Theorem nndcel 6773

Description: Set membership between two natural numbers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndcel	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nndcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		orc 724	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3		elirr 4688	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
4		eleq1 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
5	3, 4	mtbiri 686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
6	5	olcd 746	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		en2lp 4701	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)
8	7	imnani 702	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	olcd 746	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	2, 6, 9	3jaoi 1344	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
11	1, 10	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
12		df-dc 847	. 2 ⊢ (DECID 𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	11, 12	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ωcom 4737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4230  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738

This theorem is used by:  enumctlemm  7454  nnnninf  7466  nnnninfeq  7468  ltdcpi  7690  nninfinf  10880  nninfctlemfo  12817