Theorem nndcel 6491

Description: Set membership between two natural numbers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndcel	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nndcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		orc 712	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3		elirr 4534	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
4		eleq1 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
5	3, 4	mtbiri 675	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
6	5	olcd 734	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		en2lp 4547	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)
8	7	imnani 691	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	olcd 734	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	2, 6, 9	3jaoi 1303	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
11	1, 10	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
12		df-dc 835	. 2 ⊢ (DECID 𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	11, 12	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ωcom 4583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-uni 3806  df-int 3841  df-tr 4097  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584

This theorem is referenced by:  enumctlemm  7103  nnnninf  7114  nnnninfeq  7116  ltdcpi  7297