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Theorem dveflem 15416

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12217, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8149	. . 3
2		eqid 2229	. . . . 5
3	2	cntoptop 15223	. . . 4
4		unicntopcntop 15232	. . . . 5
5	4	ntrtop 14818	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2305	. 2
8		ax-1cn 8103	. . 3
9		1rp 9865	. . . . . 6
10		rpmincl 11765	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 425	. . . . 5 inf
12		breq1 4086	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2959	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8457	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5633	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 4093	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11708	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 9868	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 8172	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 12191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8423	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 8948	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5730	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 6029	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 8173	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8468	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11708	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11708	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 9904	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 8948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 8173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 8188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 9157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 8138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 8950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 8988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 8944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 8135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 9180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 8150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 12192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 11890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addlidd 8307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 6018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 8861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 8172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 9181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 6019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 6018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 8156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 9199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulridi 8159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 9218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 9034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 9098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 8186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 10905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulridd 8174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 10904	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 9901	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 9949	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2603	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4143	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 411	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2583	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2956	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 12191	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 8173	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8468	. . . . . . . 8 #
178		breq1 4086	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2959	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 8948	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5789	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8805	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 8150	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 15351	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1404	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 948	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 15222	. . . . 5 TopOn
191	190	toponrestid 14711	. . . 4 ↾_t
192	173	subid1d 8457	. . . . . . 7 #
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194		ef0 12199	. . . . . . . 8
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198	197	mpteq2ia 4170	. . . 4 # #
199		ssidd 3245	. . . 4
200		eff 12190	. . . . 5
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203	202	mptru 1404	. 2 $/\$ # lim
204	7, 189, 203	mpbir2an 948	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1395

wtru 1396

wcel 2200

wral 2508

wrex 2509

crab 2512

wss 3197

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cfv 5318 (class class class)co 6007 infcinf 7161

cc 8008

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cnt 14783 lim

climc 15344

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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128 ax-arch 8129 ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-irdg 6522 df-frec 6543 df-1o 6568 df-oadd 6572 df-er 6688 df-map 6805 df-pm 6806 df-en 6896 df-dom 6897 df-fin 6898 df-sup 7162 df-inf 7163 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-inn 9122 df-2 9180 df-3 9181 df-4 9182 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-q 9827 df-rp 9862 df-xneg 9980 df-xadd 9981 df-ico 10102 df-fz 10217 df-fzo 10351 df-seqfrec 10682 df-exp 10773 df-fac 10960 df-ihash 11010 df-shft 11342 df-cj 11369 df-re 11370 df-im 11371 df-rsqrt 11525 df-abs 11526 df-clim 11806 df-sumdc 11881 df-ef 12175 df-rest 13290 df-topgen 13309 df-psmet 14523 df-xmet 14524 df-met 14525 df-bl 14526 df-mopn 14527 df-top 14688 df-topon 14701 df-bases 14733 df-ntr 14786 df-limced 15346 df-dvap 15347

This theorem is referenced by: dvef 15417

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