Theorem ot3rdgg 5925

Description: Extract the third member of an ordered triple. (See ot1stg 5923 comment.) (Contributed by NM, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ot3rdgg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( 2nd ` <. A , B , C >. ) = C )

Proof of Theorem ot3rdgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 3456	. . 3 |- <. A , B , C >. = <. <. A , B >. , C >.
2	1	fveq2i 5308	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B , C >. ) = ( 2nd ` <. <. A , B >. , C >. )
3		opexg 4055	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
4		op2ndg 5922	. . . 4 |- ( ( <. A , B >. e. _V /\ C e. X ) -> ( 2nd ` <. <. A , B >. , C >. ) = C )
5	3, 4	sylan 277	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ C e. X ) -> ( 2nd ` <. <. A , B >. , C >. ) = C )
6	5	3impa 1138	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( 2nd ` <. <. A , B >. , C >. ) = C )
7	2, 6	syl5eq 2132	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( 2nd ` <. A , B , C >. ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3449   <.cotp 3450   ` cfv 5015   2ndc2nd 5910

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-ot 3456  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-2nd 5912

This theorem is referenced by: (None)