Theorem rspc2va 2924

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2va	|- ( ( ( A e. C /\ B e. D ) /\ A. x e. C A. y e. D ph ) -> ps )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2va

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc2v.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
2		rspc2v.2	. . 3 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
3	1, 2	rspc2v 2923	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )
4	3	imp 124	1 |- ( ( ( A e. C /\ B e. D ) /\ A. x e. C A. y e. D ph ) -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804

This theorem is referenced by:  swopo  4403  ordtri2orexmid  4621  onsucelsucexmid  4628  ordsucunielexmid  4629  ordtri2or2exmid  4669  ontri2orexmidim  4670  isocnv  5955  isotr  5960  ovrspc2v  6047  off  6251  caofrss  6270  oprssdmm  6337  tridc  7092  eqsndc  7098  tpfidceq  7125  fidcenumlemrks  7155  seq3caopr2  10759  seqcaopr2g  10760  seq3distr  10798  isprm6  12740  mhmpropd  13570  grpidssd  13680  grpinvssd  13681  dfgrp3mlem  13702  isnsg3  13815  domneq0  14308  comet  15250  mulcncf  15359  trilpo  16706  neapmkv  16732