Theorem nqpi 7473

Description: Decomposition of a positive fraction into numerator and denominator. Similar to dmaddpqlem 7472 but also shows that the numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqpi	|- ( A e. Q. -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )

Distinct variable group:   v, A, w

Proof of Theorem nqpi

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsi 6664	. . 3 |- ( A e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> E. a e. ( N. X. N. ) A = [ a ] ~Q )
2		elxpi 4689	. . . . . . 7 |- ( a e. ( N. X. N. ) -> E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) )
3	2	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
4		19.41vv 1926	. . . . . 6 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) <-> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
6		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( w e. N. /\ v e. N. ) )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> A = [ a ] ~Q )
8		eceq1 6645	. . . . . . . . 9 |- ( a = <. w , v >. -> [ a ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> [ a ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
10	7, 9	eqtrd 2237	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q )
11	6, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
12	11	2eximi 1623	. . . . 5 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
13	5, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
14	13	rexlimiva 2617	. . 3 |- ( E. a e. ( N. X. N. ) A = [ a ] ~Q -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
15	1, 14	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
16		df-nqqs 7443	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
17	15, 16	eleq2s 2299	1 |- ( A e. Q. -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   E.wrex 2484   <.cop 3635   X. cxp 4671   [cec 6608   /.cqs 6609   N.cnpi 7367   ~Q ceq 7374   Q.cnq 7375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4679  df-cnv 4681  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-ec 6612  df-qs 6616  df-nqqs 7443

This theorem is referenced by:  ltdcnq  7492  archnqq  7512  nqpnq0nq  7548  nqnq0a  7549  nqnq0m  7550