Theorem ovid 5993

Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovid.1	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph )
ovid.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
ovid	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( x F y ) = z <-> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5880	. . 3 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
2	1	eqeq1i 2185	. 2 |- ( ( x F y ) = z <-> ( F ` <. x , y >. ) = z )
3		ovid.1	. . . . . 6 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph )
4	3	fnoprab 5980	. . . . 5 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) }
5		ovid.2	. . . . . 6 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
6	5	fneq1i 5312	. . . . 5 |- ( F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
7	4, 6	mpbir 146	. . . 4 |- F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) }
8		opabid 4259	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> ( x e. R /\ y e. S ) )
9	8	biimpri 133	. . . 4 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
10		fnopfvb 5559	. . . 4 |- ( ( F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } /\ <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> <. <. x , y >. , z >. e. F ) )
11	7, 9, 10	sylancr 414	. . 3 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> <. <. x , y >. , z >. e. F ) )
12	5	eleq2i 2244	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } )
13		oprabid 5909	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) )
14	12, 13	bitri 184	. . . 4 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) )
15	14	baib 919	. . 3 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> ph ) )
16	11, 15	bitrd 188	. 2 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> ph ) )
17	2, 16	bitrid 192	1 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( x F y ) = z <-> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E!weu 2026   e. wcel 2148   <.cop 3597   {copab 4065   Fn wfn 5213   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   {coprab 5878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881

This theorem is referenced by: (None)