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Theorem dveflem 15449

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12250, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8170	. . 3
2		eqid 2231	. . . . 5
3	2	cntoptop 15256	. . . 4
4		unicntopcntop 15265	. . . . 5
5	4	ntrtop 14851	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2307	. 2
8		ax-1cn 8124	. . 3
9		1rp 9891	. . . . . 6
10		rpmincl 11798	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 425	. . . . 5 inf
12		breq1 4091	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2962	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8478	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11741	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 9894	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 8193	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11795	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 12224	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8444	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 8969	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 6039	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 8194	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 9930	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 8969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 8194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 8209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 10960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 9216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 9178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 8159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 8971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 9009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 8965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 8156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 9201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 8171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addlidd 8328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 8882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 8193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 9202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 6027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 10961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 8177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 9220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulridi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 9219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 9239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 9055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 9119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 10932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulridd 8195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8302	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 10931	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 9927	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 9975	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8303	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2605	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4148	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 411	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2585	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2959	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 12224	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 8194	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8489	. . . . . . . 8 #
178		breq1 4091	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2962	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 8969	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5799	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8826	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 8171	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 15384	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1406	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 950	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 15255	. . . . 5 TopOn
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199		ssidd 3248	. . . 4
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204	7, 189, 203	mpbir2an 950	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1397

wtru 1398

wcel 2202

wral 2510

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wss 3200

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cc 8029

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cnt 14816 lim

climc 15377

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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150 ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-irdg 6535 df-frec 6556 df-1o 6581 df-oadd 6585 df-er 6701 df-map 6818 df-pm 6819 df-en 6909 df-dom 6910 df-fin 6911 df-sup 7182 df-inf 7183 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-4 9203 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-q 9853 df-rp 9888 df-xneg 10006 df-xadd 10007 df-ico 10128 df-fz 10243 df-fzo 10377 df-seqfrec 10709 df-exp 10800 df-fac 10987 df-ihash 11037 df-shft 11375 df-cj 11402 df-re 11403 df-im 11404 df-rsqrt 11558 df-abs 11559 df-clim 11839 df-sumdc 11914 df-ef 12208 df-rest 13323 df-topgen 13342 df-psmet 14556 df-xmet 14557 df-met 14558 df-bl 14559 df-mopn 14560 df-top 14721 df-topon 14734 df-bases 14766 df-ntr 14819 df-limced 15379 df-dvap 15380

This theorem is referenced by: dvef 15450

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