ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0a Unicode version

Theorem nqnq0a 7262
Description: Addition of positive fractions is equal with  +Q or +Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0a  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( A +Q0  B
) )

Proof of Theorem nqnq0a
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7186 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
2 nqpi 7186 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )
31, 2anim12i 336 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
4 ee4anv 1906 . . 3  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  (
( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  <->  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
53, 4sylibr 133 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
6 oveq12 5783 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  ->  ( A  +Q  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )
7 mulclpi 7136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  e.  N. )
87ad2ant2rl 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
9 mulclpi 7136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  e.  N. )
109ad2ant2lr 501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
11 addpiord 7124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  =  ( ( z  .N  u )  +o  ( w  .N  v ) ) )
128, 10, 11syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( z  .N  u )  +o  (
w  .N  v ) ) )
13 mulpiord 7125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  =  ( z  .o  u ) )
1413ad2ant2rl 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  =  ( z  .o  u ) )
15 mulpiord 7125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  =  ( w  .o  v ) )
1615ad2ant2lr 501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  =  ( w  .o  v ) )
1714, 16oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +o  ( w  .N  v ) )  =  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) )
1812, 17eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) )
19 mulpiord 7125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( w  .o  u ) )
2019ad2ant2l 499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( w  .o  u ) )
2118, 20opeq12d 3713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  <. ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u
) >.  =  <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. )
2221eceq1d 6465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
23 addpipqqs 7178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
24 addclpi 7135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )
258, 10, 24syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
26 mulclpi 7136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
2726ad2ant2l 499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
28 nqnq0pi 7246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  [ <. ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ,  ( w  .N  u )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ,  ( w  .N  u )
>. ]  ~Q  )
2925, 27, 28syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
3023, 29eqtr4d 2175 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ] ~Q0  )
31 pinn 7117 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
3231anim1i 338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)
33 pinn 7117 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  N.  ->  v  e.  om )
3433anim1i 338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)
35 addnnnq0 7257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
3632, 34, 35syl2an 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
3722, 30, 363eqtr4d 2182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
386, 37sylan9eqr 2194 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  +Q  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
39 nqnq0pi 7246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
4039adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
4140eqeq2d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  <->  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
)
42 nqnq0pi 7246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
4342adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
4443eqeq2d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  <->  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )
)
4541, 44anbi12d 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  <->  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
4645pm5.32i 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  <->  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) ) )
47 oveq12 5783 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
4847adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)
4946, 48sylbir 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
5038, 49eqtr4d 2175 . . . . 5  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  +Q  B )  =  ( A +Q0  B ) )
5150an4s 577 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  +Q  B )  =  ( A +Q0  B ) )
5251exlimivv 1868 . . 3  |-  ( E. v E. u ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  +Q  B )  =  ( A +Q0  B ) )
5352exlimivv 1868 . 2  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  /\  (
( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  B  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  ) )  -> 
( A  +Q  B
)  =  ( A +Q0  B
) )
545, 53syl 14 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( A +Q0  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   <.cop 3530   omcom 4504  (class class class)co 5774    +o coa 6310    .o comu 6311   [cec 6427   N.cnpi 7080    +N cpli 7081    .N cmi 7082    ~Q ceq 7087   Q.cnq 7088    +Q cplq 7090   ~Q0 ceq0 7094   +Q0 cplq0 7097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-plpq 7152  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-plq0 7235
This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7302  prarloclemcalc  7310
  Copyright terms: Public domain W3C validator