Theorem nnmulcl 9142

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcl	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6015	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A x. x ) = ( A x. 1 ) )
2	1	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. 1 ) e. NN ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) ) )
4		oveq2 6015	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A x. x ) = ( A x. y ) )
5	4	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. y ) e. NN ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) ) )
7		oveq2 6015	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A x. x ) = ( A x. ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
10		oveq2 6015	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A x. x ) = ( A x. B ) )
11	10	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A x. x ) e. NN <-> ( A x. B ) e. NN ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. NN -> ( A x. x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) ) )
13		nncn 9129	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. CC )
14		mulrid 8154	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A x. 1 ) = A )
15	14	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( A x. 1 ) e. NN <-> A e. NN ) )
16	15	biimprd 158	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN ) )
17	13, 16	mpcom 36	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A x. 1 ) e. NN )
18		nnaddcl 9141	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. y ) e. NN /\ A e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
19	18	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( ( A x. y ) + A ) e. NN )
20		nncn 9129	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
21		ax-1cn 8103	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
22		adddi 8142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
23	21, 22	mp3an3 1360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) )
24	14	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A x. y ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
26	23, 25	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
27	13, 20, 26	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) = ( ( A x. y ) + A ) )
28	27	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN <-> ( ( A x. y ) + A ) e. NN ) )
29	19, 28	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A e. NN /\ ( A x. y ) e. NN ) -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) )
30	29	exp4b 367	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) ) )
31	30	pm2.43b 52	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A x. y ) e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
32	31	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( A e. NN -> ( A x. y ) e. NN ) -> ( A e. NN -> ( A x. ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
33	3, 6, 9, 12, 17, 32	nnind 9137	. 2 |- ( B e. NN -> ( A e. NN -> ( A x. B ) e. NN ) )
34	33	impcom 125	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   CCcc 8008   1c1 8011   + caddc 8013   x. cmul 8015   NNcn 9121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-1rid 8117  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122

This theorem is referenced by:  nnmulcli  9143  nndivtr  9163  nnmulcld  9170  nn0mulcl  9416  qaddcl  9842  qmulcl  9844  modqmulnn  10576  nnexpcl  10786  nnsqcl  10843  faccl  10969  facdiv  10972  faclbnd3  10977  bcrpcl  10987  trirecip  12027  fprodnncl  12136  lcmgcdlem  12614  lcmgcdnn  12619  pcmptcl  12880  pcmpt  12881  4sqlem12  12940  mulgnnass  13709  lgseisenlem1  15764  lgseisenlem2  15765  lgseisenlem3  15766  lgseisenlem4  15767  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772