Theorem ordsucunielexmid 4454

Description: The converse of sucunielr 4434 (where B is an ordinal) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordsucunielexmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y )

Assertion

Ref	Expression
ordsucunielexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordsucunielexmid

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4305	. . . . . . . 8 |- ( b e. On -> Ord b )
2		ordtr 4308	. . . . . . . 8 |- ( Ord b -> Tr b )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( b e. On -> Tr b )
4		vex 2692	. . . . . . . 8 |- b e. _V
5	4	unisuc 4343	. . . . . . 7 |- ( Tr b <-> U. suc b = b )
6	3, 5	sylib 121	. . . . . 6 |- ( b e. On -> U. suc b = b )
7	6	eleq2d 2210	. . . . 5 |- ( b e. On -> ( a e. U. suc b <-> a e. b ) )
8	7	adantl 275	. . . 4 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. U. suc b <-> a e. b ) )
9		suceloni 4425	. . . . 5 |- ( b e. On -> suc b e. On )
10		ordsucunielexmid.1	. . . . . 6 |- A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y )
11		eleq1 2203	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x e. U. y <-> a e. U. y ) )
12		suceq 4332	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> suc x = suc a )
13	12	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( suc x e. y <-> suc a e. y ) )
14	11, 13	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( x e. U. y -> suc x e. y ) <-> ( a e. U. y -> suc a e. y ) ) )
15		unieq 3753	. . . . . . . . 9 |- ( y = suc b -> U. y = U. suc b )
16	15	eleq2d 2210	. . . . . . . 8 |- ( y = suc b -> ( a e. U. y <-> a e. U. suc b ) )
17		eleq2 2204	. . . . . . . 8 |- ( y = suc b -> ( suc a e. y <-> suc a e. suc b ) )
18	16, 17	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( y = suc b -> ( ( a e. U. y -> suc a e. y ) <-> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) ) )
19	14, 18	rspc2va 2807	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. On /\ suc b e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y ) ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
20	10, 19	mpan2 422	. . . . 5 |- ( ( a e. On /\ suc b e. On ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
21	9, 20	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
22	8, 21	sylbird 169	. . 3 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. b -> suc a e. suc b ) )
23	22	rgen2a 2489	. 2 |- A. a e. On A. b e. On ( a e. b -> suc a e. suc b )
24	23	onsucelsucexmid 4453	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   U.cuni 3744   Tr wtr 4034   Ord word 4292   Oncon0 4293   suc csuc 4295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301

This theorem is referenced by: (None)