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Theorem dveflem 14226

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 11700, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7951	. . 3
2		eqid 2177	. . . . 5
3	2	cntoptop 14072	. . . 4
4		unicntopcntop 14075	. . . . 5
5	4	ntrtop 13667	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2253	. 2
8		ax-1cn 7906	. . 3
9		1rp 9659	. . . . . 6
10		rpmincl 11248	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 425	. . . . 5 inf
12		breq1 4008	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2895	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8259	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5521	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 4015	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11192	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 9662	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 7974	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11245	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 11674	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8225	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 8749	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5611	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 5899	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 7975	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11192	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11192	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 9698	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 8749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 7975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 7990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 8957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 7941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 8751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 8789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 8745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 7938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 8980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 7952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 11675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addid2d 8109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 10711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 8662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 7974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 8981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 10713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 10683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 7958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 8999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulid1i 7961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 8998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 9018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 8835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 8899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 7988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 10654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulridd 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8083	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 10653	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4031	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 9695	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 9743	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8084	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4027	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2550	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4064	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 411	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2530	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2892	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 11674	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 7975	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8270	. . . . . . . 8 #
178		breq1 4008	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2895	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 8749	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5670	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8606	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 7952	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 14169	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1362	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 942	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 14071	. . . . 5 TopOn
191	190	toponrestid 13560	. . . 4 ↾_t
192	173	subid1d 8259	. . . . . . 7 #
193	192	oveq2d 5893	. . . . . 6 #
194		ef0 11682	. . . . . . . 8
195	194	oveq2i 5888	. . . . . . 7
196	195	oveq1i 5887	. . . . . 6
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198	197	mpteq2ia 4091	. . . 4 # #
199		ssidd 3178	. . . 4
200		eff 11673	. . . . 5
201	200	a1i 9	. . . 4
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203	202	mptru 1362	. 2 $/\$ # lim
204	7, 189, 203	mpbir2an 942	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1353

wtru 1354

wcel 2148

wral 2455

wrex 2456

crab 2459

wss 3131

cpr 3595 class class class wbr 4005

cmpt 4066

ccom 4632

wf 5214

cfv 5218 (class class class)co 5877 infcinf 6984

cc 7811

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cdiv 8631

cn 8921

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cexp 10521

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csu 11363

ce 11652

cmopn 13484

ctop 13536

cnt 13632 lim

climc 14162

cdv 14163

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-irdg 6373 df-frec 6394 df-1o 6419 df-oadd 6423 df-er 6537 df-map 6652 df-pm 6653 df-en 6743 df-dom 6744 df-fin 6745 df-sup 6985 df-inf 6986 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-xneg 9774 df-xadd 9775 df-ico 9896 df-fz 10011 df-fzo 10145 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-fac 10708 df-ihash 10758 df-shft 10826 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-clim 11289 df-sumdc 11364 df-ef 11658 df-rest 12695 df-topgen 12714 df-psmet 13486 df-xmet 13487 df-met 13488 df-bl 13489 df-mopn 13490 df-top 13537 df-topon 13550 df-bases 13582 df-ntr 13635 df-limced 14164 df-dvap 14165

This theorem is referenced by: dvef 14227

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