Theorem nnmulcli 8870

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnmulcli.1	|- A e. NN
nnmulcli.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
nnmulcli	|- ( A x. B ) e. NN

Proof of Theorem nnmulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcli.1	. 2 |- A e. NN
2		nnmulcli.2	. 2 |- B e. NN
3		nnmulcl 8869	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	mp2an 423	1 |- ( A x. B ) e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2135  (class class class)co 5836   x. cmul 7749   NNcn 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-1rid 7851  ax-cnre 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-inn 8849

This theorem is referenced by:  numnncl2  9335  ef01bndlem  11683