Theorem nnti 16695

Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnti.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
nnti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Proof of Theorem nnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑢 ∈ 𝐴)
2		nnti.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
4		elnn 4710	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑢 ∈ ω)
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑢 ∈ ω)
6		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
7		elnn 4710	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑣 ∈ ω)
8	6, 3, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ ω)
9		nntri3 6708	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)))
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)))
11		epel 4395	. . . 4 ⊢ (𝑢 E 𝑣 ↔ 𝑢 ∈ 𝑣)
12	11	notbii 674	. . 3 ⊢ (¬ 𝑢 E 𝑣 ↔ ¬ 𝑢 ∈ 𝑣)
13		epel 4395	. . . 4 ⊢ (𝑣 E 𝑢 ↔ 𝑣 ∈ 𝑢)
14	13	notbii 674	. . 3 ⊢ (¬ 𝑣 E 𝑢 ↔ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
15	12, 14	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢) ↔ (¬ 𝑢 ∈ 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑢))
16	10, 15	bitr4di 198	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093   E cep 4390  ωcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695

This theorem is referenced by: (None)