ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0a Unicode version

Theorem nqnq0a 7416
Description: Addition of positive fractions is equal with  +Q or +Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0a  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( A +Q0  B
) )

Proof of Theorem nqnq0a
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7340 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
2 nqpi 7340 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )
31, 2anim12i 336 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
4 ee4anv 1927 . . 3  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  (
( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  <->  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
53, 4sylibr 133 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
6 oveq12 5862 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  ->  ( A  +Q  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )
7 mulclpi 7290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  e.  N. )
87ad2ant2rl 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
9 mulclpi 7290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  e.  N. )
109ad2ant2lr 507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
11 addpiord 7278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  =  ( ( z  .N  u )  +o  ( w  .N  v ) ) )
128, 10, 11syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( z  .N  u )  +o  (
w  .N  v ) ) )
13 mulpiord 7279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  =  ( z  .o  u ) )
1413ad2ant2rl 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  =  ( z  .o  u ) )
15 mulpiord 7279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  =  ( w  .o  v ) )
1615ad2ant2lr 507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  =  ( w  .o  v ) )
1714, 16oveq12d 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +o  ( w  .N  v ) )  =  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) )
1812, 17eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) )
19 mulpiord 7279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( w  .o  u ) )
2019ad2ant2l 505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( w  .o  u ) )
2118, 20opeq12d 3773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  <. ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u
) >.  =  <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. )
2221eceq1d 6549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
23 addpipqqs 7332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
24 addclpi 7289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )
258, 10, 24syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
26 mulclpi 7290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
2726ad2ant2l 505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
28 nqnq0pi 7400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  [ <. ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ,  ( w  .N  u )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ,  ( w  .N  u )
>. ]  ~Q  )
2925, 27, 28syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
3023, 29eqtr4d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  )
31 pinn 7271 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
3231anim1i 338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)
33 pinn 7271 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  N.  ->  v  e.  om )
3433anim1i 338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)
35 addnnnq0 7411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
3632, 34, 35syl2an 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
3722, 30, 363eqtr4d 2213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
386, 37sylan9eqr 2225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  +Q  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
39 nqnq0pi 7400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
4039adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
4140eqeq2d 2182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  <->  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
)
42 nqnq0pi 7400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
4342adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
4443eqeq2d 2182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  <->  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
)
4541, 44anbi12d 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  <->  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
4645pm5.32i 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  <->  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
47 oveq12 5862 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
4847adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)
4946, 48sylbir 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
5038, 49eqtr4d 2206 . . . . 5  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  +Q  B )  =  ( A +Q0  B ) )
5150an4s 583 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  +Q  B )  =  ( A +Q0  B ) )
5251exlimivv 1889 . . 3  |-  ( E. v E. u ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  +Q  B )  =  ( A +Q0  B ) )
5352exlimivv 1889 . 2  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  (
( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  -> 
( A  +Q  B
)  =  ( A +Q0  B
) )
545, 53syl 14 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( A +Q0  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   <.cop 3586   omcom 4574  (class class class)co 5853    +o coa 6392    .o comu 6393   [cec 6511   N.cnpi 7234    +N cpli 7235    .N cmi 7236    ~Q ceq 7241   Q.cnq 7242    +Q cplq 7244   ~Q0 ceq0 7248   +Q0 cplq0 7251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-plpq 7306  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-plq0 7389
This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7456  prarloclemcalc  7464
  Copyright terms: Public domain W3C validator