Theorem ovid 6205

Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovid.1	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph )
ovid.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
ovid	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( x F y ) = z <-> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6088	. . 3 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
2	1	eqeq1i 2246	. 2 |- ( ( x F y ) = z <-> ( F ` <. x , y >. ) = z )
3		ovid.1	. . . . . 6 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph )
4	3	fnoprab 6191	. . . . 5 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) }
5		ovid.2	. . . . . 6 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
6	5	fneq1i 5475	. . . . 5 |- ( F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
7	4, 6	mpbir 146	. . . 4 |- F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) }
8		opabid 4398	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> ( x e. R /\ y e. S ) )
9	8	biimpri 133	. . . 4 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
10		fnopfvb 5742	. . . 4 |- ( ( F Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } /\ <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> <. <. x , y >. , z >. e. F ) )
11	7, 9, 10	sylancr 418	. . 3 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> <. <. x , y >. , z >. e. F ) )
12	5	eleq2i 2305	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } )
13		oprabid 6117	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) )
14	12, 13	bitri 184	. . . 4 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) )
15	14	baib 931	. . 3 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( <. <. x , y >. , z >. e. F <-> ph ) )
16	11, 15	bitrd 188	. 2 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> ph ) )
17	2, 16	bitrid 192	1 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ( x F y ) = z <-> ph ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E!weu 2086   e. wcel 2209   <.cop 3712   {copab 4191   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   {coprab 6086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089

This theorem is used by: (None)