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Theorem nnmulcl 9327
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6093 . . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A x. x ) = ( A x. 1 ) )
21eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. 1 ) e. NN ) )
32imbi2d 230 . . 3 |- ( x = 1 -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) ) )
4 oveq2 6093 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A x. x ) = ( A x. y ) )
54eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. y ) e. NN ) )
65imbi2d 230 . . 3 |- ( x = y -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) ) )
7 oveq2 6093 . . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A x. x ) = ( A x. ( y + 1 ) ) )
87eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
98imbi2d 230 . . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
10 oveq2 6093 . . . . 5 |- ( x = B -> ( A x. x ) = ( A x. B ) )
1110eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = B -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. B ) e. NN ) )
1211imbi2d 230 . . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) ) )
13 nncn 9314 . . . 4 |- ( A e. NN -> A e. CC )
14 mulrid 8323 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A x. 1 ) = A )
1514eleq1d 2307 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( A x. 1 ) e. NN <-> A e. NN ) )
1615biimprd 158 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) )
1713, 16mpcom 36 . . 3 |- ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN )
18 nnaddcl 9326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. y ) e. NN /\ A e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
1918ancoms 268 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
20 nncn 9314 . . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
21 ax-1cn 8272 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
22 adddi 8311 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
2321, 22mp3an3 1367 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
2414oveq2d 6101 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2524adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2623, 25eqtrd 2271 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2713, 20, 26syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2827eleq1d 2307 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN <-> ( ( A x. y ) + A ) e. NN ) )
2919, 28imbitrrid 156 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
3029exp4b 367 . . . . 5 |- ( A e. NN -> ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) ) )
3130pm2.43b 52 . . . 4 |- ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
3231a2d 26 . . 3 |- ( y e. NN -> ( ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) -> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 9322 . 2 |- ( B e. NN -> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) )
3433impcom 125 1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   NNcn 9306
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-1rid 8286  ax-cnre 8290
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307
This theorem is used by:  nnmulcli  9328  nndivtr  9348  nnmulcld  9355  nn0mulcl  9603  qaddcl  10044  qmulcl  10046  modqmulnn  10792  nnexpcl  11002  nnsqcl  11059  faccl  11187  facdiv  11190  faclbnd3  11195  bcrpcl  11205  trirecip  12284  fprodnncl  12393  lcmgcdlem  12871  lcmgcdnn  12876  pcmptcl  13141  pcmpt  13142  4sqlem12  13201  mulgnnass  14009  logfac  16048  log2tlbndlog2  16139  log2ublem2  16141  log2ublog2  16143  pcbcctr  16201  bclbnd  16205  bposlem1  16209  bposlem2  16210  bposlem3  16211  bposlem4  16212  bposlem5  16213  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem2  16288  lgseisenlem3  16289  lgseisenlem4  16290  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295
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