Theorem nqpi 7641

Description: Decomposition of a positive fraction into numerator and denominator. Similar to dmaddpqlem 7640 but also shows that the numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqpi	|- ( A e. Q. -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )

Distinct variable group:   v, A, w

Proof of Theorem nqpi

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsi 6799	. . 3 |- ( A e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> E. a e. ( N. X. N. ) A = [ a ] ~Q )
2		elxpi 4747	. . . . . . 7 |- ( a e. ( N. X. N. ) -> E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) )
3	2	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
4		19.41vv 1952	. . . . . 6 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) <-> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
6		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( w e. N. /\ v e. N. ) )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> A = [ a ] ~Q )
8		eceq1 6780	. . . . . . . . 9 |- ( a = <. w , v >. -> [ a ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> [ a ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
10	7, 9	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q )
11	6, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
12	11	2eximi 1650	. . . . 5 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
13	5, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
14	13	rexlimiva 2646	. . 3 |- ( E. a e. ( N. X. N. ) A = [ a ] ~Q -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
15	1, 14	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
16		df-nqqs 7611	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
17	15, 16	eleq2s 2326	1 |- ( A e. Q. -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   E.wrex 2512   <.cop 3676   X. cxp 4729   [cec 6743   /.cqs 6744   N.cnpi 7535   ~Q ceq 7542   Q.cnq 7543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-ec 6747  df-qs 6751  df-nqqs 7611

This theorem is referenced by:  ltdcnq  7660  archnqq  7680  nqpnq0nq  7716  nqnq0a  7717  nqnq0m  7718