ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitric Unicode version

Theorem pitric 6880
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitric  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <N  A ) ) )

Proof of Theorem pitric
StepHypRef Expression
1 pinn 6868 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 6868 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nntri2 6255 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
41, 2, 3syl2an 283 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
5 ltpiord 6878 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
6 ltpiord 6878 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( B  <N  A  <->  B  e.  A ) )
76ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  <N  A  <->  B  e.  A ) )
87orbi2d 739 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  =  B  \/  B  <N  A )  <->  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
98notbid 627 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( -.  ( A  =  B  \/  B  <N  A )  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A )
) )
104, 5, 93bitr4d 218 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <N  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   omcom 4405   N.cnpi 6831    <N clti 6834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-ni 6863  df-lti 6866
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator