Theorem pitric 7540

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitric	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> -. ( A = B \/ B <N A ) ) )

Proof of Theorem pitric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7528	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7528	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nntri2 6661	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
5		ltpiord 7538	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		ltpiord 7538	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
7	6	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
8	7	orbi2d 797	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A = B \/ B <N A ) <-> ( A = B \/ B e. A ) ) )
9	8	notbid 673	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( -. ( A = B \/ B <N A ) <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
10	4, 5, 9	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> -. ( A = B \/ B <N A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   omcom 4688   N.cnpi 7491   <N clti 7494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-ni 7523  df-lti 7526

This theorem is referenced by: (None)