Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  012of Unicode version

Theorem 012of 14367
Description: Mapping zero and one between  NN0 and  om style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
012of.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
Assertion
Ref Expression
012of  |-  ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) : { 0 ,  1 } --> 2o

Proof of Theorem 012of
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 012of.g . . . . . 6  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
21frechashgf1o 10401 . . . . 5  |-  G : om
-1-1-onto-> NN0
3 f1ocnv 5469 . . . . 5  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' G : NN0
-1-1-onto-> om )
4 f1of 5456 . . . . 5  |-  ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om  ->  `' G : NN0 --> om )
52, 3, 4mp2b 8 . . . 4  |-  `' G : NN0 --> om
6 0nn0 9167 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
7 1nn0 9168 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
8 prssi 3749 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
96, 7, 8mp2an 426 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
10 fssres 5386 . . . 4  |-  ( ( `' G : NN0 --> om  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0 )  ->  ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) : { 0 ,  1 } --> om )
115, 9, 10mp2an 426 . . 3  |-  ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) : { 0 ,  1 } --> om
12 ffn 5360 . . 3  |-  ( ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) : { 0 ,  1 } --> om  ->  ( `' G  |`  { 0 ,  1 } )  Fn  { 0 ,  1 } )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( `' G  |`  { 0 ,  1 } )  Fn  { 0 ,  1 }
14 fvres 5534 . . . 4  |-  ( j  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) `  j
)  =  ( `' G `  j ) )
15 elpri 3614 . . . . 5  |-  ( j  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
j  =  0  \/  j  =  1 ) )
16 fveq2 5510 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( `' G `  j )  =  ( `' G `  0 ) )
17 0zd 9241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
1817, 1frec2uz0d 10372 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( G `  (/) )  =  0 )
1918mptru 1362 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 (/) )  =  0
20 peano1 4589 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
21 f1ocnvfv 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( G `
 (/) )  =  0  ->  ( `' G `  0 )  =  (/) ) )
222, 20, 21mp2an 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  (/) )  =  0  ->  ( `' G `  0 )  =  (/) )
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( `' G `  0 )  =  (/)
24 0lt2o 6435 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  2o
2523, 24eqeltri 2250 . . . . . . 7  |-  ( `' G `  0 )  e.  2o
2616, 25eqeltrdi 2268 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( `' G `  j )  e.  2o )
27 fveq2 5510 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  ( `' G `  j )  =  ( `' G `  1 ) )
28 df-1o 6410 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  suc  (/)
2928fveq2i 5513 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 1o )  =  ( G `  suc  (/) )
3020a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  (/)  e.  om )
3117, 1, 30frec2uzsucd 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( G `  suc  (/) )  =  ( ( G `  (/) )  +  1 ) )
3231mptru 1362 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 suc  (/) )  =  ( ( G `  (/) )  +  1 )
3319oveq1i 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  (/) )  +  1 )  =  ( 0  +  1 )
34 0p1e1 9009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3533, 34eqtri 2198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  (/) )  +  1 )  =  1
3629, 32, 353eqtri 2202 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 1o )  =  1
37 1onn 6514 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  om
38 f1ocnvfv 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  1o  e.  om )  ->  ( ( G `  1o )  =  1  ->  ( `' G `  1 )  =  1o ) )
392, 37, 38mp2an 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  1o )  =  1  ->  ( `' G `  1 )  =  1o )
4036, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( `' G `  1 )  =  1o
41 1lt2o 6436 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  2o
4240, 41eqeltri 2250 . . . . . . 7  |-  ( `' G `  1 )  e.  2o
4327, 42eqeltrdi 2268 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  ( `' G `  j )  e.  2o )
4426, 43jaoi 716 . . . . 5  |-  ( ( j  =  0  \/  j  =  1 )  ->  ( `' G `  j )  e.  2o )
4515, 44syl 14 . . . 4  |-  ( j  e.  { 0 ,  1 }  ->  ( `' G `  j )  e.  2o )
4614, 45eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( j  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) `  j
)  e.  2o )
4746rgen 2530 . 2  |-  A. j  e.  { 0 ,  1 }  ( ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) `
 j )  e.  2o
48 ffnfv 5669 . 2  |-  ( ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) : { 0 ,  1 } --> 2o  <->  ( ( `' G  |`  { 0 ,  1 } )  Fn  { 0 ,  1 }  /\  A. j  e.  { 0 ,  1 }  (
( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) `  j
)  e.  2o ) )
4913, 47, 48mpbir2an 942 1  |-  ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) : { 0 ,  1 } --> 2o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 708    = wceq 1353   T. wtru 1354    e. wcel 2148   A.wral 2455    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {cpr 3592    |-> cmpt 4061   suc csuc 4361   omcom 4585   `'ccnv 4621    |` cres 4624    Fn wfn 5206   -->wf 5207   -1-1-onto->wf1o 5210   ` cfv 5211  (class class class)co 5868  freccfrec 6384   1oc1o 6403   2oc2o 6404   0cc0 7789   1c1 7790    + caddc 7792   NN0cn0 9152   ZZcz 9229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-recs 6299  df-frec 6385  df-1o 6410  df-2o 6411  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505
This theorem is referenced by:  isomninnlem  14401  iswomninnlem  14420  ismkvnnlem  14423
  Copyright terms: Public domain W3C validator