Theorem ordsucunielexmid 4441

Description: The converse of sucunielr 4421 (where B is an ordinal) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordsucunielexmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y )

Assertion

Ref	Expression
ordsucunielexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordsucunielexmid

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4292	. . . . . . . 8 |- ( b e. On -> Ord b )
2		ordtr 4295	. . . . . . . 8 |- ( Ord b -> Tr b )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( b e. On -> Tr b )
4		vex 2684	. . . . . . . 8 |- b e. _V
5	4	unisuc 4330	. . . . . . 7 |- ( Tr b <-> U. suc b = b )
6	3, 5	sylib 121	. . . . . 6 |- ( b e. On -> U. suc b = b )
7	6	eleq2d 2207	. . . . 5 |- ( b e. On -> ( a e. U. suc b <-> a e. b ) )
8	7	adantl 275	. . . 4 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. U. suc b <-> a e. b ) )
9		suceloni 4412	. . . . 5 |- ( b e. On -> suc b e. On )
10		ordsucunielexmid.1	. . . . . 6 |- A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y )
11		eleq1 2200	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x e. U. y <-> a e. U. y ) )
12		suceq 4319	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> suc x = suc a )
13	12	eleq1d 2206	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( suc x e. y <-> suc a e. y ) )
14	11, 13	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( x e. U. y -> suc x e. y ) <-> ( a e. U. y -> suc a e. y ) ) )
15		unieq 3740	. . . . . . . . 9 |- ( y = suc b -> U. y = U. suc b )
16	15	eleq2d 2207	. . . . . . . 8 |- ( y = suc b -> ( a e. U. y <-> a e. U. suc b ) )
17		eleq2 2201	. . . . . . . 8 |- ( y = suc b -> ( suc a e. y <-> suc a e. suc b ) )
18	16, 17	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( y = suc b -> ( ( a e. U. y -> suc a e. y ) <-> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) ) )
19	14, 18	rspc2va 2798	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. On /\ suc b e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y ) ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
20	10, 19	mpan2 421	. . . . 5 |- ( ( a e. On /\ suc b e. On ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
21	9, 20	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
22	8, 21	sylbird 169	. . 3 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. b -> suc a e. suc b ) )
23	22	rgen2a 2484	. 2 |- A. a e. On A. b e. On ( a e. b -> suc a e. suc b )
24	23	onsucelsucexmid 4440	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   U.cuni 3731   Tr wtr 4021   Ord word 4279   Oncon0 4280   suc csuc 4282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288

This theorem is referenced by: (None)