Theorem nndcel 6526

Description: Set membership between two natural numbers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndcel	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nndcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6519	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		orc 713	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3		elirr 4558	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
4		eleq1 2252	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
5	3, 4	mtbiri 676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
6	5	olcd 735	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		en2lp 4571	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)
8	7	imnani 692	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	olcd 735	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	2, 6, 9	3jaoi 1314	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
11	1, 10	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
12		df-dc 836	. 2 ⊢ (DECID 𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	11, 12	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ωcom 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-tr 4117  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608

This theorem is referenced by:  enumctlemm  7144  nnnninf  7155  nnnninfeq  7157  ltdcpi  7353