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Theorem dveflem 14962

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 11855, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8018	. . 3
2		eqid 2196	. . . . 5
3	2	cntoptop 14769	. . . 4
4		unicntopcntop 14778	. . . . 5
5	4	ntrtop 14364	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2272	. 2
8		ax-1cn 7972	. . 3
9		1rp 9732	. . . . . 6
10		rpmincl 11403	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 425	. . . . 5 inf
12		breq1 4036	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2920	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 4043	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11346	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 9735	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 8041	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11400	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 11829	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8292	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 8817	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5655	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 5944	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 8042	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8337	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11346	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11346	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 9771	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 8817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 8042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 8057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 10791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 9064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 9026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 8857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 8813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 8004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 11853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 9049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 8019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 11830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 11528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addlidd 8176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 11858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 10821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 8730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 8041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 11855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 9068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulridi 8028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 9067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 9087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 8903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 8967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 10763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulridd 8043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8150	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 10762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 9768	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 9816	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8151	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4055	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2570	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4092	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 411	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2550	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2917	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 11829	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 8042	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8337	. . . . . . . 8 #
178		breq1 4036	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2920	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 8817	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5714	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8674	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 8019	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 14897	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1373	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 944	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 14768	. . . . 5 TopOn
191	190	toponrestid 14257	. . . 4 ↾_t
192	173	subid1d 8326	. . . . . . 7 #
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194		ef0 11837	. . . . . . . 8
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199		ssidd 3204	. . . 4
200		eff 11828	. . . . 5
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203	202	mptru 1373	. 2 $/\$ # lim
204	7, 189, 203	mpbir2an 944	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1364

wtru 1365

wcel 2167

wral 2475

wrex 2476

crab 2479

wss 3157

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cfv 5258 (class class class)co 5922 infcinf 7049

cc 7877

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cnt 14329 lim

climc 14890

cdv 14891

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-oadd 6478 df-er 6592 df-map 6709 df-pm 6710 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-inf 7051 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-xneg 9847 df-xadd 9848 df-ico 9969 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-fac 10818 df-ihash 10868 df-shft 10980 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-clim 11444 df-sumdc 11519 df-ef 11813 df-rest 12912 df-topgen 12931 df-psmet 14099 df-xmet 14100 df-met 14101 df-bl 14102 df-mopn 14103 df-top 14234 df-topon 14247 df-bases 14279 df-ntr 14332 df-limced 14892 df-dvap 14893

This theorem is referenced by: dvef 14963

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