Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnti GIF version

Theorem nnti 14027
Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nnti.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
nnti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Proof of Theorem nnti
StepHypRef Expression
1 simprl 526 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑢𝐴)
2 nnti.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ω)
32adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
4 elnn 4590 . . . 4 ((𝑢𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑢 ∈ ω)
51, 3, 4syl2anc 409 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑢 ∈ ω)
6 simprr 527 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑣𝐴)
7 elnn 4590 . . . 4 ((𝑣𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑣 ∈ ω)
86, 3, 7syl2anc 409 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑣 ∈ ω)
9 nntri3 6476 . . 3 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑢)))
105, 8, 9syl2anc 409 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑢)))
11 epel 4277 . . . 4 (𝑢 E 𝑣𝑢𝑣)
1211notbii 663 . . 3 𝑢 E 𝑣 ↔ ¬ 𝑢𝑣)
13 epel 4277 . . . 4 (𝑣 E 𝑢𝑣𝑢)
1413notbii 663 . . 3 𝑣 E 𝑢 ↔ ¬ 𝑣𝑢)
1512, 14anbi12i 457 . 2 ((¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢) ↔ (¬ 𝑢𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑢))
1610, 15bitr4di 197 1 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 2141   class class class wbr 3989   E cep 4272  ωcom 4574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator