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Theorem dveflem 15750

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12435, to show that

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem

Proof of Theorem dveflem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8308	. . 3
2		eqid 2238	. . . . 5
3	2	cntoptop 15557	. . . 4
4		unicntopcntop 15566	. . . . 5
5	4	ntrtop 15152	. . . 4
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3
7	1, 6	eleqtrri 2314	. 2
8		ax-1cn 8262	. . 3
9		1rp 10037	. . . . . 6
10		rpmincl 11982	. . . . . 6 $/\$ inf
11	9, 10	mpan2 429	. . . . 5 inf
12		breq1 4128	. . . . . . . 8 # #
13	12	elrab 2982	. . . . . . 7 # $/\$ #
14		simprl 535	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
15	14	subid1d 8616	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
16	15	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
17	16	breq1d 4135	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf inf
18	14	abscld 11925	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
19		rpre 10040	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
21		1red 8331	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22		ltmininf 11979	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ inf $/\$
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # inf $/\$
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # inf $/\$
25		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 # #
26		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . 14
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . . 13
30		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ $/\$ #
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
32		efcl 12409	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2cnm 8582	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
35		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # #
36	34, 14, 35	divclapd 9110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5793	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
39	38	fvoveq1d 6097	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
40		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
41	37, 40	subcld 8627	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
42	41	abscld 11925	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
43		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
44	43	abscld 11925	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
45		simpll 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
46	45	rpred 10076	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
47		abscl 11795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
49	32	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
50		subcl 8515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	49, 8, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
52		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
53		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ #
54	51, 52, 53	divclapd 9110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
55		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
56	54, 55	subcld 8627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
57	56	abscld 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
58	48, 57	remulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
59	48	resqcld 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
60		3re 9357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		4nn 9447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		nndivre 9319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
63	60, 61, 62	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		remulcl 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	59, 63, 64	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
66	51, 52	subcld 8627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
67	66, 52, 53	divcanap2d 9112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 9150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
69	52, 53	dividapd 9106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
70	69	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
71	68, 70	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
72	71	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
73	49, 55, 52	subsub4d 8658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
74		addcl 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
75	8, 52, 74	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
76		2nn0 9559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	eftlcl 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
79	52, 76, 78	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
80		df-2 9342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81		1nn0 9558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82		1e0p1 9797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
83		0nn0 9557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84		0cnd 8309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
85	77	efval2 12410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
86	85	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
87		nn0uz 9936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	87	sumeq1i 12107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	86, 88	eqtr2di 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
90	89	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
91	49	addlidd 8466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
92	90, 91	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
93		eft0val 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
94	93	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
95	94	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
96	95, 82	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
98		exp1 10960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99	98	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ # $/\$
100	99	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ # $/\$
101		fac1 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103	100, 102	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
104		div1 9023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	104	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ # $/\$
106	103, 105	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ # $/\$
107	106	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ # $/\$
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$
109	75, 79, 108	mvrladdd 8683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ # $/\$
110	73, 109	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
112	111	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
113	52, 56	absmuld 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
114	112, 113	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
115		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		2nn 9445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
119		1red 8331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$
121	48, 119, 120	ltled 8435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
123	114, 122	eqbrtrrd 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
124		df-3 9343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125		fac2 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq1i 6085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		2t2e4 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	126, 127	eqtr2i 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	124, 128	oveq12i 6087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	123, 130	breqtrrdi 4167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
133	48	sqge0d 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
134		1re 8315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135		3lt4 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136		4cn 9361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	136	mulridi 8318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	135, 137	breqtrri 4152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139		4re 9360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		4pos 9380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142		ltdivmul 9196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	63, 134, 144	ltleii 8418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 9260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
148	48	recnd 8344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$
149	148	sqcld 11087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$
150	149	mulridd 8333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$
151	147, 150	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8440	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
153	148	sqvald 11086	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
154	152, 153	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
155		absgt0ap 11843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
156	155	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ #
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$
158	48, 157	elrpd 10073	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$
159	57, 48, 158	lemul2d 10121	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$
161	160	ad2ant2l 512	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
162		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8441	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$
164	39, 163	eqbrtrd 4147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $/\$ #
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # inf #
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # # $/\$ inf #
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 $/\$ # # $/\$ inf #
169	168	ralrimiva 2623	. . . . 5 # # $/\$ inf #
170		brimralrspcev 4185	. . . . 5 inf $/\$ # # $/\$ inf # # # $/\$ #
171	11, 169, 170	syl2anc 415	. . . 4 # # $/\$ #
172	171	rgen 2603	. . 3 # # $/\$ #
173		elrabi 2979	. . . . . . . . . 10 #
174		efcl 12409	. . . . . . . . . 10
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 #
176		1cnd 8332	. . . . . . . . 9 #
177	175, 176	subcld 8627	. . . . . . . 8 #
178		breq1 4128	. . . . . . . . . 10 # #
179	178	elrab 2982	. . . . . . . . 9 # $/\$ #
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 # #
181	177, 173, 180	divclapd 9110	. . . . . . 7 #
182	25, 181	fmpti 5851	. . . . . 6 # #
183	182	a1i 9	. . . . 5 # #
184		apsscn 8965	. . . . . 6 #
185	184	a1i 9	. . . . 5 #
186		0cnd 8309	. . . . 5
187	183, 185, 186	ellimc3ap 15685	. . . 4 # lim $/\$ # # $/\$ #
188	187	mptru 1411	. . 3 # lim $/\$ # # $/\$ #
189	8, 172, 188	mpbir2an 955	. 2 # lim
190	2	cntoptopon 15556	. . . . 5 TopOn
191	190	toponrestid 15045	. . . 4 ↾_t
192	173	subid1d 8616	. . . . . . 7 #
193	192	oveq2d 6091	. . . . . 6 #
194		ef0 12417	. . . . . . . 8
195	194	oveq2i 6086	. . . . . . 7
196	195	oveq1i 6085	. . . . . 6
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198	197	mpteq2ia 4212	. . . 4 # #
199		ssidd 3269	. . . 4
200		eff 12408	. . . . 5
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203	202	mptru 1411	. 2 $/\$ # lim
204	7, 189, 203	mpbir2an 955	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1402

wtru 1403

wcel 2209

wral 2528

wrex 2529

crab 2532

wss 3220

cpr 3706 class class class wbr 4125

cmpt 4187

ccom 4773

wf 5368

cfv 5372 (class class class)co 6075 infcinf 7313

cc 8167

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c1 8170

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cuz 9900

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cexp 10953

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csu 12097

ce 12387

cmopn 14850

ctop 15021

cnt 15117 lim

climc 15678

cdv 15679

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287 ax-arch 8288 ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-isom 5381 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-irdg 6631 df-frec 6652 df-1o 6677 df-oadd 6681 df-er 6797 df-map 6914 df-pm 6915 df-en 7013 df-dom 7014 df-fin 7015 df-sup 7314 df-inf 7315 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-2 9342 df-3 9343 df-4 9344 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-q 9999 df-rp 10034 df-xneg 10153 df-xadd 10154 df-ico 10275 df-fz 10391 df-fzo 10528 df-seqfrec 10863 df-exp 10954 df-fac 11142 df-ihash 11193 df-shft 11558 df-cj 11585 df-re 11586 df-im 11587 df-rsqrt 11742 df-abs 11743 df-clim 12023 df-sumdc 12098 df-ef 12393 df-rest 13572 df-topgen 13591 df-psmet 14852 df-xmet 14853 df-met 14854 df-bl 14855 df-mopn 14856 df-top 15022 df-topon 15035 df-bases 15067 df-ntr 15120 df-limced 15680 df-dvap 15681

This theorem is referenced by: dvef 15751

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