Theorem nnti 16936

Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnti.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
nnti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Proof of Theorem nnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 535	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑢 ∈ 𝐴)
2		nnti.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
4		elnn 4748	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑢 ∈ ω)
5	1, 3, 4	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑢 ∈ ω)
6		simprr 537	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
7		elnn 4748	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑣 ∈ ω)
8	6, 3, 7	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ ω)
9		nntri3 6760	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)))
10	5, 8, 9	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)))
11		epel 4432	. . . 4 ⊢ (𝑢 E 𝑣 ↔ 𝑢 ∈ 𝑣)
12	11	notbii 678	. . 3 ⊢ (¬ 𝑢 E 𝑣 ↔ ¬ 𝑢 ∈ 𝑣)
13		epel 4432	. . . 4 ⊢ (𝑣 E 𝑢 ↔ 𝑣 ∈ 𝑢)
14	13	notbii 678	. . 3 ⊢ (¬ 𝑣 E 𝑢 ↔ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
15	12, 14	anbi12i 464	. 2 ⊢ ((¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢) ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢))
16	10, 15	bitr4di 198	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125   E cep 4427  ωcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733

This theorem is referenced by: (None)