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Theorem nnnninfeq 7072
Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nnnninfeq.p  |-  ( ph  ->  P  e. )
nnnninfeq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
nnnninfeq.1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
nnnninfeq.0  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
nnnninfeq  |-  ( ph  ->  P  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N    x, N    x, P    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( x)    P( i)

Proof of Theorem nnnninfeq
Dummy variables  j  k  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnninfeq.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e. )
2 nninff 7067 . . . 4  |-  ( P  e.  ->  P : om --> 2o )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  P : om --> 2o )
43ffnd 5321 . 2  |-  ( ph  ->  P  Fn  om )
5 1lt2o 6390 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
7 0lt2o 6389 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
87a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
9 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  i  e.  om )
10 nnnninfeq.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
1110adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  N  e.  om )
12 nndcel 6448 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  i  e.  N )
139, 11, 12syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  -> DECID  i  e.  N
)
146, 8, 13ifcldcd 3540 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  if (
i  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
1514ralrimiva 2530 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  om  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
16 eqid 2157 . . . 4  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
1716fnmpt 5297 . . 3  |-  ( A. i  e.  om  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  Fn 
om )
1815, 17syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  Fn  om )
19 fveq2 5469 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( P `
 w )  =  ( P `  (/) ) )
20 eleq1 2220 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  N  <->  (/)  e.  N
) )
2120ifbid 3526 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
2219, 21eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( P `  w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  <->  ( P `  (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
2322imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( P `  w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
24 fveq2 5469 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( P `  w )  =  ( P `  k ) )
25 eleq1w 2218 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  (
w  e.  N  <->  k  e.  N ) )
2625ifbid 3526 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
2724, 26eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( P `  w
)  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  <->  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
2827imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P `
 w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  <->  ( ph  ->  ( P `  k
)  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
29 fveq2 5469 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( P `  w
)  =  ( P `
 suc  k )
)
30 eleq1 2220 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( w  e.  N  <->  suc  k  e.  N ) )
3130ifbid 3526 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  ->  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
3229, 31eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( P `  w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  <->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
3332imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ph  ->  ( P `  w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  <->  ( ph  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
34 fveq2 5469 . . . . . . 7  |-  ( w  =  j  ->  ( P `  w )  =  ( P `  j ) )
35 eleq1w 2218 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  j  ->  (
w  e.  N  <->  j  e.  N ) )
3635ifbid 3526 . . . . . . 7  |-  ( w  =  j  ->  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
3734, 36eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( w  =  j  ->  (
( P `  w
)  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  <->  ( P `  j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
3837imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  j  ->  (
( ph  ->  ( P `
 w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  <->  ( ph  ->  ( P `  j
)  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
39 noel 3398 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  (/)
40 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  N  =  (/) )
4140eleq2d 2227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( (/)  e.  N  <->  (/)  e.  (/) ) )
4239, 41mtbiri 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  -.  (/)  e.  N
)
4342iffalsed 3515 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  if ( (/) 
e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
44 nnnninfeq.0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (/) )
4544adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( P `  N )  =  (/) )
4640fveq2d 5473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( P `  N )  =  ( P `  (/) ) )
4743, 45, 463eqtr2rd 2197 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( P `  (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
48 fveq2 5469 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  (/) ) )
4948eqeq1d 2166 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( P `  x )  =  1o  <->  ( P `  (/) )  =  1o ) )
50 nnnninfeq.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
5150adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  N
)  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
52 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  N
)  ->  (/)  e.  N
)
5349, 51, 52rspcdva 2821 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  N
)  ->  ( P `  (/) )  =  1o )
5452iftrued 3512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  N
)  ->  if ( (/) 
e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
5553, 54eqtr4d 2193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  N
)  ->  ( P `  (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
56 0elnn 4579 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  om  ->  ( N  =  (/)  \/  (/)  e.  N
) )
5710, 56syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  =  (/)  \/  (/)  e.  N ) )
5847, 55, 57mpjaodan 788 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
59 fveq2 5469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  k  -> 
( P `  x
)  =  ( P `
 suc  k )
)
6059eqeq1d 2166 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  k  -> 
( ( P `  x )  =  1o  <->  ( P `  suc  k
)  =  1o ) )
6150ad3antlr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  e.  N
)  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
62 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  e.  N
)  ->  suc  k  e.  N )
6360, 61, 62rspcdva 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  e.  N
)  ->  ( P `  suc  k )  =  1o )
6462iftrued 3512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  e.  N
)  ->  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
6563, 64eqtr4d 2193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  e.  N
)  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6644ad3antlr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  ( P `  N )  =  (/) )
67 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  suc  k  =  N )
6867fveq2d 5473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  ( P `  suc  k )  =  ( P `  N
) )
6910ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  N  e.  om )
70 nnord 4572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  om  ->  Ord  N )
71 ordirr 4502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
N  ->  -.  N  e.  N )
7269, 70, 713syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  -.  N  e.  N )
7372adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  -.  N  e.  N )
7467, 73eqneltrd 2253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  -.  suc  k  e.  N )
7574iffalsed 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
7666, 68, 753eqtr4d 2200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
77 suceq 4363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  suc  j  =  suc  k )
7877fveq2d 5473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  ( P `  suc  j )  =  ( P `  suc  k ) )
79 fveq2 5469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  ( P `  j )  =  ( P `  k ) )
8078, 79sseq12d 3159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
( P `  suc  j )  C_  ( P `  j )  <->  ( P `  suc  k
)  C_  ( P `  k ) ) )
811ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  P  e. )
82 fveq1 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  P  ->  (
f `  suc  j )  =  ( P `  suc  j ) )
83 fveq1 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  P  ->  (
f `  j )  =  ( P `  j ) )
8482, 83sseq12d 3159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  P  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) ) )
8584ralbidv 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  P  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j ) 
C_  ( P `  j ) ) )
86 df-nninf 7065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
8785, 86elrab2 2871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  <->  ( P  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( P `  suc  j ) 
C_  ( P `  j ) ) )
8887simprbi 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) )
8981, 88syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) )
90 simplll 523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  k  e.  om )
9180, 89, 90rspcdva 2821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  suc  k )  C_  ( P `  k )
)
92 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
93 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  N  e.  suc  k )
94 nnord 4572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
95 ordtr 4339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord  k  ->  Tr  k
)
96 trsucss 4384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Tr  k  ->  ( N  e.  suc  k  ->  N  C_  k ) )
9794, 95, 963syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  om  ->  ( N  e.  suc  k  ->  N  C_  k ) )
9890, 93, 97sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  N  C_  k
)
9969adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  N  e.  om )
100 nntri1 6444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( N  C_  k  <->  -.  k  e.  N ) )
10199, 90, 100syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( N  C_  k 
<->  -.  k  e.  N
) )
10298, 101mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  -.  k  e.  N )
103102iffalsed 3515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
10492, 103eqtrd 2190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  k )  =  (/) )
10591, 104sseqtrd 3166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  suc  k )  C_  (/) )
106 ss0 3434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  suc  k
)  C_  (/)  ->  ( P `  suc  k )  =  (/) )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  suc  k )  =  (/) )
108 ordn2lp 4505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
N  ->  -.  ( N  e.  suc  k  /\  suc  k  e.  N
) )
10999, 70, 1083syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  -.  ( N  e.  suc  k  /\  suc  k  e.  N )
)
110 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( k  e.  om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  /\  suc  k  e.  N )  ->  N  e.  suc  k
)
111 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( k  e.  om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  /\  suc  k  e.  N )  ->  suc  k  e.  N
)
112110, 111jca 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( k  e.  om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  /\  suc  k  e.  N )  ->  ( N  e.  suc  k  /\  suc  k  e.  N ) )
113109, 112mtand 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  -.  suc  k  e.  N )
114113iffalsed 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
115107, 114eqtr4d 2193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
116 peano2 4555 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
117116ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  suc  k  e.  om )
118 nntri3or 6441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  k  e.  om  /\  N  e.  om )  ->  ( suc  k  e.  N  \/  suc  k  =  N  \/  N  e.  suc  k ) )
119117, 69, 118syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( suc  k  e.  N  \/  suc  k  =  N  \/  N  e.  suc  k ) )
12065, 76, 115, 119mpjao3dan 1289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
121120exp31 362 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( P `
 k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) )  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
122121a2d 26 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( P `
 k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( ph  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
12323, 28, 33, 38, 58, 122finds 4560 . . . 4  |-  ( j  e.  om  ->  ( ph  ->  ( P `  j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
124123impcom 124 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( P `  j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
125 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
1265a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
1277a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
12810adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  N  e.  om )
129 nndcel 6448 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  j  e.  N )
130125, 128, 129syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  -> DECID  j  e.  N
)
131126, 127, 130ifcldcd 3540 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
132 eleq1w 2218 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  N  <->  j  e.  N ) )
133132ifbid 3526 . . . . 5  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
134133, 16fvmptg 5545 . . . 4  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
135125, 131, 134syl2anc 409 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
136124, 135eqtr4d 2193 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( P `  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
1374, 18, 136eqfnfvd 5569 1  |-  ( ph  ->  P  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    \/ w3o 962    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435    C_ wss 3102   (/)c0 3394   ifcif 3505    |-> cmpt 4026   Tr wtr 4063   Ord word 4323   suc csuc 4326   omcom 4550    Fn wfn 5166   -->wf 5167   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   1oc1o 6357   2oc2o 6358    ^m cmap 6594  ℕxnninf 7064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1o 6364  df-2o 6365  df-map 6596  df-nninf 7065
This theorem is referenced by:  nnnninfeq2  7073  nninfisollem0  7074  nninfalllem1  13622  nninfsellemeq  13628
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