Theorem ovid 5973

Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovid.1	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph )
ovid.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
ovid	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( x F y ) = z <-> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5860	. . 3 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
2	1	eqeq1i 2179	. 2 |- ( ( x F y ) = z <-> ( F ` <. x , y >. ) = z )
3		ovid.1	. . . . . 6 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph )
4	3	fnoprab 5960	. . . . 5 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) }
5		ovid.2	. . . . . 6 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
6	5	fneq1i 5294	. . . . 5 |- ( F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
7	4, 6	mpbir 145	. . . 4 |- F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) }
8		opabid 4243	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> ( x e. R /\ y e. S ) )
9	8	biimpri 132	. . . 4 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
10		fnopfvb 5541	. . . 4 |- ( ( F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } /\ <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> <. <. x , y >. , z >. e. F ) )
11	7, 9, 10	sylancr 412	. . 3 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> <. <. x , y >. , z >. e. F ) )
12	5	eleq2i 2238	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } )
13		oprabid 5889	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) )
14	12, 13	bitri 183	. . . 4 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) )
15	14	baib 915	. . 3 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> ph ) )
16	11, 15	bitrd 187	. 2 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> ph ) )
17	2, 16	bitrid 191	1 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( x F y ) = z <-> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1349   E!weu 2020   e. wcel 2142   <.cop 3587   {copab 4050   Fn wfn 5195   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   {coprab 5858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-setind 4522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-v 2733  df-sbc 2957  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-br 3991  df-opab 4052  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-fv 5208  df-ov 5860  df-oprab 5861

This theorem is referenced by: (None)