ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0m Unicode version

Theorem nqnq0m 7227
Description: Multiplication of positive fractions is equal with 
.Q or ·Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0m  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  =  ( A ·Q0  B ) )

Proof of Theorem nqnq0m
Dummy variables  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7150 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
2 nqpi 7150 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )
31, 2anim12i 334 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
4 ee4anv 1884 . . 3  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  (
( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  <->  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
53, 4sylibr 133 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
6 oveq12 5749 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  ->  ( A  .Q  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )
7 mulpiord 7089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  =  ( z  .o  v ) )
87ad2ant2r 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  =  ( z  .o  v ) )
9 mulpiord 7089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( w  .o  u ) )
109ad2ant2l 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( w  .o  u ) )
118, 10opeq12d 3681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  <. ( z  .N  v ) ,  ( w  .N  u
) >.  =  <. (
z  .o  v ) ,  ( w  .o  u ) >. )
1211eceq1d 6431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
z  .N  v ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .o  v ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
13 mulpipqqs 7145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
z  .N  v ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
14 mulclpi 7100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  e.  N. )
1514ad2ant2r 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  e.  N. )
16 mulclpi 7100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
1716ad2ant2l 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
18 nqnq0pi 7210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  .N  v
)  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  [ <. ( z  .N  v ) ,  ( w  .N  u )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( z  .N  v ) ,  ( w  .N  u )
>. ]  ~Q  )
1915, 17, 18syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
z  .N  v ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .N  v ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
2013, 19eqtr4d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
z  .N  v ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  )
21 pinn 7081 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
2221anim1i 336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)
23 pinn 7081 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  N.  ->  v  e.  om )
2423anim1i 336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)
25 mulnnnq0 7222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  v ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
2622, 24, 25syl2an 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  v ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
2712, 20, 263eqtr4d 2158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
286, 27sylan9eqr 2170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  .Q  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
29 nqnq0pi 7210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
3029adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
3130eqeq2d 2127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  <->  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
)
32 nqnq0pi 7210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
3332adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
3433eqeq2d 2127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  <->  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
)
3531, 34anbi12d 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  <->  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
3635pm5.32i 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  <->  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
37 oveq12 5749 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  ->  ( A ·Q0 
B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
3837adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
3936, 38sylbir 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A ·Q0 
B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
4028, 39eqtr4d 2151 . . . . 5  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  .Q  B )  =  ( A ·Q0  B ) )
4140an4s 560 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  .Q  B )  =  ( A ·Q0  B ) )
4241exlimivv 1850 . . 3  |-  ( E. v E. u ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  .Q  B )  =  ( A ·Q0  B ) )
4342exlimivv 1850 . 2  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  (
( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  -> 
( A  .Q  B
)  =  ( A ·Q0  B ) )
445, 43syl 14 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  =  ( A ·Q0  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   <.cop 3498   omcom 4472  (class class class)co 5740    .o comu 6277   [cec 6393   N.cnpi 7044    .N cmi 7046    ~Q ceq 7051   Q.cnq 7052    .Q cmq 7055   ~Q0 ceq0 7058   ·Q0 cmq0 7062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-mi 7078  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-mqqs 7122  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-mq0 7200
This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7266  prarloclemcalc  7274
  Copyright terms: Public domain W3C validator