Theorem nnti 14626

Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnti.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
nnti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Proof of Theorem nnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑢 ∈ 𝐴)
2		nnti.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
4		elnn 4605	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑢 ∈ ω)
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑢 ∈ ω)
6		simprr 531	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
7		elnn 4605	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑣 ∈ ω)
8	6, 3, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ ω)
9		nntri3 6497	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)))
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)))
11		epel 4292	. . . 4 ⊢ (𝑢 E 𝑣 ↔ 𝑢 ∈ 𝑣)
12	11	notbii 668	. . 3 ⊢ (¬ 𝑢 E 𝑣 ↔ ¬ 𝑢 ∈ 𝑣)
13		epel 4292	. . . 4 ⊢ (𝑣 E 𝑢 ↔ 𝑣 ∈ 𝑢)
14	13	notbii 668	. . 3 ⊢ (¬ 𝑣 E 𝑢 ↔ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
15	12, 14	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢) ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢))
16	10, 15	bitr4di 198	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003   E cep 4287  ωcom 4589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590

This theorem is referenced by: (None)