Theorem nqnq0a 7416

Description: Addition of positive fractions is equal with +Q or +_Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0a	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )

Proof of Theorem nqnq0a

Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7340	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
2		nqpi 7340	. . . 4 |- ( B e. Q. -> E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) )
3	1, 2	anim12i 336	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
4		ee4anv 1927	. . 3 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) <-> ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
5	3, 4	sylibr 133	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
6		oveq12 5862	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) -> ( A +Q B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) )
7		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
8	7	ad2ant2rl 508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
9		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
10	9	ad2ant2lr 507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
11		addpiord 7278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) = ( ( z .N u ) +o ( w .N v ) ) )
12	8, 10, 11	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) = ( ( z .N u ) +o ( w .N v ) ) )
13		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) = ( z .o u ) )
14	13	ad2ant2rl 508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) = ( z .o u ) )
15		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) = ( w .o v ) )
16	15	ad2ant2lr 507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) = ( w .o v ) )
17	14, 16	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +o ( w .N v ) ) = ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) )
18	12, 17	eqtrd 2203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) = ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) )
19		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
20	19	ad2ant2l 505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
21	18, 20	opeq12d 3773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. = <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. )
22	21	eceq1d 6549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
23		addpipqqs 7332	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
24		addclpi 7289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
25	8, 10, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
26		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
27	26	ad2ant2l 505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
28		nqnq0pi 7400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
29	25, 27, 28	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
30	23, 29	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 )
31		pinn 7271	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. N. -> z e. om )
32	31	anim1i 338	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z e. om /\ w e. N. ) )
33		pinn 7271	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> v e. om )
34	33	anim1i 338	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( v e. om /\ u e. N. ) )
35		addnnnq0 7411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
36	32, 34, 35	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
37	22, 30, 36	3eqtr4d 2213	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
38	6, 37	sylan9eqr 2225	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
39		nqnq0pi 7400	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> [ <. z , w >. ] ~Q0 = [ <. z , w >. ] ~Q )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. z , w >. ] ~Q0 = [ <. z , w >. ] ~Q )
41	40	eqeq2d 2182	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 <-> A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
42		nqnq0pi 7400	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> [ <. v , u >. ] ~Q0 = [ <. v , u >. ] ~Q )
43	42	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. v , u >. ] ~Q0 = [ <. v , u >. ] ~Q )
44	43	eqeq2d 2182	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( B = [ <. v , u >. ] ~Q0 <-> B = [ <. v , u >. ] ~Q ) )
45	41, 44	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
46	45	pm5.32i 451	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
47		oveq12 5862	. . . . . . . 8 |- ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
48	47	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
49	46, 48	sylbir 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
50	38, 49	eqtr4d 2206	. . . . 5 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )
51	50	an4s 583	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )
52	51	exlimivv 1889	. . 3 |- ( E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )
53	52	exlimivv 1889	. 2 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )
54	5, 53	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   <.cop 3586   omcom 4574  (class class class)co 5853   +o coa 6392   .o comu 6393   [cec 6511   N.cnpi 7234   +N cpli 7235   .N cmi 7236   ~Q ceq 7241   Q.cnq 7242   +Q cplq 7244   ~_Q0 ceq0 7248   +_Q0 cplq0 7251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-plpq 7306  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-plq0 7389

This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7456  prarloclemcalc  7464