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Theorem nnmulcl 8939
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  1 ) )
21eleq1d 2246 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) )
32imbi2d 230 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) ) )
4 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  y ) )
54eleq1d 2246 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  y )  e.  NN ) )
65imbi2d 230 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  y
)  e.  NN ) ) )
7 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  ( y  +  1 ) ) )
87eleq1d 2246 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
98imbi2d 230 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
10 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  B ) )
1110eleq1d 2246 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  B )  e.  NN ) )
1211imbi2d 230 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN ) ) )
13 nncn 8926 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
14 mulrid 7953 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
1514eleq1d 2246 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  1 )  e.  NN  <->  A  e.  NN ) )
1615biimprd 158 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) )
1713, 16mpcom 36 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN )
18 nnaddcl 8938 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  y
)  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  y )  +  A
)  e.  NN )
1918ancoms 268 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  x.  y
)  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  y )  +  A )  e.  NN )
20 nncn 8926 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
21 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
22 adddi 7942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) ) )
2321, 22mp3an3 1326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) ) )
2414oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  y
)  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2524adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2623, 25eqtrd 2210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2713, 20, 26syl2an 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2827eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN  <->  ( ( A  x.  y
)  +  A )  e.  NN ) )
2919, 28imbitrrid 156 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  x.  y )  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
3029exp4b 367 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( A  x.  y
)  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) ) )
3130pm2.43b 52 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( A  x.  y
)  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
3231a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  y
)  e.  NN )  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 8934 . 2  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  B )  e.  NN ) )
3433impcom 125 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148  (class class class)co 5874   CCcc 7808   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815   NNcn 8918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-1rid 7917  ax-cnre 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-inn 8919
This theorem is referenced by:  nnmulcli  8940  nndivtr  8960  nnmulcld  8967  nn0mulcl  9211  qaddcl  9634  qmulcl  9636  modqmulnn  10341  nnexpcl  10532  nnsqcl  10589  faccl  10714  facdiv  10717  faclbnd3  10722  bcrpcl  10732  trirecip  11508  fprodnncl  11617  lcmgcdlem  12076  lcmgcdnn  12081  pcmptcl  12339  pcmpt  12340  mulgnnass  13016  lgseisenlem1  14420  lgseisenlem2  14421
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