Theorem nqnq0m 7456

Description: Multiplication of positive fractions is equal with .Q or ·_Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0m	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )

Proof of Theorem nqnq0m

Dummy variables z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7379	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
2		nqpi 7379	. . . 4 |- ( B e. Q. -> E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) )
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
4		ee4anv 1934	. . 3 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) <-> ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
5	3, 4	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
6		oveq12 5886	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) -> ( A .Q B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) )
7		mulpiord 7318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) = ( z .o v ) )
8	7	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) = ( z .o v ) )
9		mulpiord 7318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
10	9	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
11	8, 10	opeq12d 3788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. = <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. )
12	11	eceq1d 6573	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
13		mulpipqqs 7374	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
14		mulclpi 7329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
15	14	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
16		mulclpi 7329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
17	16	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
18		nqnq0pi 7439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
19	15, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
20	13, 19	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 )
21		pinn 7310	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. N. -> z e. om )
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z e. om /\ w e. N. ) )
23		pinn 7310	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> v e. om )
24	23	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( v e. om /\ u e. N. ) )
25		mulnnnq0 7451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
26	22, 24, 25	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
27	12, 20, 26	3eqtr4d 2220	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
28	6, 27	sylan9eqr 2232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
29		nqnq0pi 7439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> [ <. z , w >. ] ~Q0 = [ <. z , w >. ] ~Q )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. z , w >. ] ~Q0 = [ <. z , w >. ] ~Q )
31	30	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 <-> A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
32		nqnq0pi 7439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> [ <. v , u >. ] ~Q0 = [ <. v , u >. ] ~Q )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. v , u >. ] ~Q0 = [ <. v , u >. ] ~Q )
34	33	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( B = [ <. v , u >. ] ~Q0 <-> B = [ <. v , u >. ] ~Q ) )
35	31, 34	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
36	35	pm5.32i 454	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
37		oveq12 5886	. . . . . . . 8 |- ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) -> ( A ·Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
39	36, 38	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A ·Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
40	28, 39	eqtr4d 2213	. . . . 5 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
41	40	an4s 588	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
42	41	exlimivv 1896	. . 3 |- ( E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
43	42	exlimivv 1896	. 2 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
44	5, 43	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   <.cop 3597   omcom 4591  (class class class)co 5877   .o comu 6417   [cec 6535   N.cnpi 7273   .N cmi 7275   ~Q ceq 7280   Q.cnq 7281   .Q cmq 7284   ~_Q0 ceq0 7287   ·_Q0 cmq0 7291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-mi 7307  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-mqqs 7351  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-mq0 7429

This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7495  prarloclemcalc  7503