ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmulcli GIF version

Theorem nnmulcli 8972
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nnmulcli.1 𝐴 ∈ ℕ
nnmulcli.2 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
nnmulcli (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ

Proof of Theorem nnmulcli
StepHypRef Expression
1 nnmulcli.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ
2 nnmulcli.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ
3 nnmulcl 8971 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
41, 2, 3mp2an 426 1 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 2160  (class class class)co 5897   · cmul 7847  cn 8950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-1rid 7949  ax-cnre 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5900  df-inn 8951
This theorem is referenced by:  numnncl2  9437  ef01bndlem  11799  pockthi  12393  lgsdir2lem5  14911
  Copyright terms: Public domain W3C validator