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Theorem nnge1 9330
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
Proof of Theorem nnge1
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4134 . 2 |- ( x = 1 -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ 1 ) )
2 breq2 4134 . 2 |- ( x = y -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ y ) )
3 breq2 4134 . 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
4 breq2 4134 . 2 |- ( x = A -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ A ) )
5 1le1 8903 . 2 |- 1 <_ 1
6 nnre 9314 . . 3 |- ( y e. NN -> y e. RR )
7 recn 8313 . . . . . 6 |- ( y e. RR -> y e. CC )
87addridd 8477 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) = y )
98breq2d 4142 . . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> 1 <_ y ) )
10 0lt1 8455 . . . . . . . 8 |- 0 < 1
11 0re 8327 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
12 1re 8326 . . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
13 axltadd 8396 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
1411, 12, 13mp3an12 1368 . . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
1510, 14mpi 15 . . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) )
16 readdcl 8306 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( y + 0 ) e. RR )
1711, 16mpan2 429 . . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) e. RR )
18 peano2re 8464 . . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
19 lttr 8400 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2012, 19mp3an3 1367 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2117, 18, 20syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2215, 21mpand 433 . . . . . 6 |- ( y e. RR -> ( ( y + 1 ) < 1 -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2322con3d 640 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( -. ( y + 0 ) < 1 -> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
24 lenlt 8402 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 0 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
2512, 17, 24sylancr 418 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
26 lenlt 8402 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
2712, 18, 26sylancr 418 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
2823, 25, 273imtr4d 203 . . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
299, 28sylbird 170 . . 3 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
306, 29syl 14 . 2 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 9323 1 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8179   0cc0 8180   1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   <_ cle 8362   NNcn 9307
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-inn 9308
This theorem is used by:  nnle1eq1  9331  nngt0  9332  nnnlt1  9333  nnrecgt0  9345  nnge1d  9350  elnnnn0c  9613  elnnz1  9672  zltp1le  9704  nn0ledivnn  10179  elfz1b  10508  fzo1fzo0n0  10606  elfzom1elp1fzo  10631  fzo0sn0fzo1  10650  nnlesq  11094  faclbnd  11194  faclbnd3  11196  len0nnbi  11354  fstwrdne0  11359  cvgratz  12317  coprmgcdb  12884  isprm3  12914  pockthg  13158  ballotfilem2  13279  oddennn  13334  chtublem  16217  bposlem1  16233  gausslemma2dlem1a  16299
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