Theorem rspc2va 2944

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2va	|- ( ( ( A e. C /\ B e. D ) /\ A. x e. C A. y e. D ph ) -> ps )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2va

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc2v.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
2		rspc2v.2	. . 3 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
3	1, 2	rspc2v 2943	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )
4	3	imp 124	1 |- ( ( ( A e. C /\ B e. D ) /\ A. x e. C A. y e. D ph ) -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is referenced by:  swopo  4449  ordtri2orexmid  4668  onsucelsucexmid  4675  ordsucunielexmid  4676  ordtri2or2exmid  4716  ontri2orexmidim  4717  isocnv  6010  isotr  6015  ovrspc2v  6104  off  6308  caofrss  6327  oprssdmm  6398  tridc  7197  eqsndc  7203  tpfidceq  7230  fidcenumlemrks  7263  seq3caopr2  10911  seqcaopr2g  10912  seq3distr  10950  isprm6  12906  mhmpropd  13753  grpidssd  13861  grpinvssd  13862  dfgrp3mlem  13883  isnsg3  13990  domneq0  14557  comet  15526  mulcncf  15635  trilpo  17000  neapmkv  17026