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Theorem nnge1 8940
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
Proof of Theorem nnge1
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4007 . 2 |- ( x = 1 -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ 1 ) )
2 breq2 4007 . 2 |- ( x = y -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ y ) )
3 breq2 4007 . 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
4 breq2 4007 . 2 |- ( x = A -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ A ) )
5 1le1 8527 . 2 |- 1 <_ 1
6 nnre 8924 . . 3 |- ( y e. NN -> y e. RR )
7 recn 7943 . . . . . 6 |- ( y e. RR -> y e. CC )
87addid1d 8104 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) = y )
98breq2d 4015 . . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> 1 <_ y ) )
10 0lt1 8082 . . . . . . . 8 |- 0 < 1
11 0re 7956 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
12 1re 7955 . . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
13 axltadd 8025 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
1411, 12, 13mp3an12 1327 . . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
1510, 14mpi 15 . . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) )
16 readdcl 7936 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( y + 0 ) e. RR )
1711, 16mpan2 425 . . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) e. RR )
18 peano2re 8091 . . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
19 lttr 8029 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2012, 19mp3an3 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2117, 18, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2215, 21mpand 429 . . . . . 6 |- ( y e. RR -> ( ( y + 1 ) < 1 -> ( y + 0 ) < 1 ) )
2322con3d 631 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( -. ( y + 0 ) < 1 -> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
24 lenlt 8031 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 0 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
2512, 17, 24sylancr 414 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
26 lenlt 8031 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
2712, 18, 26sylancr 414 . . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
2823, 25, 273imtr4d 203 . . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
299, 28sylbird 170 . . 3 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
306, 29syl 14 . 2 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 8933 1 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7990   <_ cle 7991   NNcn 8917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-inn 8918
This theorem is referenced by:  nnle1eq1  8941  nngt0  8942  nnnlt1  8943  nnrecgt0  8955  nnge1d  8960  elnnnn0c  9219  elnnz1  9274  zltp1le  9305  nn0ledivnn  9765  elfz1b  10087  fzo1fzo0n0  10180  elfzom1elp1fzo  10199  fzo0sn0fzo1  10218  nnlesq  10620  faclbnd  10716  faclbnd3  10718  cvgratz  11535  coprmgcdb  12082  isprm3  12112  pw2dvds  12160  pockthg  12349  oddennn  12387
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