Theorem 012of 16416

Description: Mapping zero and one between NN0 and om style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
012of	|- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o

Proof of Theorem 012of

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2	1	frechashgf1o 10662	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> NN0
3		f1ocnv 5587	. . . . 5 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
4		f1of 5574	. . . . 5 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . 4 |- `' G : NN0 --> om
6		0nn0 9395	. . . . 5 |- 0 e. NN0
7		1nn0 9396	. . . . 5 |- 1 e. NN0
8		prssi 3826	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 |- { 0 , 1 } C_ NN0
10		fssres 5503	. . . 4 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om )
11	5, 9, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om
12		ffn 5473	. . 3 |- ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> om -> ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 } )
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 }
14		fvres 5653	. . . 4 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) = ( `' G ` j ) )
15		elpri 3689	. . . . 5 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( j = 0 \/ j = 1 ) )
16		fveq2 5629	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( `' G ` j ) = ( `' G ` 0 ) )
17		0zd 9469	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
18	17, 1	frec2uz0d 10633	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
19	18	mptru 1404	. . . . . . . . 9 |- ( G ` (/) ) = 0
20		peano1 4686	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
21		f1ocnvfv 5909	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
22	2, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
24		0lt2o 6595	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
25	23, 24	eqeltri 2302	. . . . . . 7 |- ( `' G ` 0 ) e. 2o
26	16, 25	eqeltrdi 2320	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( `' G ` j ) e. 2o )
27		fveq2 5629	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( `' G ` j ) = ( `' G ` 1 ) )
28		df-1o 6568	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
29	28	fveq2i 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (/) e. om )
31	17, 1, 30	frec2uzsucd 10635	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
32	31	mptru 1404	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
33	19	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
34		0p1e1 9235	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
35	33, 34	eqtri 2250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
36	29, 32, 35	3eqtri 2254	. . . . . . . . 9 |- ( G ` 1o ) = 1
37		1onn 6674	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
38		f1ocnvfv 5909	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
39	2, 37, 38	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
40	36, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
41		1lt2o 6596	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
42	40, 41	eqeltri 2302	. . . . . . 7 |- ( `' G ` 1 ) e. 2o
43	27, 42	eqeltrdi 2320	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( `' G ` j ) e. 2o )
44	26, 43	jaoi 721	. . . . 5 |- ( ( j = 0 \/ j = 1 ) -> ( `' G ` j ) e. 2o )
45	15, 44	syl 14	. . . 4 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( `' G ` j ) e. 2o )
46	14, 45	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( j e. { 0 , 1 } -> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o )
47	46	rgen 2583	. 2 |- A. j e. { 0 , 1 } ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o
48		ffnfv 5795	. 2 |- ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o <-> ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) Fn { 0 , 1 } /\ A. j e. { 0 , 1 } ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) ` j ) e. 2o ) )
49	13, 47, 48	mpbir2an 948	1 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {cpr 3667   |-> cmpt 4145   suc csuc 4456   omcom 4682   `'ccnv 4718   |` cres 4721   Fn wfn 5313   -->wf 5314   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6007  freccfrec 6542   1oc1o 6561   2oc2o 6562   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   NN0cn0 9380   ZZcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  isomninnlem  16458  iswomninnlem  16477  ismkvnnlem  16480