Theorem ordsucunielexmid 4579

Description: The converse of sucunielr 4558 (where B is an ordinal) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordsucunielexmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y )

Assertion

Ref	Expression
ordsucunielexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordsucunielexmid

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4422	. . . . . . . 8 |- ( b e. On -> Ord b )
2		ordtr 4425	. . . . . . . 8 |- ( Ord b -> Tr b )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( b e. On -> Tr b )
4		vex 2775	. . . . . . . 8 |- b e. _V
5	4	unisuc 4460	. . . . . . 7 |- ( Tr b <-> U. suc b = b )
6	3, 5	sylib 122	. . . . . 6 |- ( b e. On -> U. suc b = b )
7	6	eleq2d 2275	. . . . 5 |- ( b e. On -> ( a e. U. suc b <-> a e. b ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. U. suc b <-> a e. b ) )
9		onsuc 4549	. . . . 5 |- ( b e. On -> suc b e. On )
10		ordsucunielexmid.1	. . . . . 6 |- A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y )
11		eleq1 2268	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x e. U. y <-> a e. U. y ) )
12		suceq 4449	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> suc x = suc a )
13	12	eleq1d 2274	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( suc x e. y <-> suc a e. y ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( x e. U. y -> suc x e. y ) <-> ( a e. U. y -> suc a e. y ) ) )
15		unieq 3859	. . . . . . . . 9 |- ( y = suc b -> U. y = U. suc b )
16	15	eleq2d 2275	. . . . . . . 8 |- ( y = suc b -> ( a e. U. y <-> a e. U. suc b ) )
17		eleq2 2269	. . . . . . . 8 |- ( y = suc b -> ( suc a e. y <-> suc a e. suc b ) )
18	16, 17	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( y = suc b -> ( ( a e. U. y -> suc a e. y ) <-> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) ) )
19	14, 18	rspc2va 2891	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. On /\ suc b e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y ) ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
20	10, 19	mpan2 425	. . . . 5 |- ( ( a e. On /\ suc b e. On ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
21	9, 20	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
22	8, 21	sylbird 170	. . 3 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. b -> suc a e. suc b ) )
23	22	rgen2a 2560	. 2 |- A. a e. On A. b e. On ( a e. b -> suc a e. suc b )
24	23	onsucelsucexmid 4578	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   U.cuni 3850   Tr wtr 4142   Ord word 4409   Oncon0 4410   suc csuc 4412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418

This theorem is referenced by: (None)