Theorem nndcel 6503

Description: Set membership between two natural numbers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndcel	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nndcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		orc 712	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3		elirr 4542	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
4		eleq1 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
5	3, 4	mtbiri 675	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
6	5	olcd 734	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		en2lp 4555	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)
8	7	imnani 691	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	olcd 734	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	2, 6, 9	3jaoi 1303	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
11	1, 10	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
12		df-dc 835	. 2 ⊢ (DECID 𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	11, 12	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ωcom 4591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-tr 4104  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592

This theorem is referenced by:  enumctlemm  7115  nnnninf  7126  nnnninfeq  7128  ltdcpi  7324