Theorem 012of 14784

Description: Mapping zero and one between NN0 and om style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
012of	|- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o

Proof of Theorem 012of

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2	1	frechashgf1o 10430	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> NN0
3		f1ocnv 5476	. . . . 5 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
4		f1of 5463	. . . . 5 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . 4 |- `' G : NN0 --> om
6		0nn0 9193	. . . . 5 |- 0 e. NN0
7		1nn0 9194	. . . . 5 |- 1 e. NN0
8		prssi 3752	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 |- { 0 , 1 } C_ NN0
10		fssres 5393	. . . 4 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om )
11	5, 9, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om
12		ffn 5367	. . 3 |- ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om -> ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 } )
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 }
14		fvres 5541	. . . 4 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) = ( `' G ` j ) )
15		elpri 3617	. . . . 5 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( j = 0 \/ j = 1 ) )
16		fveq2 5517	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( `' G ` j ) = ( `' G ` 0 ) )
17		0zd 9267	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
18	17, 1	frec2uz0d 10401	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
19	18	mptru 1362	. . . . . . . . 9 |- ( G ` (/) ) = 0
20		peano1 4595	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
21		f1ocnvfv 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
22	2, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
24		0lt2o 6444	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
25	23, 24	eqeltri 2250	. . . . . . 7 |- ( `' G ` 0 ) e. 2o
26	16, 25	eqeltrdi 2268	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( `' G ` j ) e. 2o )
27		fveq2 5517	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( `' G ` j ) = ( `' G ` 1 ) )
28		df-1o 6419	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
29	28	fveq2i 5520	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (/) e. om )
31	17, 1, 30	frec2uzsucd 10403	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
32	31	mptru 1362	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
33	19	oveq1i 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
34		0p1e1 9035	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
35	33, 34	eqtri 2198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
36	29, 32, 35	3eqtri 2202	. . . . . . . . 9 |- ( G ` 1o ) = 1
37		1onn 6523	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
38		f1ocnvfv 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
39	2, 37, 38	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
40	36, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
41		1lt2o 6445	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
42	40, 41	eqeltri 2250	. . . . . . 7 |- ( `' G ` 1 ) e. 2o
43	27, 42	eqeltrdi 2268	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( `' G ` j ) e. 2o )
44	26, 43	jaoi 716	. . . . 5 |- ( ( j = 0 \/ j = 1 ) -> ( `' G ` j ) e. 2o )
45	15, 44	syl 14	. . . 4 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( `' G ` j ) e. 2o )
46	14, 45	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o )
47	46	rgen 2530	. 2 |- A. j e. { 0 , 1 } ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o
48		ffnfv 5676	. 2 |- ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o <-> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 } /\ A. j e. { 0 , 1 } ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o ) )
49	13, 47, 48	mpbir2an 942	1 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   (/)c0 3424   {cpr 3595   |-> cmpt 4066   suc csuc 4367   omcom 4591   `'ccnv 4627   |` cres 4630   Fn wfn 5213   -->wf 5214   -1-1-onto->wf1o 5217   ` cfv 5218  (class class class)co 5877  freccfrec 6393   1oc1o 6412   2oc2o 6413   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   NN0cn0 9178   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  isomninnlem  14817  iswomninnlem  14836  ismkvnnlem  14839