Theorem nqnq0m 7588

Description: Multiplication of positive fractions is equal with .Q or ·_Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0m	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )

Proof of Theorem nqnq0m

Dummy variables z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7511	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
2		nqpi 7511	. . . 4 |- ( B e. Q. -> E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) )
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
4		ee4anv 1963	. . 3 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) <-> ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
5	3, 4	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
6		oveq12 5966	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) -> ( A .Q B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) )
7		mulpiord 7450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) = ( z .o v ) )
8	7	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) = ( z .o v ) )
9		mulpiord 7450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
10	9	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
11	8, 10	opeq12d 3833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. = <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. )
12	11	eceq1d 6669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
13		mulpipqqs 7506	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
14		mulclpi 7461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
15	14	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
16		mulclpi 7461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
17	16	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
18		nqnq0pi 7571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
19	15, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
20	13, 19	eqtr4d 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 )
21		pinn 7442	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. N. -> z e. om )
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z e. om /\ w e. N. ) )
23		pinn 7442	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> v e. om )
24	23	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( v e. om /\ u e. N. ) )
25		mulnnnq0 7583	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
26	22, 24, 25	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
27	12, 20, 26	3eqtr4d 2249	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
28	6, 27	sylan9eqr 2261	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
29		nqnq0pi 7571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> [ <. z , w >. ] ~Q0 = [ <. z , w >. ] ~Q )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. z , w >. ] ~Q0 = [ <. z , w >. ] ~Q )
31	30	eqeq2d 2218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 <-> A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
32		nqnq0pi 7571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> [ <. v , u >. ] ~Q0 = [ <. v , u >. ] ~Q )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. v , u >. ] ~Q0 = [ <. v , u >. ] ~Q )
34	33	eqeq2d 2218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( B = [ <. v , u >. ] ~Q0 <-> B = [ <. v , u >. ] ~Q ) )
35	31, 34	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
36	35	pm5.32i 454	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
37		oveq12 5966	. . . . . . . 8 |- ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) -> ( A ·Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
39	36, 38	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A ·Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
40	28, 39	eqtr4d 2242	. . . . 5 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
41	40	an4s 588	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
42	41	exlimivv 1921	. . 3 |- ( E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
43	42	exlimivv 1921	. 2 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
44	5, 43	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   <.cop 3641   omcom 4646  (class class class)co 5957   .o comu 6513   [cec 6631   N.cnpi 7405   .N cmi 7407   ~Q ceq 7412   Q.cnq 7413   .Q cmq 7416   ~_Q0 ceq0 7419   ·_Q0 cmq0 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-mi 7439  df-mpq 7478  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-mqqs 7483  df-enq0 7557  df-nq0 7558  df-mq0 7561

This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7627  prarloclemcalc  7635