dveflem - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dveflem		Unicode version

Theorem dveflem 13481

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 11653, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7912	. . 3
2		eqid 2170	. . . . 5
3	2	cntoptop 13327	. . . 4
4		unicntopcntop 13330	. . . . 5
5	4	ntrtop 12922	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2246	. 2
8		ax-1cn 7867	. . 3
9		1rp 9614	. . . . . 6
10		rpmincl 11201	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 423	. . . . 5 inf
12		breq1 3992	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2886	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 526	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8219	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 3999	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11145	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 9617	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 7935	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11198	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 187	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 11627	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8185	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 8707	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 5875	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 7936	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11145	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 530	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11145	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 524	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 9653	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 8707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 7936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 7950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 10635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 8952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 8914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 7902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 8709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 8747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 8703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 7899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 11651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 8937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 7913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 11628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 11326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addid2d 8069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 8620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 7935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 11653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 8938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 10665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 10636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 8956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulid1i 7922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 8955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 8975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 8792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 8856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 10607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulid1d 7937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8043	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 10606	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 9650	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 9698	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 505	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 526	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8044	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4011	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 114	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 149	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 285	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2543	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4048	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 409	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2523	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2883	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 11627	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 7936	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8230	. . . . . . . 8 #
178		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2886	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 273	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 8707	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5648	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8566	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 7913	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 13424	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1357	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 937	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 13326	. . . . 5 TopOn
191	190	toponrestid 12813	. . . 4 ↾_t
192	173	subid1d 8219	. . . . . . 7 #
193	192	oveq2d 5869	. . . . . 6 #
194		ef0 11635	. . . . . . . 8
195	194	oveq2i 5864	. . . . . . 7
196	195	oveq1i 5863	. . . . . 6
197	193, 196	eqtr2di 2220	. . . . 5 #
198	197	mpteq2ia 4075	. . . 4 # #
199		ssidd 3168	. . . 4
200		eff 11626	. . . . 5
201	200	a1i 9	. . . 4
202	191, 2, 198, 199, 201, 199	eldvap 13445	. . 3 $/\$ # lim
203	202	mptru 1357	. 2 $/\$ # lim
204	7, 189, 203	mpbir2an 937	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104

wceq 1348

wtru 1349

wcel 2141

wral 2448

wrex 2449

crab 2452

wss 3121

cpr 3584 class class class wbr 3989

cmpt 4050

ccom 4615

wf 5194

cfv 5198 (class class class)co 5853 infcinf 6960

cc 7772

cr 7773

cc0 7774

c1 7775

caddc 7777

cmul 7779

clt 7954

cle 7955

cmin 8090 # cap 8500

cdiv 8589

cn 8878

c2 8929

c3 8930

c4 8931

cn0 9135

cuz 9487

crp 9610

cexp 10475

cfa 10659

cabs 10961

csu 11316

ce 11605

cmopn 12779

ctop 12789

cnt 12887 lim

climc 13417

cdv 13418

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 826 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-isom 5207 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-irdg 6349 df-frec 6370 df-1o 6395 df-oadd 6399 df-er 6513 df-map 6628 df-pm 6629 df-en 6719 df-dom 6720 df-fin 6721 df-sup 6961 df-inf 6962 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-xneg 9729 df-xadd 9730 df-ico 9851 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-fac 10660 df-ihash 10710 df-shft 10779 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-clim 11242 df-sumdc 11317 df-ef 11611 df-rest 12581 df-topgen 12600 df-psmet 12781 df-xmet 12782 df-met 12783 df-bl 12784 df-mopn 12785 df-top 12790 df-topon 12803 df-bases 12835 df-ntr 12890 df-limced 13419 df-dvap 13420

This theorem is referenced by: dvef 13482

W3C validator