Theorem 012of 16696

Description: Mapping zero and one between NN0 and om style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
012of	|- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o

Proof of Theorem 012of

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2	1	frechashgf1o 10736	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> NN0
3		f1ocnv 5605	. . . . 5 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
4		f1of 5592	. . . . 5 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . 4 |- `' G : NN0 --> om
6		0nn0 9459	. . . . 5 |- 0 e. NN0
7		1nn0 9460	. . . . 5 |- 1 e. NN0
8		prssi 3836	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 |- { 0 , 1 } C_ NN0
10		fssres 5520	. . . 4 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om )
11	5, 9, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om
12		ffn 5489	. . 3 |- ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om -> ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 } )
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 }
14		fvres 5672	. . . 4 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) = ( `' G ` j ) )
15		elpri 3696	. . . . 5 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( j = 0 \/ j = 1 ) )
16		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( `' G ` j ) = ( `' G ` 0 ) )
17		0zd 9535	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
18	17, 1	frec2uz0d 10707	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
19	18	mptru 1407	. . . . . . . . 9 |- ( G ` (/) ) = 0
20		peano1 4698	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
21		f1ocnvfv 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
22	2, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
24		0lt2o 6652	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
25	23, 24	eqeltri 2304	. . . . . . 7 |- ( `' G ` 0 ) e. 2o
26	16, 25	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( `' G ` j ) e. 2o )
27		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( `' G ` j ) = ( `' G ` 1 ) )
28		df-1o 6625	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
29	28	fveq2i 5651	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (/) e. om )
31	17, 1, 30	frec2uzsucd 10709	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
32	31	mptru 1407	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
33	19	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
34		0p1e1 9299	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
35	33, 34	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
36	29, 32, 35	3eqtri 2256	. . . . . . . . 9 |- ( G ` 1o ) = 1
37		1onn 6731	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
38		f1ocnvfv 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
39	2, 37, 38	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
40	36, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
41		1lt2o 6653	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
42	40, 41	eqeltri 2304	. . . . . . 7 |- ( `' G ` 1 ) e. 2o
43	27, 42	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( `' G ` j ) e. 2o )
44	26, 43	jaoi 724	. . . . 5 |- ( ( j = 0 \/ j = 1 ) -> ( `' G ` j ) e. 2o )
45	15, 44	syl 14	. . . 4 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( `' G ` j ) e. 2o )
46	14, 45	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o )
47	46	rgen 2586	. 2 |- A. j e. { 0 , 1 } ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o
48		ffnfv 5813	. 2 |- ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o <-> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 } /\ A. j e. { 0 , 1 } ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o ) )
49	13, 47, 48	mpbir2an 951	1 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 716   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   A.wral 2511   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {cpr 3674   |-> cmpt 4155   suc csuc 4468   omcom 4694   `'ccnv 4730   |` cres 4733   Fn wfn 5328   -->wf 5329   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028  freccfrec 6599   1oc1o 6618   2oc2o 6619   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   NN0cn0 9444   ZZcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800

This theorem is referenced by:  isomninnlem  16745  iswomninnlem  16765  ismkvnnlem  16768