Theorem ovid 6064

Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovid.1	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph )
ovid.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
ovid	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( x F y ) = z <-> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5949	. . 3 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
2	1	eqeq1i 2213	. 2 |- ( ( x F y ) = z <-> ( F ` <. x , y >. ) = z )
3		ovid.1	. . . . . 6 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph )
4	3	fnoprab 6050	. . . . 5 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) }
5		ovid.2	. . . . . 6 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
6	5	fneq1i 5369	. . . . 5 |- ( F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
7	4, 6	mpbir 146	. . . 4 |- F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) }
8		opabid 4303	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> ( x e. R /\ y e. S ) )
9	8	biimpri 133	. . . 4 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
10		fnopfvb 5622	. . . 4 |- ( ( F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } /\ <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> <. <. x , y >. , z >. e. F ) )
11	7, 9, 10	sylancr 414	. . 3 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> <. <. x , y >. , z >. e. F ) )
12	5	eleq2i 2272	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } )
13		oprabid 5978	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) )
14	12, 13	bitri 184	. . . 4 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) )
15	14	baib 921	. . 3 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> ph ) )
16	11, 15	bitrd 188	. 2 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> ph ) )
17	2, 16	bitrid 192	1 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( x F y ) = z <-> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E!weu 2054   e. wcel 2176   <.cop 3636   {copab 4105   Fn wfn 5267   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   {coprab 5947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950

This theorem is referenced by: (None)