ( j e. N , 1o , (/) ) )
62	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
63	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> (/) e. 2o )
64	62, 63, 35	ifcldcd 3454	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
65		eleq1 2162	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> ( i e. N <-> suc j e. N ) )
66	65	ifbid 3440	. . . . . 6 |- ( i = suc j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
67	66, 15	fvmptg 5429	. . . . 5 |- ( ( suc j e. om /\ if ( suc j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
68	32, 64, 67	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( suc j e. N , 1o , (/) ) )
69		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> j e. om )
70	62, 63, 58	ifcldcd 3454	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
71		eleq1 2162	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( i e. N <-> j e. N ) )
72	71	ifbid 3440	. . . . . 6 |- ( i = j -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
73	72, 15	fvmptg 5429	. . . . 5 |- ( ( j e. om /\ if ( j e. N , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
74	69, 70, 73	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( j e. N , 1o , (/) ) )
75	61, 68, 74	3sstr4d 3092	. . 3 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
76	75	ralrimiva 2464	. 2 |- ( N e. om -> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
77		fveq1 5352	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
78		fveq1 5352	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) )
79	77, 78	sseq12d 3078	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
80	79	ralbidv 2396	. . 3 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
81		df-nninf 6919	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
82	80, 81	elrab2 2796	. 2 |- ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
83	20, 76, 82	sylanbrc 411	1 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 670  DECID wdc 786   = wceq 1299   e. wcel 1448   =/= wne 2267   A.wral 2375   C_ wss 3021   (/)c0 3310   ifcif 3421   |-> cmpt 3929   Tr wtr 3966   Ord word 4222   suc csuc 4225   omcom 4442   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   1oc1o 6236   2oc2o 6237   ^m cmap 6472  ℕ_∞xnninf 6917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1o 6243  df-2o 6244  df-map 6474  df-nninf 6919

This theorem is referenced by:  fnn0nninf  10051  nninfsellemdc  12790  nninfsellemqall  12795  nninffeq  12800