Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnti GIF version

Theorem nnti 13118
Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nnti.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
nnti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Proof of Theorem nnti
StepHypRef Expression
1 simprl 505 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑢𝐴)
2 nnti.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ω)
32adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
4 elnn 4489 . . . 4 ((𝑢𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑢 ∈ ω)
51, 3, 4syl2anc 408 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑢 ∈ ω)
6 simprr 506 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑣𝐴)
7 elnn 4489 . . . 4 ((𝑣𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑣 ∈ ω)
86, 3, 7syl2anc 408 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑣 ∈ ω)
9 nntri3 6361 . . 3 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑢)))
105, 8, 9syl2anc 408 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑢)))
11 epel 4184 . . . 4 (𝑢 E 𝑣𝑢𝑣)
1211notbii 642 . . 3 𝑢 E 𝑣 ↔ ¬ 𝑢𝑣)
13 epel 4184 . . . 4 (𝑣 E 𝑢𝑣𝑢)
1413notbii 642 . . 3 𝑣 E 𝑢 ↔ ¬ 𝑣𝑢)
1512, 14anbi12i 455 . 2 ((¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢) ↔ (¬ 𝑢𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑢))
1610, 15syl6bbr 197 1 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1465   class class class wbr 3899   E cep 4179  ωcom 4474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator