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Theorem nnge1 9225
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
Proof of Theorem nnge1
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4097 . 2 |- ( x = 1 -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ 1 ) )
2 breq2 4097 . 2 |- ( x = y -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ y ) )
3 breq2 4097 . 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
4 breq2 4097 . 2 |- ( x = A -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ A ) )
5 1le1 8811 . 2 |- 1 <_ 1
6 nnre 9209 . . 3 |- ( y e. NN -> y e. RR )
7 recn 8225 . . . . . 6 |- ( y e. RR -> y e. CC )
87addridd 8387 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) = y )
98breq2d 4105 . . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> 1 <_ y ) )
10 0lt1 8365 . . . . . . . 8 |- 0 < 1
11 0re 8239 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
12 1re 8238 . . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
13 axltadd 8308 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
1411, 12, 13mp3an12 1364 . . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
1510, 14mpi 15 . . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) )
16 readdcl 8218 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( y + 0 ) e. RR )
1711, 16mpan2 425 . . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) e. RR )
18 peano2re 8374 . . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
19 lttr 8312 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2012, 19mp3an3 1363 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2117, 18, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2215, 21mpand 429 . . . . . 6 |- ( y e. RR -> ( ( y + 1 ) < 1 -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2322con3d 636 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( -. ( y + 0 ) < 1 -> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
24 lenlt 8314 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 0 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
2512, 17, 24sylancr 414 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
26 lenlt 8314 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
2712, 18, 26sylancr 414 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
2823, 25, 273imtr4d 203 . . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
299, 28sylbird 170 . . 3 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
306, 29syl 14 . 2 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 9218 1 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   <_ cle 8274   NNcn 9202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-inn 9203
This theorem is referenced by:  nnle1eq1  9226  nngt0  9227  nnnlt1  9228  nnrecgt0  9240  nnge1d  9245  elnnnn0c  9506  elnnz1  9563  zltp1le  9595  nn0ledivnn  10063  elfz1b  10387  fzo1fzo0n0  10485  elfzom1elp1fzo  10510  fzo0sn0fzo1  10529  nnlesq  10968  faclbnd  11066  faclbnd3  11068  len0nnbi  11214  fstwrdne0  11219  cvgratz  12173  coprmgcdb  12740  isprm3  12770  pw2dvds  12818  pockthg  13010  oddennn  13093  gausslemma2dlem1a  15877
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