Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnti GIF version

Theorem nnti 13002
Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nnti.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
nnti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))

Proof of Theorem nnti
StepHypRef Expression
1 simprl 503 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑢𝐴)
2 nnti.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ω)
32adantr 272 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
4 elnn 4487 . . . 4 ((𝑢𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑢 ∈ ω)
51, 3, 4syl2anc 406 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑢 ∈ ω)
6 simprr 504 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑣𝐴)
7 elnn 4487 . . . 4 ((𝑣𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑣 ∈ ω)
86, 3, 7syl2anc 406 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → 𝑣 ∈ ω)
9 nntri3 6359 . . 3 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑢)))
105, 8, 9syl2anc 406 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑢)))
11 epel 4182 . . . 4 (𝑢 E 𝑣𝑢𝑣)
1211notbii 640 . . 3 𝑢 E 𝑣 ↔ ¬ 𝑢𝑣)
13 epel 4182 . . . 4 (𝑣 E 𝑢𝑣𝑢)
1413notbii 640 . . 3 𝑣 E 𝑢 ↔ ¬ 𝑣𝑢)
1512, 14anbi12i 453 . 2 ((¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢) ↔ (¬ 𝑢𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑢))
1610, 15syl6bbr 197 1 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 E 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 E 𝑢)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1463   class class class wbr 3897   E cep 4177  ωcom 4472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator