Theorem enumctlemm 7180

Description: Lemma for enumct 7181. The case where N is greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
enumctlemm.f	|- ( ph -> F : N -onto-> A )
enumctlemm.n	|- ( ph -> N e. om )
enumctlemm.n0	|- ( ph -> (/) e. N )
enumctlemm.g	|- G = ( k e. om |-> if ( k e. N , ( F ` k ) , ( F ` (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
enumctlemm	|- ( ph -> G : om -onto-> A )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   G( k)

Proof of Theorem enumctlemm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enumctlemm.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : N -onto-> A )
2		fof 5480	. . . . . . 7 |- ( F : N -onto-> A -> F : N --> A )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F : N --> A )
4	3	ffvelcdmda 5697	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. N ) -> ( F ` k ) e. A )
5	4	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ k e. N ) -> ( F ` k ) e. A )
6		enumctlemm.n0	. . . . . 6 |- ( ph -> (/) e. N )
7	3, 6	ffvelcdmd 5698	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` (/) ) e. A )
8	7	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ -. k e. N ) -> ( F ` (/) ) e. A )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> k e. om )
10		enumctlemm.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. om )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> N e. om )
12		nndcel 6558	. . . . 5 |- ( ( k e. om /\ N e. om ) -> DECID k e. N )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> DECID k e. N )
14	5, 8, 13	ifcldadc 3590	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> if ( k e. N , ( F ` k ) , ( F ` (/) ) ) e. A )
15		enumctlemm.g	. . 3 |- G = ( k e. om |-> if ( k e. N , ( F ` k ) , ( F ` (/) ) ) )
16	14, 15	fmptd 5716	. 2 |- ( ph -> G : om --> A )
17		foelrn 5799	. . . . . 6 |- ( ( F : N -onto-> A /\ y e. A ) -> E. x e. N y = ( F ` x ) )
18	1, 17	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> E. x e. N y = ( F ` x ) )
19		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( k e. N <-> x e. N ) )
20		fveq2 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
21	19, 20	ifbieq1d 3583	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> if ( k e. N , ( F ` k ) , ( F ` (/) ) ) = if ( x e. N , ( F ` x ) , ( F ` (/) ) ) )
22		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> x e. N )
23	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> N e. om )
24		elnn 4642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. N /\ N e. om ) -> x e. om )
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> x e. om )
26	22	iftrued 3568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> if ( x e. N , ( F ` x ) , ( F ` (/) ) ) = ( F ` x ) )
27	3	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> ( F ` x ) e. A )
28	26, 27	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> if ( x e. N , ( F ` x ) , ( F ` (/) ) ) e. A )
29	15, 21, 25, 28	fvmptd3 5655	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> ( G ` x ) = if ( x e. N , ( F ` x ) , ( F ` (/) ) ) )
30	29, 26	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
31	30	eqeq2d 2208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. N ) -> ( y = ( G ` x ) <-> y = ( F ` x ) ) )
32	31	rexbidva 2494	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. x e. N y = ( G ` x ) <-> E. x e. N y = ( F ` x ) ) )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( E. x e. N y = ( G ` x ) <-> E. x e. N y = ( F ` x ) ) )
34	18, 33	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> E. x e. N y = ( G ` x ) )
35		omelon 4645	. . . . . . 7 |- om e. On
36	35	onelssi 4464	. . . . . 6 |- ( N e. om -> N C_ om )
37		ssrexv 3248	. . . . . 6 |- ( N C_ om -> ( E. x e. N y = ( G ` x ) -> E. x e. om y = ( G ` x ) ) )
38	10, 36, 37	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. N y = ( G ` x ) -> E. x e. om y = ( G ` x ) ) )
39	38	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( E. x e. N y = ( G ` x ) -> E. x e. om y = ( G ` x ) ) )
40	34, 39	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> E. x e. om y = ( G ` x ) )
41	40	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ph -> A. y e. A E. x e. om y = ( G ` x ) )
42		dffo3 5709	. 2 |- ( G : om -onto-> A <-> ( G : om --> A /\ A. y e. A E. x e. om y = ( G ` x ) ) )
43	16, 41, 42	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> G : om -onto-> A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ifcif 3561   |-> cmpt 4094   omcom 4626   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fo 5264  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  enumct  7181