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Theorem dveflem 15231

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12034, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8066	. . 3
2		eqid 2205	. . . . 5
3	2	cntoptop 15038	. . . 4
4		unicntopcntop 15047	. . . . 5
5	4	ntrtop 14633	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2281	. 2
8		ax-1cn 8020	. . 3
9		1rp 9781	. . . . . 6
10		rpmincl 11582	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 425	. . . . 5 inf
12		breq1 4048	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2929	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8374	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 4055	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11525	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 9784	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 8089	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11579	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5578	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 5964	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 12008	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8340	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 8865	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 5968	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 8090	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8385	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11525	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11525	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 9820	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 8865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 8090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 8105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 9112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 9074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 8055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 8867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 8905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 8861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 8052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 12032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 9097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 8067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 12009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addlidd 8224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 12037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 12035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 5957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 8778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 12035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 8089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 9098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 5956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 5957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 10847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 8073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 9116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulridi 8076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 9135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 8951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 9015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 8103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 10818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulridd 8091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8198	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 10817	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4071	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 9817	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 9865	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8199	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4067	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2579	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4104	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 411	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2559	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2926	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 12008	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 8090	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8385	. . . . . . . 8 #
178		breq1 4048	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2929	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 8865	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5734	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8722	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 8067	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 15166	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1382	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 945	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 15037	. . . . 5 TopOn
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194		ef0 12016	. . . . . . . 8
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199		ssidd 3214	. . . 4
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204	7, 189, 203	mpbir2an 945	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1373

wtru 1374

wcel 2176

wral 2484

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wss 3166

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cnt 14598 lim

climc 15159

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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4160 ax-sep 4163 ax-nul 4171 ax-pow 4219 ax-pr 4254 ax-un 4481 ax-setind 4586 ax-iinf 4637 ax-cnex 8018 ax-resscn 8019 ax-1cn 8020 ax-1re 8021 ax-icn 8022 ax-addcl 8023 ax-addrcl 8024 ax-mulcl 8025 ax-mulrcl 8026 ax-addcom 8027 ax-mulcom 8028 ax-addass 8029 ax-mulass 8030 ax-distr 8031 ax-i2m1 8032 ax-0lt1 8033 ax-1rid 8034 ax-0id 8035 ax-rnegex 8036 ax-precex 8037 ax-cnre 8038 ax-pre-ltirr 8039 ax-pre-ltwlin 8040 ax-pre-lttrn 8041 ax-pre-apti 8042 ax-pre-ltadd 8043 ax-pre-mulgt0 8044 ax-pre-mulext 8045 ax-arch 8046 ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-br 4046 df-opab 4107 df-mpt 4108 df-tr 4144 df-id 4341 df-po 4344 df-iso 4345 df-iord 4414 df-on 4416 df-ilim 4417 df-suc 4419 df-iom 4640 df-xp 4682 df-rel 4683 df-cnv 4684 df-co 4685 df-dm 4686 df-rn 4687 df-res 4688 df-ima 4689 df-iota 5233 df-fun 5274 df-fn 5275 df-f 5276 df-f1 5277 df-fo 5278 df-f1o 5279 df-fv 5280 df-isom 5281 df-riota 5901 df-ov 5949 df-oprab 5950 df-mpo 5951 df-1st 6228 df-2nd 6229 df-recs 6393 df-irdg 6458 df-frec 6479 df-1o 6504 df-oadd 6508 df-er 6622 df-map 6739 df-pm 6740 df-en 6830 df-dom 6831 df-fin 6832 df-sup 7088 df-inf 7089 df-pnf 8111 df-mnf 8112 df-xr 8113 df-ltxr 8114 df-le 8115 df-sub 8247 df-neg 8248 df-reap 8650 df-ap 8657 df-div 8748 df-inn 9039 df-2 9097 df-3 9098 df-4 9099 df-n0 9298 df-z 9375 df-uz 9651 df-q 9743 df-rp 9778 df-xneg 9896 df-xadd 9897 df-ico 10018 df-fz 10133 df-fzo 10267 df-seqfrec 10595 df-exp 10686 df-fac 10873 df-ihash 10923 df-shft 11159 df-cj 11186 df-re 11187 df-im 11188 df-rsqrt 11342 df-abs 11343 df-clim 11623 df-sumdc 11698 df-ef 11992 df-rest 13106 df-topgen 13125 df-psmet 14338 df-xmet 14339 df-met 14340 df-bl 14341 df-mopn 14342 df-top 14503 df-topon 14516 df-bases 14548 df-ntr 14601 df-limced 15161 df-dvap 15162

This theorem is referenced by: dvef 15232

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