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Theorem dveflem 15537

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12331, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8231	. . 3
2		eqid 2231	. . . . 5
3	2	cntoptop 15344	. . . 4
4		unicntopcntop 15353	. . . . 5
5	4	ntrtop 14939	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2307	. 2
8		ax-1cn 8185	. . 3
9		1rp 9953	. . . . . 6
10		rpmincl 11878	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 425	. . . . 5 inf
12		breq1 4096	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2963	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8538	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 4103	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11821	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 9956	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 8254	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11875	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 12305	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8504	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 9029	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5749	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 6050	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 8255	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8549	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11821	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11821	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 9992	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 9029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 8255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 8269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 11024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 9276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 9238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 8220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 9031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 9069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 9025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 8217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 8232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 12306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 12003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addlidd 8388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 11054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 8942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 8254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 12331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 9262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 6040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 11025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 8238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulridi 8241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 9279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 9299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 9179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulridd 8256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8362	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 10995	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 9989	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 10037	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8363	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4115	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2606	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4153	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 411	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2586	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2960	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 12305	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 8255	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8549	. . . . . . . 8 #
178		breq1 4096	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2963	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 9029	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5807	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8886	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 8232	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 15472	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1407	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 951	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 15343	. . . . 5 TopOn
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199		ssidd 3249	. . . 4
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204	7, 189, 203	mpbir2an 951	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1398

wtru 1399

wcel 2202

wral 2511

wrex 2512

crab 2515

wss 3201

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cc 8090

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cnt 14904 lim

climc 15465

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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210 ax-arch 8211 ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-isom 5342 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-irdg 6579 df-frec 6600 df-1o 6625 df-oadd 6629 df-er 6745 df-map 6862 df-pm 6863 df-en 6953 df-dom 6954 df-fin 6955 df-sup 7243 df-inf 7244 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-2 9261 df-3 9262 df-4 9263 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-q 9915 df-rp 9950 df-xneg 10068 df-xadd 10069 df-ico 10190 df-fz 10306 df-fzo 10440 df-seqfrec 10773 df-exp 10864 df-fac 11051 df-ihash 11101 df-shft 11455 df-cj 11482 df-re 11483 df-im 11484 df-rsqrt 11638 df-abs 11639 df-clim 11919 df-sumdc 11994 df-ef 12289 df-rest 13404 df-topgen 13423 df-psmet 14639 df-xmet 14640 df-met 14641 df-bl 14642 df-mopn 14643 df-top 14809 df-topon 14822 df-bases 14854 df-ntr 14907 df-limced 15467 df-dvap 15468

This theorem is referenced by: dvef 15538

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