Theorem nnmulcli 9336

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnmulcli.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
nnmulcli.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
nnmulcli	⊢ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ

Proof of Theorem nnmulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcli.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2		nnmulcli.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
3		nnmulcl 9335	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 ⊢ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088   · cmul 8191  ℕcn 9314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-1rid 8293  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9315

This theorem is used by:  numnncl2  9816  ef01bndlem  12549  pockthi  13167  dec5nprm  13223  dec2nprm  13224  log2ublem1  16233  log2ublem2  16234  log2ublog2  16236  bclbnd  16319  bposlem8  16330  lgsdir2lem5  16368