Theorem nnti 14027

Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnti.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
nnti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Proof of Theorem nnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑢 ∈ 𝐴)
2		nnti.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
3	2	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
4		elnn 4590	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑢 ∈ ω)
5	1, 3, 4	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑢 ∈ ω)
6		simprr 527	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
7		elnn 4590	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑣 ∈ ω)
8	6, 3, 7	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ ω)
9		nntri3 6476	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)))
10	5, 8, 9	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)))
11		epel 4277	. . . 4 ⊢ (𝑢 E 𝑣 ↔ 𝑢 ∈ 𝑣)
12	11	notbii 663	. . 3 ⊢ (¬ 𝑢 E 𝑣 ↔ ¬ 𝑢 ∈ 𝑣)
13		epel 4277	. . . 4 ⊢ (𝑣 E 𝑢 ↔ 𝑣 ∈ 𝑢)
14	13	notbii 663	. . 3 ⊢ (¬ 𝑣 E 𝑢 ↔ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
15	12, 14	anbi12i 457	. 2 ⊢ ((¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢) ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢))
16	10, 15	bitr4di 197	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989   E cep 4272  ωcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575

This theorem is referenced by: (None)