ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmulcli GIF version

Theorem nnmulcli 8338
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nnmulcli.1 𝐴 ∈ ℕ
nnmulcli.2 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
nnmulcli (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ

Proof of Theorem nnmulcli
StepHypRef Expression
1 nnmulcli.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ
2 nnmulcli.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ
3 nnmulcl 8337 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
41, 2, 3mp2an 417 1 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1434  (class class class)co 5591   · cmul 7258  cn 8316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-1rid 7355  ax-cnre 7359
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-iota 4934  df-fv 4977  df-ov 5594  df-inn 8317
This theorem is referenced by:  numnncl2  8794
  Copyright terms: Public domain W3C validator