Theorem nqnq0a 7649

Description: Addition of positive fractions is equal with +Q or +_Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0a	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )

Proof of Theorem nqnq0a

Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7573	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
2		nqpi 7573	. . . 4 |- ( B e. Q. -> E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) )
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
4		ee4anv 1985	. . 3 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) <-> ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
5	3, 4	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
6		oveq12 6016	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) -> ( A +Q B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) )
7		mulclpi 7523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
8	7	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
9		mulclpi 7523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
10	9	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
11		addpiord 7511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) = ( ( z .N u ) +o ( w .N v ) ) )
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) = ( ( z .N u ) +o ( w .N v ) ) )
13		mulpiord 7512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) = ( z .o u ) )
14	13	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) = ( z .o u ) )
15		mulpiord 7512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) = ( w .o v ) )
16	15	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) = ( w .o v ) )
17	14, 16	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +o ( w .N v ) ) = ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) )
18	12, 17	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) = ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) )
19		mulpiord 7512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
20	19	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
21	18, 20	opeq12d 3865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. = <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. )
22	21	eceq1d 6724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
23		addpipqqs 7565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
24		addclpi 7522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
25	8, 10, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
26		mulclpi 7523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
27	26	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
28		nqnq0pi 7633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
29	25, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
30	23, 29	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 )
31		pinn 7504	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. N. -> z e. om )
32	31	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z e. om /\ w e. N. ) )
33		pinn 7504	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> v e. om )
34	33	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( v e. om /\ u e. N. ) )
35		addnnnq0 7644	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
36	32, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
37	22, 30, 36	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
38	6, 37	sylan9eqr 2284	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
39		nqnq0pi 7633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> [ <. z , w >. ] ~Q0 = [ <. z , w >. ] ~Q )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. z , w >. ] ~Q0 = [ <. z , w >. ] ~Q )
41	40	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 <-> A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
42		nqnq0pi 7633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> [ <. v , u >. ] ~Q0 = [ <. v , u >. ] ~Q )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. v , u >. ] ~Q0 = [ <. v , u >. ] ~Q )
44	43	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( B = [ <. v , u >. ] ~Q0 <-> B = [ <. v , u >. ] ~Q ) )
45	41, 44	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
46	45	pm5.32i 454	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
47		oveq12 6016	. . . . . . . 8 |- ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
48	47	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
49	46, 48	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
50	38, 49	eqtr4d 2265	. . . . 5 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )
51	50	an4s 590	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )
52	51	exlimivv 1943	. . 3 |- ( E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )
53	52	exlimivv 1943	. 2 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )
54	5, 53	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( A +Q0 B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   <.cop 3669   omcom 4682  (class class class)co 6007   +o coa 6565   .o comu 6566   [cec 6686   N.cnpi 7467   +N cpli 7468   .N cmi 7469   ~Q ceq 7474   Q.cnq 7475   +Q cplq 7477   ~_Q0 ceq0 7481   +_Q0 cplq0 7484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7499  df-pli 7500  df-mi 7501  df-plpq 7539  df-enq 7542  df-nqqs 7543  df-plqqs 7544  df-enq0 7619  df-nq0 7620  df-plq0 7622

This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7689  prarloclemcalc  7697