Theorem nnge1 9260

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnge1	|- ( A e. NN -> 1 <_ A )

Proof of Theorem nnge1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4113	. 2 |- ( x = 1 -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ 1 ) )
2		breq2 4113	. 2 |- ( x = y -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ y ) )
3		breq2 4113	. 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
4		breq2 4113	. 2 |- ( x = A -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ A ) )
5		1le1 8846	. 2 |- 1 <_ 1
6		nnre 9244	. . 3 |- ( y e. NN -> y e. RR )
7		recn 8260	. . . . . 6 |- ( y e. RR -> y e. CC )
8	7	addridd 8422	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) = y )
9	8	breq2d 4121	. . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> 1 <_ y ) )
10		0lt1 8400	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
11		0re 8274	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
12		1re 8273	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
13		axltadd 8343	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
14	11, 12, 13	mp3an12 1364	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
15	10, 14	mpi 15	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) )
16		readdcl 8253	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( y + 0 ) e. RR )
17	11, 16	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) e. RR )
18		peano2re 8409	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
19		lttr 8347	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
20	12, 19	mp3an3 1363	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
21	17, 18, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
22	15, 21	mpand 429	. . . . . 6 |- ( y e. RR -> ( ( y + 1 ) < 1 -> ( y + 0 ) < 1 ) )
23	22	con3d 636	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( -. ( y + 0 ) < 1 -> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
24		lenlt 8349	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 0 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
25	12, 17, 24	sylancr 414	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
26		lenlt 8349	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
27	12, 18, 26	sylancr 414	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
28	23, 25, 27	3imtr4d 203	. . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
29	9, 28	sylbird 170	. . 3 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
30	6, 29	syl 14	. 2 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 30	nnind 9253	1 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   <_ cle 8309   NNcn 9237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-inn 9238

This theorem is referenced by:  nnle1eq1  9261  nngt0  9262  nnnlt1  9263  nnrecgt0  9275  nnge1d  9280  elnnnn0c  9541  elnnz1  9600  zltp1le  9632  nn0ledivnn  10100  elfz1b  10424  fzo1fzo0n0  10522  elfzom1elp1fzo  10547  fzo0sn0fzo1  10566  nnlesq  11005  faclbnd  11103  faclbnd3  11105  len0nnbi  11259  fstwrdne0  11264  cvgratz  12218  coprmgcdb  12785  isprm3  12815  pw2dvds  12863  pockthg  13055  ballotfilem2  13142  oddennn  13143  gausslemma2dlem1a  15931