Theorem nqpi 7528

Description: Decomposition of a positive fraction into numerator and denominator. Similar to dmaddpqlem 7527 but also shows that the numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqpi	|- ( A e. Q. -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )

Distinct variable group:   v, A, w

Proof of Theorem nqpi

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsi 6699	. . 3 |- ( A e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> E. a e. ( N. X. N. ) A = [ a ] ~Q )
2		elxpi 4710	. . . . . . 7 |- ( a e. ( N. X. N. ) -> E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) )
3	2	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
4		19.41vv 1928	. . . . . 6 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) <-> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
6		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( w e. N. /\ v e. N. ) )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> A = [ a ] ~Q )
8		eceq1 6680	. . . . . . . . 9 |- ( a = <. w , v >. -> [ a ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> [ a ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
10	7, 9	eqtrd 2240	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q )
11	6, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
12	11	2eximi 1625	. . . . 5 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
13	5, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
14	13	rexlimiva 2621	. . 3 |- ( E. a e. ( N. X. N. ) A = [ a ] ~Q -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
15	1, 14	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
16		df-nqqs 7498	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
17	15, 16	eleq2s 2302	1 |- ( A e. Q. -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   E.wrex 2487   <.cop 3647   X. cxp 4692   [cec 6643   /.cqs 6644   N.cnpi 7422   ~Q ceq 7429   Q.cnq 7430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2779  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-br 4061  df-opab 4123  df-xp 4700  df-cnv 4702  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-ec 6647  df-qs 6651  df-nqqs 7498

This theorem is referenced by:  ltdcnq  7547  archnqq  7567  nqpnq0nq  7603  nqnq0a  7604  nqnq0m  7605