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Theorem dveflem 12895

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 11433, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7782	. . 3
2		eqid 2140	. . . . 5
3	2	cntoptop 12741	. . . 4
4		unicntopcntop 12744	. . . . 5
5	4	ntrtop 12336	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2216	. 2
8		ax-1cn 7737	. . 3
9		1rp 9474	. . . . . 6
10		rpmincl 11041	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 422	. . . . 5 inf
12		breq1 3940	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2844	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 521	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8086	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5433	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 3947	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 10985	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 9477	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 7805	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11038	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1217	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 187	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2140	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 11407	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8052	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 8574	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5522	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 5804	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 7806	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8097	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 10985	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 10985	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 519	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 9513	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 10855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 7985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 8574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 7806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 10985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 7820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 10481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 8818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 8907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 8780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 7772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 8576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 8614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 8570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 7769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 11431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 8803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 7783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addid2d 7936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 11436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 11434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 8487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 11434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 8905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 7805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 7905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 11433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 8804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 10509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 8898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 5794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 3978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 7789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 8916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 8822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulid1i 7792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 8821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 8841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 8658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 7890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 8722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 10453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulid1d 7807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 3962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 7910	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 10452	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 3962	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 10903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 9510	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 9558	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 500	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 7911	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 3958	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 114	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 149	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 285	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2508	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 3995	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 409	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2488	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2841	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 11407	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 7806	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8097	. . . . . . . 8 #
178		breq1 3940	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2844	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 273	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 8574	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5580	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8433	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 7783	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 12838	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1341	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 927	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 12740	. . . . 5 TopOn
191	190	toponrestid 12227	. . . 4 ↾_t
192	173	subid1d 8086	. . . . . . 7 #
193	192	oveq2d 5798	. . . . . 6 #
194		ef0 11415	. . . . . . . 8
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198	197	mpteq2ia 4022	. . . 4 # #
199		ssidd 3123	. . . 4
200		eff 11406	. . . . 5
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203	202	mptru 1341	. 2 $/\$ # lim
204	7, 189, 203	mpbir2an 927	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104

wceq 1332

wtru 1333

wcel 1481

wral 2417

wrex 2418

crab 2421

wss 3076

cpr 3533 class class class wbr 3937

cmpt 3997

ccom 4551

wf 5127

cfv 5131 (class class class)co 5782 infcinf 6878

cc 7642

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cmopn 12193

ctop 12203

cnt 12301 lim

climc 12831

cdv 12832

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-frec 6296 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-er 6437 df-map 6552 df-pm 6553 df-en 6643 df-dom 6644 df-fin 6645 df-sup 6879 df-inf 6880 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-xneg 9589 df-xadd 9590 df-ico 9707 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-fac 10504 df-ihash 10554 df-shft 10619 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 df-sumdc 11155 df-ef 11391 df-rest 12161 df-topgen 12180 df-psmet 12195 df-xmet 12196 df-met 12197 df-bl 12198 df-mopn 12199 df-top 12204 df-topon 12217 df-bases 12249 df-ntr 12304 df-limced 12833 df-dvap 12834

This theorem is referenced by: dvef 12896

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