ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0m Unicode version

Theorem nqnq0m 7451
Description: Multiplication of positive fractions is equal with 
.Q or ·Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0m  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  =  ( A ·Q0  B ) )

Proof of Theorem nqnq0m
Dummy variables  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7374 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
2 nqpi 7374 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )
31, 2anim12i 338 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
4 ee4anv 1934 . . 3  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  (
( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  <->  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
53, 4sylibr 134 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
6 oveq12 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  ->  ( A  .Q  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )
7 mulpiord 7313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  =  ( z  .o  v ) )
87ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  =  ( z  .o  v ) )
9 mulpiord 7313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( w  .o  u ) )
109ad2ant2l 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( w  .o  u ) )
118, 10opeq12d 3786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  <. ( z  .N  v ) ,  ( w  .N  u
) >.  =  <. (
z  .o  v ) ,  ( w  .o  u ) >. )
1211eceq1d 6568 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
z  .N  v ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .o  v ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
13 mulpipqqs 7369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
z  .N  v ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
14 mulclpi 7324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  e.  N. )
1514ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  e.  N. )
16 mulclpi 7324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
1716ad2ant2l 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
18 nqnq0pi 7434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  .N  v
)  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  [ <. ( z  .N  v ) ,  ( w  .N  u )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( z  .N  v ) ,  ( w  .N  u )
>. ]  ~Q  )
1915, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
z  .N  v ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .N  v ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
2013, 19eqtr4d 2213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
z  .N  v ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  )
21 pinn 7305 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
2221anim1i 340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)
23 pinn 7305 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  N.  ->  v  e.  om )
2423anim1i 340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)
25 mulnnnq0 7446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  v ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
2622, 24, 25syl2an 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  v ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
2712, 20, 263eqtr4d 2220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
286, 27sylan9eqr 2232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  .Q  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
29 nqnq0pi 7434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
3029adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
3130eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  <->  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
)
32 nqnq0pi 7434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
3332adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
3433eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  <->  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
)
3531, 34anbi12d 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  <->  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
3635pm5.32i 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  <->  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
37 oveq12 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  ->  ( A ·Q0 
B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
3837adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
3936, 38sylbir 135 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A ·Q0 
B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
4028, 39eqtr4d 2213 . . . . 5  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  .Q  B )  =  ( A ·Q0  B ) )
4140an4s 588 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  .Q  B )  =  ( A ·Q0  B ) )
4241exlimivv 1896 . . 3  |-  ( E. v E. u ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  .Q  B )  =  ( A ·Q0  B ) )
4342exlimivv 1896 . 2  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  (
( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  -> 
( A  .Q  B
)  =  ( A ·Q0  B ) )
445, 43syl 14 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  =  ( A ·Q0  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   <.cop 3595   omcom 4588  (class class class)co 5872    .o comu 6412   [cec 6530   N.cnpi 7268    .N cmi 7270    ~Q ceq 7275   Q.cnq 7276    .Q cmq 7279   ~Q0 ceq0 7282   ·Q0 cmq0 7286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-oadd 6418  df-omul 6419  df-er 6532  df-ec 6534  df-qs 6538  df-ni 7300  df-mi 7302  df-mpq 7341  df-enq 7343  df-nqqs 7344  df-mqqs 7346  df-enq0 7420  df-nq0 7421  df-mq0 7424
This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7490  prarloclemcalc  7498
  Copyright terms: Public domain W3C validator