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Theorem dveflem 15952

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12482, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8324	. . 3
2		eqid 2238	. . . . 5
3	2	cntoptop 15759	. . . 4
4		unicntopcntop 15768	. . . . 5
5	4	ntrtop 15354	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2314	. 2
8		ax-1cn 8278	. . 3
9		1rp 10075	. . . . . 6
10		rpmincl 12028	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 429	. . . . 5 inf
12		breq1 4134	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2982	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 535	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8633	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5702	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 4141	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11970	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 10078	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 8347	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 12025	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 6106	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 12456	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8599	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 9128	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5802	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 6110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 8348	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8644	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11970	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11970	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 10114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 9128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 8348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 8362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 9387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 8313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 9130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 9168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 9124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 12480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 8325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 12457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addlidd 8483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 11189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 9041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 9373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 6100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 8331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulridi 8334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 9390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 9278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 8360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulridd 8349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 11129	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4157	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 10111	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 10159	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 512	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8458	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4153	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2623	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4191	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 415	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2603	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2979	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 12456	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 8348	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8644	. . . . . . . 8 #
178		breq1 4134	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2982	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 9128	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5863	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8983	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 8325	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 15887	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1411	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 955	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 15758	. . . . 5 TopOn
191	190	toponrestid 15247	. . . 4 ↾_t
192	173	subid1d 8633	. . . . . . 7 #
193	192	oveq2d 6104	. . . . . 6 #
194		ef0 12464	. . . . . . . 8
195	194	oveq2i 6099	. . . . . . 7
196	195	oveq1i 6098	. . . . . 6
197	193, 196	eqtr2di 2288	. . . . 5 #
198	197	mpteq2ia 4219	. . . 4 # #
199		ssidd 3269	. . . 4
200		eff 12455	. . . . 5
201	200	a1i 9	. . . 4
202	191, 2, 198, 199, 201, 199	eldvap 15908	. . 3 $/\$ # lim
203	202	mptru 1411	. 2 $/\$ # lim
204	7, 189, 203	mpbir2an 955	1

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1402

wtru 1403

wcel 2209

wral 2528

wrex 2529

crab 2532

wss 3220

cpr 3710 class class class wbr 4131

cmpt 4193

ccom 4780

wf 5376

cfv 5380 (class class class)co 6088 infcinf 7329

cc 8183

cr 8184

cc0 8185

c1 8186

caddc 8188

cmul 8190

clt 8366

cle 8367

cmin 8504 # cap 8917

cdiv 9010

cn 9313

c2 9364

c3 9365

c4 9366

cn0 9574

cuz 9937

crp 10071

cexp 10996

cfa 11185

cabs 11785

csu 12144

ce 12434

cmopn 14987

ctop 15223

cnt 15319 lim

climc 15880

cdv 15881

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8276 ax-resscn 8277 ax-1cn 8278 ax-1re 8279 ax-icn 8280 ax-addcl 8281 ax-addrcl 8282 ax-mulcl 8283 ax-mulrcl 8284 ax-addcom 8285 ax-mulcom 8286 ax-addass 8287 ax-mulass 8288 ax-distr 8289 ax-i2m1 8290 ax-0lt1 8291 ax-1rid 8292 ax-0id 8293 ax-rnegex 8294 ax-precex 8295 ax-cnre 8296 ax-pre-ltirr 8297 ax-pre-ltwlin 8298 ax-pre-lttrn 8299 ax-pre-apti 8300 ax-pre-ltadd 8301 ax-pre-mulgt0 8302 ax-pre-mulext 8303 ax-arch 8304 ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-isom 5389 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-irdg 6645 df-frec 6666 df-1o 6691 df-oadd 6695 df-er 6811 df-map 6928 df-pm 6929 df-en 7027 df-dom 7028 df-fin 7029 df-sup 7330 df-inf 7331 df-pnf 8368 df-mnf 8369 df-xr 8370 df-ltxr 8371 df-le 8372 df-sub 8506 df-neg 8507 df-reap 8911 df-ap 8918 df-div 9011 df-inn 9314 df-2 9372 df-3 9373 df-4 9374 df-n0 9575 df-z 9656 df-uz 9938 df-q 10036 df-rp 10072 df-xneg 10191 df-xadd 10192 df-ico 10313 df-fz 10429 df-fzo 10567 df-seqfrec 10906 df-exp 10997 df-fac 11186 df-ihash 11237 df-shft 11602 df-cj 11629 df-re 11630 df-im 11631 df-rsqrt 11786 df-abs 11787 df-clim 12070 df-sumdc 12145 df-ef 12440 df-rest 13654 df-topgen 13673 df-psmet 14989 df-xmet 14990 df-met 14991 df-bl 14992 df-mopn 14993 df-top 15224 df-topon 15237 df-bases 15269 df-ntr 15322 df-limced 15882 df-dvap 15883

This theorem is used by: dvef 15953

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