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Theorem dveflem 13446

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 11646, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7905	. . 3
2		eqid 2170	. . . . 5
3	2	cntoptop 13292	. . . 4
4		unicntopcntop 13295	. . . . 5
5	4	ntrtop 12887	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2246	. 2
8		ax-1cn 7860	. . 3
9		1rp 9607	. . . . . 6
10		rpmincl 11194	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 423	. . . . 5 inf
12		breq1 3990	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2886	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 526	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8212	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5498	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 3997	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11138	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 9610	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 7928	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11191	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 187	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5494	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 5866	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 5869	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 11620	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8178	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 8700	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5587	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 5873	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 7929	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8223	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11138	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 530	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11138	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 524	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 9646	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 8700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 7929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 7943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 8945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 8907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 7895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 8702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 8740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 8696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 7892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 11644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 8930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 7906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 11621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addid2d 8062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 11649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 5862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 8613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 7928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 11646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 8931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 5862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 7912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulid1i 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 8948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 8968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 8785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 8849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 7941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulid1d 7930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8036	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4013	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 9643	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 9691	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 505	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 526	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8037	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4009	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 114	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 149	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 285	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2543	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4046	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 409	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2523	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2883	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 11620	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 7929	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8223	. . . . . . . 8 #
178		breq1 3990	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2886	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 273	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 8700	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5646	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8559	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 7906	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 13389	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1357	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 937	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 13291	. . . . 5 TopOn
191	190	toponrestid 12778	. . . 4 ↾_t
192	173	subid1d 8212	. . . . . . 7 #
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194		ef0 11628	. . . . . . . 8
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198	197	mpteq2ia 4073	. . . 4 # #
199		ssidd 3168	. . . 4
200		eff 11619	. . . . 5
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203	202	mptru 1357	. 2 $/\$ # lim
204	7, 189, 203	mpbir2an 937	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104

wceq 1348

wtru 1349

wcel 2141

wral 2448

wrex 2449

crab 2452

wss 3121

cpr 3582 class class class wbr 3987

cmpt 4048

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wf 5192

cfv 5196 (class class class)co 5851 infcinf 6958

cc 7765

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cnt 12852 lim

climc 13382

cdv 13383

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4102 ax-sep 4105 ax-nul 4113 ax-pow 4158 ax-pr 4192 ax-un 4416 ax-setind 4519 ax-iinf 4570 ax-cnex 7858 ax-resscn 7859 ax-1cn 7860 ax-1re 7861 ax-icn 7862 ax-addcl 7863 ax-addrcl 7864 ax-mulcl 7865 ax-mulrcl 7866 ax-addcom 7867 ax-mulcom 7868 ax-addass 7869 ax-mulass 7870 ax-distr 7871 ax-i2m1 7872 ax-0lt1 7873 ax-1rid 7874 ax-0id 7875 ax-rnegex 7876 ax-precex 7877 ax-cnre 7878 ax-pre-ltirr 7879 ax-pre-ltwlin 7880 ax-pre-lttrn 7881 ax-pre-apti 7882 ax-pre-ltadd 7883 ax-pre-mulgt0 7884 ax-pre-mulext 7885 ax-arch 7886 ax-caucvg 7887

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 826 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3526 df-pw 3566 df-sn 3587 df-pr 3588 df-op 3590 df-uni 3795 df-int 3830 df-iun 3873 df-br 3988 df-opab 4049 df-mpt 4050 df-tr 4086 df-id 4276 df-po 4279 df-iso 4280 df-iord 4349 df-on 4351 df-ilim 4352 df-suc 4354 df-iom 4573 df-xp 4615 df-rel 4616 df-cnv 4617 df-co 4618 df-dm 4619 df-rn 4620 df-res 4621 df-ima 4622 df-iota 5158 df-fun 5198 df-fn 5199 df-f 5200 df-f1 5201 df-fo 5202 df-f1o 5203 df-fv 5204 df-isom 5205 df-riota 5807 df-ov 5854 df-oprab 5855 df-mpo 5856 df-1st 6117 df-2nd 6118 df-recs 6282 df-irdg 6347 df-frec 6368 df-1o 6393 df-oadd 6397 df-er 6511 df-map 6626 df-pm 6627 df-en 6717 df-dom 6718 df-fin 6719 df-sup 6959 df-inf 6960 df-pnf 7949 df-mnf 7950 df-xr 7951 df-ltxr 7952 df-le 7953 df-sub 8085 df-neg 8086 df-reap 8487 df-ap 8494 df-div 8583 df-inn 8872 df-2 8930 df-3 8931 df-4 8932 df-n0 9129 df-z 9206 df-uz 9481 df-q 9572 df-rp 9604 df-xneg 9722 df-xadd 9723 df-ico 9844 df-fz 9959 df-fzo 10092 df-seqfrec 10395 df-exp 10469 df-fac 10653 df-ihash 10703 df-shft 10772 df-cj 10799 df-re 10800 df-im 10801 df-rsqrt 10955 df-abs 10956 df-clim 11235 df-sumdc 11310 df-ef 11604 df-rest 12574 df-topgen 12593 df-psmet 12746 df-xmet 12747 df-met 12748 df-bl 12749 df-mopn 12750 df-top 12755 df-topon 12768 df-bases 12800 df-ntr 12855 df-limced 13384 df-dvap 13385

This theorem is referenced by: dvef 13447

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