dveflem - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dveflem		Unicode version

Theorem dveflem 13327

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 11631, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7891	. . 3
2		eqid 2165	. . . . 5
3	2	cntoptop 13173	. . . 4
4		unicntopcntop 13176	. . . . 5
5	4	ntrtop 12768	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2242	. 2
8		ax-1cn 7846	. . 3
9		1rp 9593	. . . . . 6
10		rpmincl 11179	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 422	. . . . 5 inf
12		breq1 3985	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2882	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 521	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8198	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 3992	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11123	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 9596	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 7914	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11176	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 187	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 11605	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8164	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 8686	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 5864	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 7915	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8209	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11123	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11123	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 519	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 9632	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 8686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 7929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 8931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 8893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 7881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 8688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 8726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 8682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 7878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 11629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 8916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 7892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addid2d 8048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 11632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 8599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 11632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 7914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 11631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 8917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 5854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 10615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 7898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 8935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulid1i 7901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 8934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 8954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 8771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 8835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 10586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulid1d 7916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8022	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 10585	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 9629	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 9677	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 500	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8023	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4004	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 114	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 149	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 285	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2539	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4041	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 409	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2519	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2879	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 11605	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 7915	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8209	. . . . . . . 8 #
178		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2882	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 273	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 8686	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5637	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8545	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 7892	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 13270	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1352	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 932	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 13172	. . . . 5 TopOn
191	190	toponrestid 12659	. . . 4 ↾_t
192	173	subid1d 8198	. . . . . . 7 #
193	192	oveq2d 5858	. . . . . 6 #
194		ef0 11613	. . . . . . . 8
195	194	oveq2i 5853	. . . . . . 7
196	195	oveq1i 5852	. . . . . 6
197	193, 196	eqtr2di 2216	. . . . 5 #
198	197	mpteq2ia 4068	. . . 4 # #
199		ssidd 3163	. . . 4
200		eff 11604	. . . . 5
201	200	a1i 9	. . . 4
202	191, 2, 198, 199, 201, 199	eldvap 13291	. . 3 $/\$ # lim
203	202	mptru 1352	. 2 $/\$ # lim
204	7, 189, 203	mpbir2an 932	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104

wceq 1343

wtru 1344

wcel 2136

wral 2444

wrex 2445

crab 2448

wss 3116

cpr 3577 class class class wbr 3982

cmpt 4043

ccom 4608

wf 5184

cfv 5188 (class class class)co 5842 infcinf 6948

cc 7751

cr 7752

cc0 7753

c1 7754

caddc 7756

cmul 7758

clt 7933

cle 7934

cmin 8069 # cap 8479

cdiv 8568

cn 8857

c2 8908

c3 8909

c4 8910

cn0 9114

cuz 9466

crp 9589

cexp 10454

cfa 10638

cabs 10939

csu 11294

ce 11583

cmopn 12625

ctop 12635

cnt 12733 lim

climc 13263

cdv 13264

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-isom 5197 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-irdg 6338 df-frec 6359 df-1o 6384 df-oadd 6388 df-er 6501 df-map 6616 df-pm 6617 df-en 6707 df-dom 6708 df-fin 6709 df-sup 6949 df-inf 6950 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-xneg 9708 df-xadd 9709 df-ico 9830 df-fz 9945 df-fzo 10078 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-fac 10639 df-ihash 10689 df-shft 10757 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941 df-clim 11220 df-sumdc 11295 df-ef 11589 df-rest 12558 df-topgen 12577 df-psmet 12627 df-xmet 12628 df-met 12629 df-bl 12630 df-mopn 12631 df-top 12636 df-topon 12649 df-bases 12681 df-ntr 12736 df-limced 13265 df-dvap 13266

This theorem is referenced by: dvef 13328

W3C validator