Theorem 012of 15486

Description: Mapping zero and one between NN0 and om style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
012of	|- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o

Proof of Theorem 012of

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2	1	frechashgf1o 10499	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> NN0
3		f1ocnv 5513	. . . . 5 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
4		f1of 5500	. . . . 5 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . 4 |- `' G : NN0 --> om
6		0nn0 9255	. . . . 5 |- 0 e. NN0
7		1nn0 9256	. . . . 5 |- 1 e. NN0
8		prssi 3776	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 |- { 0 , 1 } C_ NN0
10		fssres 5429	. . . 4 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om )
11	5, 9, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om
12		ffn 5403	. . 3 |- ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om -> ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 } )
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 }
14		fvres 5578	. . . 4 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) = ( `' G ` j ) )
15		elpri 3641	. . . . 5 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( j = 0 \/ j = 1 ) )
16		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( `' G ` j ) = ( `' G ` 0 ) )
17		0zd 9329	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
18	17, 1	frec2uz0d 10470	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
19	18	mptru 1373	. . . . . . . . 9 |- ( G ` (/) ) = 0
20		peano1 4626	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
21		f1ocnvfv 5822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
22	2, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
24		0lt2o 6494	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
25	23, 24	eqeltri 2266	. . . . . . 7 |- ( `' G ` 0 ) e. 2o
26	16, 25	eqeltrdi 2284	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( `' G ` j ) e. 2o )
27		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( `' G ` j ) = ( `' G ` 1 ) )
28		df-1o 6469	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
29	28	fveq2i 5557	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (/) e. om )
31	17, 1, 30	frec2uzsucd 10472	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
32	31	mptru 1373	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
33	19	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
34		0p1e1 9096	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
35	33, 34	eqtri 2214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
36	29, 32, 35	3eqtri 2218	. . . . . . . . 9 |- ( G ` 1o ) = 1
37		1onn 6573	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
38		f1ocnvfv 5822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
39	2, 37, 38	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
40	36, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
41		1lt2o 6495	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
42	40, 41	eqeltri 2266	. . . . . . 7 |- ( `' G ` 1 ) e. 2o
43	27, 42	eqeltrdi 2284	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( `' G ` j ) e. 2o )
44	26, 43	jaoi 717	. . . . 5 |- ( ( j = 0 \/ j = 1 ) -> ( `' G ` j ) e. 2o )
45	15, 44	syl 14	. . . 4 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( `' G ` j ) e. 2o )
46	14, 45	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o )
47	46	rgen 2547	. 2 |- A. j e. { 0 , 1 } ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o
48		ffnfv 5716	. 2 |- ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o <-> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 } /\ A. j e. { 0 , 1 } ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o ) )
49	13, 47, 48	mpbir2an 944	1 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {cpr 3619   |-> cmpt 4090   suc csuc 4396   omcom 4622   `'ccnv 4658   |` cres 4661   Fn wfn 5249   -->wf 5250   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918  freccfrec 6443   1oc1o 6462   2oc2o 6463   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   NN0cn0 9240   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  isomninnlem  15520  iswomninnlem  15539  ismkvnnlem  15542