Theorem ot3rdgg 5939

Description: Extract the third member of an ordered triple. (See ot1stg 5937 comment.) (Contributed by NM, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ot3rdgg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( 2nd ` <. A , B , C >. ) = C )

Proof of Theorem ot3rdgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 3460	. . 3 |- <. A , B , C >. = <. <. A , B >. , C >.
2	1	fveq2i 5321	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B , C >. ) = ( 2nd ` <. <. A , B >. , C >. )
3		opexg 4064	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
4		op2ndg 5936	. . . 4 |- ( ( <. A , B >. e. _V /\ C e. X ) -> ( 2nd ` <. <. A , B >. , C >. ) = C )
5	3, 4	sylan 278	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ C e. X ) -> ( 2nd ` <. <. A , B >. , C >. ) = C )
6	5	3impa 1139	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( 2nd ` <. <. A , B >. , C >. ) = C )
7	2, 6	syl5eq 2133	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( 2nd ` <. A , B , C >. ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 925   = wceq 1290   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   <.cop 3453   <.cotp 3454   ` cfv 5028   2ndc2nd 5924

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-ot 3460  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-2nd 5926

This theorem is referenced by: (None)