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Theorem nnmulcl 9328
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6093 . . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A x. x ) = ( A x. 1 ) )
21eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. 1 ) e. NN ) )
32imbi2d 230 . . 3 |- ( x = 1 -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) ) )
4 oveq2 6093 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A x. x ) = ( A x. y ) )
54eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. y ) e. NN ) )
65imbi2d 230 . . 3 |- ( x = y -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) ) )
7 oveq2 6093 . . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A x. x ) = ( A x. ( y + 1 ) ) )
87eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
98imbi2d 230 . . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
10 oveq2 6093 . . . . 5 |- ( x = B -> ( A x. x ) = ( A x. B ) )
1110eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = B -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. B ) e. NN ) )
1211imbi2d 230 . . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) ) )
13 nncn 9315 . . . 4 |- ( A e. NN -> A e. CC )
14 mulrid 8324 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A x. 1 ) = A )
1514eleq1d 2307 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( A x. 1 ) e. NN <-> A e. NN ) )
1615biimprd 158 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) )
1713, 16mpcom 36 . . 3 |- ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN )
18 nnaddcl 9327 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. y ) e. NN /\ A e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
1918ancoms 268 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
20 nncn 9315 . . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
21 ax-1cn 8273 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
22 adddi 8312 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
2321, 22mp3an3 1367 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
2414oveq2d 6101 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2524adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2623, 25eqtrd 2271 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2713, 20, 26syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2827eleq1d 2307 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN <-> ( ( A x. y ) + A ) e. NN ) )
2919, 28imbitrrid 156 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
3029exp4b 367 . . . . 5 |- ( A e. NN -> ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) ) )
3130pm2.43b 52 . . . 4 |- ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
3231a2d 26 . . 3 |- ( y e. NN -> ( ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) -> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 9323 . 2 |- ( B e. NN -> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) )
3433impcom 125 1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8178   1c1 8181   + caddc 8183   x. cmul 8185   NNcn 9307
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-1rid 8287  ax-cnre 8291
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308
This theorem is used by:  nnmulcli  9329  nndivtr  9349  nnmulcld  9356  nn0mulcl  9604  qaddcl  10045  qmulcl  10047  modqmulnn  10794  nnexpcl  11004  nnsqcl  11061  faccl  11189  facdiv  11192  faclbnd3  11197  bcrpcl  11207  trirecip  12287  fprodnncl  12396  lcmgcdlem  12874  lcmgcdnn  12879  pcmptcl  13144  pcmpt  13145  4sqlem12  13204  mulgnnass  14013  logfac  16090  log2tlbndlog2  16181  log2ublem2  16183  log2ublog2  16185  efnnfsumcl  16200  efchtqdvds  16226  chtublem  16256  pcbcctr  16264  bclbnd  16268  bposlem1  16272  bposlem2  16273  bposlem3  16274  bposlem4  16275  bposlem5  16276  bposlem6  16277  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363
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