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Theorem dveflem 15876

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12473, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8318	. . 3
2		eqid 2238	. . . . 5
3	2	cntoptop 15683	. . . 4
4		unicntopcntop 15692	. . . . 5
5	4	ntrtop 15278	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2314	. 2
8		ax-1cn 8272	. . 3
9		1rp 10068	. . . . . 6
10		rpmincl 12019	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 429	. . . . 5 inf
12		breq1 4133	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2982	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 535	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8627	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11962	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 10071	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 8341	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 12016	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 12447	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8593	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 9122	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 6107	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 8342	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8638	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11962	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11962	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 10107	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 9122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 8342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 8356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 9380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 9342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 8307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 9124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 9162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 9118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 8304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 8319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 12145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addlidd 8477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 9035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 8341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 9366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 8325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulridi 8328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 9403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 9208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 9272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulridd 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8451	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 11121	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 10104	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 10152	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 512	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8452	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2623	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4190	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 415	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2603	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2979	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 12447	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 8342	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8638	. . . . . . . 8 #
178		breq1 4133	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2982	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 9122	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5860	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8977	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 8319	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 15811	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1411	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 955	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 15682	. . . . 5 TopOn
191	190	toponrestid 15171	. . . 4 ↾_t
192	173	subid1d 8627	. . . . . . 7 #
193	192	oveq2d 6101	. . . . . 6 #
194		ef0 12455	. . . . . . . 8
195	194	oveq2i 6096	. . . . . . 7
196	195	oveq1i 6095	. . . . . 6
197	193, 196	eqtr2di 2288	. . . . 5 #
198	197	mpteq2ia 4217	. . . 4 # #
199		ssidd 3269	. . . 4
200		eff 12446	. . . . 5
201	200	a1i 9	. . . 4
202	191, 2, 198, 199, 201, 199	eldvap 15832	. . 3 $/\$ # lim
203	202	mptru 1411	. 2 $/\$ # lim
204	7, 189, 203	mpbir2an 955	1

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1402

wtru 1403

wcel 2209

wral 2528

wrex 2529

crab 2532

wss 3220

cpr 3710 class class class wbr 4130

cmpt 4192

ccom 4778

wf 5373

cfv 5377 (class class class)co 6085 infcinf 7323

cc 8177

cr 8178

cc0 8179

c1 8180

caddc 8182

cmul 8184

clt 8360

cle 8361

cmin 8498 # cap 8911

cdiv 9004

cn 9306

c2 9357

c3 9358

c4 9359

cn0 9567

cuz 9930

crp 10064

cexp 10988

cfa 11177

cabs 11777

csu 12135

ce 12425

cmopn 14927

ctop 15147

cnt 15243 lim

climc 15804

cdv 15805

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-isom 5386 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-irdg 6641 df-frec 6662 df-1o 6687 df-oadd 6691 df-er 6807 df-map 6924 df-pm 6925 df-en 7023 df-dom 7024 df-fin 7025 df-sup 7324 df-inf 7325 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8500 df-neg 8501 df-reap 8905 df-ap 8912 df-div 9005 df-inn 9307 df-2 9365 df-3 9366 df-4 9367 df-n0 9568 df-z 9649 df-uz 9931 df-q 10029 df-rp 10065 df-xneg 10184 df-xadd 10185 df-ico 10306 df-fz 10422 df-fzo 10560 df-seqfrec 10898 df-exp 10989 df-fac 11178 df-ihash 11229 df-shft 11594 df-cj 11621 df-re 11622 df-im 11623 df-rsqrt 11778 df-abs 11779 df-clim 12061 df-sumdc 12136 df-ef 12431 df-rest 13644 df-topgen 13663 df-psmet 14929 df-xmet 14930 df-met 14931 df-bl 14932 df-mopn 14933 df-top 15148 df-topon 15161 df-bases 15193 df-ntr 15246 df-limced 15806 df-dvap 15807

This theorem is used by: dvef 15877

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