Theorem pitric 6880

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitric	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> -. ( A = B \/ B <N A ) ) )

Proof of Theorem pitric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6868	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 6868	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nntri2 6255	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 283	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
5		ltpiord 6878	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		ltpiord 6878	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
7	6	ancoms 264	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
8	7	orbi2d 739	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A = B \/ B <N A ) <-> ( A = B \/ B e. A ) ) )
9	8	notbid 627	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( -. ( A = B \/ B <N A ) <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
10	4, 5, 9	3bitr4d 218	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> -. ( A = B \/ B <N A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3845   omcom 4405   N.cnpi 6831   <N clti 6834

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-ni 6863  df-lti 6866

This theorem is referenced by: (None)