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Theorem nnmulcl 9334
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6096 . . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A x. x ) = ( A x. 1 ) )
21eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. 1 ) e. NN ) )
32imbi2d 230 . . 3 |- ( x = 1 -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) ) )
4 oveq2 6096 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A x. x ) = ( A x. y ) )
54eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. y ) e. NN ) )
65imbi2d 230 . . 3 |- ( x = y -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) ) )
7 oveq2 6096 . . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A x. x ) = ( A x. ( y + 1 ) ) )
87eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
98imbi2d 230 . . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
10 oveq2 6096 . . . . 5 |- ( x = B -> ( A x. x ) = ( A x. B ) )
1110eleq1d 2307 . . . 4 |- ( x = B -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. B ) e. NN ) )
1211imbi2d 230 . . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) ) )
13 nncn 9321 . . . 4 |- ( A e. NN -> A e. CC )
14 mulrid 8329 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A x. 1 ) = A )
1514eleq1d 2307 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( A x. 1 ) e. NN <-> A e. NN ) )
1615biimprd 158 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) )
1713, 16mpcom 36 . . 3 |- ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN )
18 nnaddcl 9333 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. y ) e. NN /\ A e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
1918ancoms 268 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
20 nncn 9321 . . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
21 ax-1cn 8278 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
22 adddi 8317 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
2321, 22mp3an3 1367 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
2414oveq2d 6104 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2524adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2623, 25eqtrd 2271 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2713, 20, 26syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
2827eleq1d 2307 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN <-> ( ( A x. y ) + A ) e. NN ) )
2919, 28imbitrrid 156 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
3029exp4b 367 . . . . 5 |- ( A e. NN -> ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) ) )
3130pm2.43b 52 . . . 4 |- ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
3231a2d 26 . . 3 |- ( y e. NN -> ( ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) -> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 9329 . 2 |- ( B e. NN -> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) )
3433impcom 125 1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   CCcc 8183   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   NNcn 9313
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-1rid 8292  ax-cnre 8296
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314
This theorem is used by:  nnmulcli  9335  nndivtr  9355  nnmulcld  9362  nn0mulcl  9610  qaddcl  10051  qmulcl  10053  modqmulnn  10800  nnexpcl  11010  nnsqcl  11067  faccl  11195  facdiv  11198  faclbnd3  11203  bcrpcl  11213  trirecip  12293  fprodnncl  12402  lcmgcdlem  12880  lcmgcdnn  12885  pcmptcl  13150  pcmpt  13151  4sqlem12  13210  mulgnnass  14019  logfac  16126  log2tlbndlog2  16220  log2ublem2  16222  log2ublog2  16224  efnnfsumcl  16239  efchtqdvds  16265  chtublem  16295  pcbcctr  16303  bclbnd  16307  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem3  16313  bposlem4  16314  bposlem5  16315  bposlem6  16316  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem3  16396  lgseisenlem4  16397  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402
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