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Theorem nnge1 8736
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3928 . 2  |-  ( x  =  1  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  1 ) )
2 breq2 3928 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  y ) )
3 breq2 3928 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
4 breq2 3928 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  A ) )
5 1le1 8327 . 2  |-  1  <_  1
6 nnre 8720 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
7 recn 7746 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
87addid1d 7904 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  =  y )
98breq2d 3936 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  <->  1  <_  y ) )
10 0lt1 7882 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
11 0re 7759 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
12 1re 7758 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13 axltadd 7827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
0  <  1  ->  ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) ) )
1411, 12, 13mp3an12 1305 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <  1  ->  ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) ) )
1510, 14mpi 15 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) )
16 readdcl 7739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( y  +  0 )  e.  RR )
1711, 16mpan2 421 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  e.  RR )
18 peano2re 7891 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
19 lttr 7831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  0 )  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( y  +  0 )  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <  1 )  ->  (
y  +  0 )  <  1 ) )
2012, 19mp3an3 1304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +  0 )  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <  1 )  -> 
( y  +  0 )  <  1 ) )
2117, 18, 20syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( y  +  0 )  <  (
y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <  1
)  ->  ( y  +  0 )  <  1 ) )
2215, 21mpand 425 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y  +  1 )  <  1  -> 
( y  +  0 )  <  1 ) )
2322con3d 620 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  ( -.  ( y  +  0 )  <  1  ->  -.  ( y  +  1 )  <  1 ) )
24 lenlt 7833 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y  +  0 )  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( y  +  0 )  <->  -.  ( y  +  0 )  <  1 ) )
2512, 17, 24sylancr 410 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  <->  -.  (
y  +  0 )  <  1 ) )
26 lenlt 7833 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( y  +  1 )  <->  -.  ( y  +  1 )  <  1 ) )
2712, 18, 26sylancr 410 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  1 )  <->  -.  (
y  +  1 )  <  1 ) )
2823, 25, 273imtr4d 202 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  -> 
1  <_  ( y  +  1 ) ) )
299, 28sylbird 169 . . 3  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  y  ->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
306, 29syl 14 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  <_  y  ->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 8729 1  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614    + caddc 7616    < clt 7793    <_ cle 7794   NNcn 8713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-inn 8714
This theorem is referenced by:  nnle1eq1  8737  nngt0  8738  nnnlt1  8739  nnrecgt0  8751  nnge1d  8756  elnnnn0c  9015  elnnz1  9070  zltp1le  9101  nn0ledivnn  9547  elfz1b  9863  fzo1fzo0n0  9953  elfzom1elp1fzo  9972  fzo0sn0fzo1  9991  nnlesq  10389  faclbnd  10480  faclbnd3  10482  cvgratz  11294  coprmgcdb  11758  isprm3  11788  pw2dvds  11833  oddennn  11894
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