ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ntrtop GIF version

Theorem ntrtop 13598
Description: The interior of a topology's underlying set is the entire set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntrtop (𝐽 ∈ Top β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = 𝑋)

Proof of Theorem ntrtop
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21topopn 13478 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
3 ssid 3175 . . 3 𝑋 βŠ† 𝑋
41isopn3 13595 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = 𝑋))
53, 4mpan2 425 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = 𝑋))
62, 5mpbid 147 1 (𝐽 ∈ Top β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3129  βˆͺ cuni 3809  β€˜cfv 5216  Topctop 13467  intcnt 13563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-top 13468  df-ntr 13566
This theorem is referenced by:  dvidlemap  14130  dveflem  14157
  Copyright terms: Public domain W3C validator