Theorem ntrtop 13789

Description: The interior of a topology's underlying set is the entire set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrtop	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ntrtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	topopn 13669	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
3		ssid 3177	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
4	1	isopn3 13786	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋))
5	3, 4	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋))
6	2, 5	mpbid 147	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3131  ∪ cuni 3811  ‘cfv 5218  Topctop 13658  intcnt 13754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-top 13659  df-ntr 13757

This theorem is referenced by:  dvidlemap  14321  dveflem  14348