ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovid Unicode version

Theorem ovid 5939
Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ovid.1  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  E! z ph )
ovid.2  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }
Assertion
Ref Expression
ovid  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x F y )  =  z  <->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, z   
z, R    z, S
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y, z)

Proof of Theorem ovid
StepHypRef Expression
1 df-ov 5829 . . 3  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
21eqeq1i 2165 . 2  |-  ( ( x F y )  =  z  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
)
3 ovid.1 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  E! z ph )
43fnoprab 5926 . . . . 5  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) }
5 ovid.2 . . . . . 6  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }
65fneq1i 5266 . . . . 5  |-  ( F  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } 
<->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )
74, 6mpbir 145 . . . 4  |-  F  Fn  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) }
8 opabid 4219 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) }  <->  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) )
98biimpri 132 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  -> 
<. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )
10 fnopfvb 5512 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) }  /\  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  z  <->  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  F ) )
117, 9, 10sylancr 411 . . 3  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( ( F `  <. x ,  y >.
)  =  z  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  F ) )
125eleq2i 2224 . . . . 5  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  F  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } )
13 oprabid 5855 . . . . 5  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  <->  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) )
1412, 13bitri 183 . . . 4  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  F  <->  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) )
1514baib 905 . . 3  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  F  <->  ph ) )
1611, 15bitrd 187 . 2  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( ( F `  <. x ,  y >.
)  =  z  <->  ph ) )
172, 16syl5bb 191 1  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x F y )  =  z  <->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335   E!weu 2006    e. wcel 2128   <.cop 3564   {copab 4026    Fn wfn 5167   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   {coprab 5827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-setind 4498
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator