Theorem 012of 16592

Description: Mapping zero and one between NN0 and om style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
012of	|- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o

Proof of Theorem 012of

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2	1	frechashgf1o 10689	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> NN0
3		f1ocnv 5596	. . . . 5 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
4		f1of 5583	. . . . 5 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . 4 |- `' G : NN0 --> om
6		0nn0 9416	. . . . 5 |- 0 e. NN0
7		1nn0 9417	. . . . 5 |- 1 e. NN0
8		prssi 3831	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 |- { 0 , 1 } C_ NN0
10		fssres 5512	. . . 4 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om )
11	5, 9, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om
12		ffn 5482	. . 3 |- ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om -> ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 } )
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 }
14		fvres 5663	. . . 4 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) = ( `' G ` j ) )
15		elpri 3692	. . . . 5 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( j = 0 \/ j = 1 ) )
16		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( `' G ` j ) = ( `' G ` 0 ) )
17		0zd 9490	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
18	17, 1	frec2uz0d 10660	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
19	18	mptru 1406	. . . . . . . . 9 |- ( G ` (/) ) = 0
20		peano1 4692	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
21		f1ocnvfv 5919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
22	2, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
24		0lt2o 6608	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
25	23, 24	eqeltri 2304	. . . . . . 7 |- ( `' G ` 0 ) e. 2o
26	16, 25	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( `' G ` j ) e. 2o )
27		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( `' G ` j ) = ( `' G ` 1 ) )
28		df-1o 6581	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
29	28	fveq2i 5642	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (/) e. om )
31	17, 1, 30	frec2uzsucd 10662	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
32	31	mptru 1406	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
33	19	oveq1i 6027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
34		0p1e1 9256	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
35	33, 34	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
36	29, 32, 35	3eqtri 2256	. . . . . . . . 9 |- ( G ` 1o ) = 1
37		1onn 6687	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
38		f1ocnvfv 5919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
39	2, 37, 38	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
40	36, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
41		1lt2o 6609	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
42	40, 41	eqeltri 2304	. . . . . . 7 |- ( `' G ` 1 ) e. 2o
43	27, 42	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( `' G ` j ) e. 2o )
44	26, 43	jaoi 723	. . . . 5 |- ( ( j = 0 \/ j = 1 ) -> ( `' G ` j ) e. 2o )
45	15, 44	syl 14	. . . 4 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( `' G ` j ) e. 2o )
46	14, 45	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o )
47	46	rgen 2585	. 2 |- A. j e. { 0 , 1 } ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o
48		ffnfv 5805	. 2 |- ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o <-> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 } /\ A. j e. { 0 , 1 } ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o ) )
49	13, 47, 48	mpbir2an 950	1 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 715   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   A.wral 2510   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {cpr 3670   |-> cmpt 4150   suc csuc 4462   omcom 4688   `'ccnv 4724   |` cres 4727   Fn wfn 5321   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017  freccfrec 6555   1oc1o 6574   2oc2o 6575   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   NN0cn0 9401   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  isomninnlem  16634  iswomninnlem  16653  ismkvnnlem  16656