Theorem nnmulcl 8869

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcl	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5844	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A x. x ) = ( A x. 1 ) )
2	1	eleq1d 2233	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. 1 ) e. NN ) )
3	2	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) ) )
4		oveq2 5844	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A x. x ) = ( A x. y ) )
5	4	eleq1d 2233	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. y ) e. NN ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = y -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) ) )
7		oveq2 5844	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A x. x ) = ( A x. ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2233	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
9	8	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
10		oveq2 5844	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A x. x ) = ( A x. B ) )
11	10	eleq1d 2233	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. B ) e. NN ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) ) )
13		nncn 8856	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. CC )
14		mulid1 7887	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A x. 1 ) = A )
15	14	eleq1d 2233	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( A x. 1 ) e. NN <-> A e. NN ) )
16	15	biimprd 157	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) )
17	13, 16	mpcom 36	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN )
18		nnaddcl 8868	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. y ) e. NN /\ A e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
19	18	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
20		nncn 8856	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
21		ax-1cn 7837	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
22		adddi 7876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
23	21, 22	mp3an3 1315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
24	14	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
26	23, 25	eqtrd 2197	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
27	13, 20, 26	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
28	27	eleq1d 2233	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN <-> ( ( A x. y ) + A ) e. NN ) )
29	19, 28	syl5ibr 155	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
30	29	exp4b 365	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) ) )
31	30	pm2.43b 52	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
32	31	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) -> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
33	3, 6, 9, 12, 17, 32	nnind 8864	. 2 |- ( B e. NN -> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) )
34	33	impcom 124	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135  (class class class)co 5836   CCcc 7742   1c1 7745   + caddc 7747   x. cmul 7749   NNcn 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-1rid 7851  ax-cnre 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-inn 8849

This theorem is referenced by:  nnmulcli  8870  nndivtr  8890  nnmulcld  8897  nn0mulcl  9141  qaddcl  9564  qmulcl  9566  modqmulnn  10267  nnexpcl  10458  nnsqcl  10514  faccl  10637  facdiv  10640  faclbnd3  10645  bcrpcl  10655  trirecip  11428  fprodnncl  11537  lcmgcdlem  11988  lcmgcdnn  11993  pcmptcl  12249  pcmpt  12250