Theorem rspc2va 2922

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2va	|- ( ( ( A e. C /\ B e. D ) /\ A. x e. C A. y e. D ph ) -> ps )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2va

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc2v.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
2		rspc2v.2	. . 3 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
3	1, 2	rspc2v 2921	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )
4	3	imp 124	1 |- ( ( ( A e. C /\ B e. D ) /\ A. x e. C A. y e. D ph ) -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2802

This theorem is referenced by:  swopo  4399  ordtri2orexmid  4617  onsucelsucexmid  4624  ordsucunielexmid  4625  ordtri2or2exmid  4665  ontri2orexmidim  4666  isocnv  5945  isotr  5950  ovrspc2v  6037  off  6241  caofrss  6260  oprssdmm  6327  tridc  7080  eqsndc  7086  tpfidceq  7113  fidcenumlemrks  7141  seq3caopr2  10743  seqcaopr2g  10744  seq3distr  10782  isprm6  12706  mhmpropd  13536  grpidssd  13646  grpinvssd  13647  dfgrp3mlem  13668  isnsg3  13781  domneq0  14273  comet  15210  mulcncf  15319  trilpo  16557  neapmkv  16582