Theorem ordsucunielexmid 4629

Description: The converse of sucunielr 4608 (where B is an ordinal) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordsucunielexmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y )

Assertion

Ref	Expression
ordsucunielexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordsucunielexmid

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4472	. . . . . . . 8 |- ( b e. On -> Ord b )
2		ordtr 4475	. . . . . . . 8 |- ( Ord b -> Tr b )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( b e. On -> Tr b )
4		vex 2805	. . . . . . . 8 |- b e. _V
5	4	unisuc 4510	. . . . . . 7 |- ( Tr b <-> U. suc b = b )
6	3, 5	sylib 122	. . . . . 6 |- ( b e. On -> U. suc b = b )
7	6	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( b e. On -> ( a e. U. suc b <-> a e. b ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. U. suc b <-> a e. b ) )
9		onsuc 4599	. . . . 5 |- ( b e. On -> suc b e. On )
10		ordsucunielexmid.1	. . . . . 6 |- A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y )
11		eleq1 2294	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x e. U. y <-> a e. U. y ) )
12		suceq 4499	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> suc x = suc a )
13	12	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( suc x e. y <-> suc a e. y ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( x e. U. y -> suc x e. y ) <-> ( a e. U. y -> suc a e. y ) ) )
15		unieq 3902	. . . . . . . . 9 |- ( y = suc b -> U. y = U. suc b )
16	15	eleq2d 2301	. . . . . . . 8 |- ( y = suc b -> ( a e. U. y <-> a e. U. suc b ) )
17		eleq2 2295	. . . . . . . 8 |- ( y = suc b -> ( suc a e. y <-> suc a e. suc b ) )
18	16, 17	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( y = suc b -> ( ( a e. U. y -> suc a e. y ) <-> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) ) )
19	14, 18	rspc2va 2924	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. On /\ suc b e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x e. U. y -> suc x e. y ) ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
20	10, 19	mpan2 425	. . . . 5 |- ( ( a e. On /\ suc b e. On ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
21	9, 20	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. U. suc b -> suc a e. suc b ) )
22	8, 21	sylbird 170	. . 3 |- ( ( a e. On /\ b e. On ) -> ( a e. b -> suc a e. suc b ) )
23	22	rgen2a 2586	. 2 |- A. a e. On A. b e. On ( a e. b -> suc a e. suc b )
24	23	onsucelsucexmid 4628	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   U.cuni 3893   Tr wtr 4187   Ord word 4459   Oncon0 4460   suc csuc 4462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468

This theorem is referenced by: (None)