Theorem ordsucunielexmid 4578

Description: The converse of sucunielr 4557 (where B is an ordinal) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordsucunielexmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y )

Assertion

Ref	Expression
ordsucunielexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordsucunielexmid

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4421	. . . . . . . 8 |- ( b e. On -> Ord b )
2		ordtr 4424	. . . . . . . 8 |- ( Ord b -> Tr b )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( b e. On -> Tr b )
4		vex 2774	. . . . . . . 8 |- b e. _V
5	4	unisuc 4459	. . . . . . 7 |- ( Tr b <-> U. suc b = b )
6	3, 5	sylib 122	. . . . . 6 |- ( b e. On -> U. suc b = b )
7	6	eleq2d 2274	. . . . 5 |- ( b e. On -> ( a e. U. suc b <-> a e. b ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. U. suc b <-> a e. b ) )
9		onsuc 4548	. . . . 5 |- ( b e. On -> suc b e. On )
10		ordsucunielexmid.1	. . . . . 6 |- A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y )
11		eleq1 2267	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x e. U. y <-> a e. U. y ) )
12		suceq 4448	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> suc x = suc a )
13	12	eleq1d 2273	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( suc x e. y <-> suc a e. y ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( x e. U. y -> suc x e. y ) <-> ( a e. U. y -> suc a e. y ) ) )
15		unieq 3858	. . . . . . . . 9 |- ( y = suc b -> U. y = U. suc b )
16	15	eleq2d 2274	. . . . . . . 8 |- ( y = suc b -> ( a e. U. y <-> a e. U. suc b ) )
17		eleq2 2268	. . . . . . . 8 |- ( y = suc b -> ( suc a e. y <-> suc a e. suc b ) )
18	16, 17	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( y = suc b -> ( ( a e. U. y -> suc a e. y ) <-> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) ) )
19	14, 18	rspc2va 2890	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. On /\ suc b e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y ) ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
20	10, 19	mpan2 425	. . . . 5 |- ( ( a e. On /\ suc b e. On ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
21	9, 20	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
22	8, 21	sylbird 170	. . 3 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. b -> suc a e. suc b ) )
23	22	rgen2a 2559	. 2 |- A. a e. On A. b e. On ( a e. b -> suc a e. suc b )
24	23	onsucelsucexmid 4577	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   U.cuni 3849   Tr wtr 4141   Ord word 4408   Oncon0 4409   suc csuc 4411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-uni 3850  df-tr 4142  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417

This theorem is referenced by: (None)