Theorem nnmulcl 9056

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcl	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5951	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A x. x ) = ( A x. 1 ) )
2	1	eleq1d 2273	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. 1 ) e. NN ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) ) )
4		oveq2 5951	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A x. x ) = ( A x. y ) )
5	4	eleq1d 2273	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. y ) e. NN ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) ) )
7		oveq2 5951	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A x. x ) = ( A x. ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2273	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
10		oveq2 5951	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A x. x ) = ( A x. B ) )
11	10	eleq1d 2273	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. B ) e. NN ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) ) )
13		nncn 9043	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. CC )
14		mulrid 8068	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A x. 1 ) = A )
15	14	eleq1d 2273	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( A x. 1 ) e. NN <-> A e. NN ) )
16	15	biimprd 158	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) )
17	13, 16	mpcom 36	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN )
18		nnaddcl 9055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. y ) e. NN /\ A e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
19	18	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
20		nncn 9043	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
21		ax-1cn 8017	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
22		adddi 8056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
23	21, 22	mp3an3 1338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
24	14	oveq2d 5959	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
26	23, 25	eqtrd 2237	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
27	13, 20, 26	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
28	27	eleq1d 2273	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN <-> ( ( A x. y ) + A ) e. NN ) )
29	19, 28	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
30	29	exp4b 367	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) ) )
31	30	pm2.43b 52	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
32	31	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) -> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
33	3, 6, 9, 12, 17, 32	nnind 9051	. 2 |- ( B e. NN -> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) )
34	33	impcom 125	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5943   CCcc 7922   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929   NNcn 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-1rid 8031  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036

This theorem is referenced by:  nnmulcli  9057  nndivtr  9077  nnmulcld  9084  nn0mulcl  9330  qaddcl  9755  qmulcl  9757  modqmulnn  10485  nnexpcl  10695  nnsqcl  10752  faccl  10878  facdiv  10881  faclbnd3  10886  bcrpcl  10896  trirecip  11783  fprodnncl  11892  lcmgcdlem  12370  lcmgcdnn  12375  pcmptcl  12636  pcmpt  12637  4sqlem12  12696  mulgnnass  13464  lgseisenlem1  15518  lgseisenlem2  15519  lgseisenlem3  15520  lgseisenlem4  15521  lgsquadlem1  15525  lgsquadlem2  15526