Theorem enumctlemm 7058

Description: Lemma for enumct 7059. The case where N is greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
enumctlemm.f	|- ( ph -> F : N -onto-> A )
enumctlemm.n	|- ( ph -> N e. om )
enumctlemm.n0	|- ( ph -> (/) e. N )
enumctlemm.g	|- G = ( k e. om |-> if ( k e. N , ( F ` k ) , ( F ` (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
enumctlemm	|- ( ph -> G : om -onto-> A )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   G( k)

Proof of Theorem enumctlemm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enumctlemm.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : N -onto-> A )
2		fof 5392	. . . . . . 7 |- ( F : N -onto-> A -> F : N --> A )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F : N --> A )
4	3	ffvelrnda 5602	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. N ) -> ( F ` k ) e. A )
5	4	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ k e. N ) -> ( F ` k ) e. A )
6		enumctlemm.n0	. . . . . 6 |- ( ph -> (/) e. N )
7	3, 6	ffvelrnd 5603	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` (/) ) e. A )
8	7	ad2antrr 480	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ -. k e. N ) -> ( F ` (/) ) e. A )
9		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> k e. om )
10		enumctlemm.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. om )
11	10	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> N e. om )
12		nndcel 6447	. . . . 5 |- ( ( k e. om /\ N e. om ) -> DECID k e. N )
13	9, 11, 12	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> DECID k e. N )
14	5, 8, 13	ifcldadc 3534	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> if ( k e. N , ( F ` k ) , ( F ` (/) ) ) e. A )
15		enumctlemm.g	. . 3 |- G = ( k e. om |-> if ( k e. N , ( F ` k ) , ( F ` (/) ) ) )
16	14, 15	fmptd 5621	. 2 |- ( ph -> G : om --> A )
17		foelrn 5703	. . . . . 6 |- ( ( F : N -onto-> A /\ y e. A ) -> E. x e. N y = ( F ` x ) )
18	1, 17	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> E. x e. N y = ( F ` x ) )
19		eleq1w 2218	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( k e. N <-> x e. N ) )
20		fveq2 5468	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
21	19, 20	ifbieq1d 3527	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> if ( k e. N , ( F ` k ) , ( F ` (/) ) ) = if ( x e. N , ( F ` x ) , ( F ` (/) ) ) )
22		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> x e. N )
23	10	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> N e. om )
24		elnn 4565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. N /\ N e. om ) -> x e. om )
25	22, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> x e. om )
26	22	iftrued 3512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> if ( x e. N , ( F ` x ) , ( F ` (/) ) ) = ( F ` x ) )
27	3	ffvelrnda 5602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> ( F ` x ) e. A )
28	26, 27	eqeltrd 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> if ( x e. N , ( F ` x ) , ( F ` (/) ) ) e. A )
29	15, 21, 25, 28	fvmptd3 5561	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> ( G ` x ) = if ( x e. N , ( F ` x ) , ( F ` (/) ) ) )
30	29, 26	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
31	30	eqeq2d 2169	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> ( y = ( G ` x ) <-> y = ( F ` x ) ) )
32	31	rexbidva 2454	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. x e. N y = ( G ` x ) <-> E. x e. N y = ( F ` x ) ) )
33	32	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( E. x e. N y = ( G ` x ) <-> E. x e. N y = ( F ` x ) ) )
34	18, 33	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> E. x e. N y = ( G ` x ) )
35		omelon 4568	. . . . . . 7 |- om e. On
36	35	onelssi 4389	. . . . . 6 |- ( N e. om -> N C_ om )
37		ssrexv 3193	. . . . . 6 |- ( N C_ om -> ( E. x e. N y = ( G ` x ) -> E. x e. om y = ( G ` x ) ) )
38	10, 36, 37	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. N y = ( G ` x ) -> E. x e. om y = ( G ` x ) ) )
39	38	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( E. x e. N y = ( G ` x ) -> E. x e. om y = ( G ` x ) ) )
40	34, 39	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> E. x e. om y = ( G ` x ) )
41	40	ralrimiva 2530	. 2 |- ( ph -> A. y e. A E. x e. om y = ( G ` x ) )
42		dffo3 5614	. 2 |- ( G : om -onto-> A <-> ( G : om --> A /\ A. y e. A E. x e. om y = ( G ` x ) ) )
43	16, 41, 42	sylanbrc 414	1 |- ( ph -> G : om -onto-> A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   C_ wss 3102   (/)c0 3394   ifcif 3505   |-> cmpt 4025   omcom 4549   -->wf 5166   -onto->wfo 5168   ` cfv 5170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fo 5176  df-fv 5178

This theorem is referenced by:  enumct  7059