Theorem pitric 7262

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitric	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> -. ( A = B \/ B <N A ) ) )

Proof of Theorem pitric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7250	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7250	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nntri2 6462	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
5		ltpiord 7260	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		ltpiord 7260	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
7	6	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
8	7	orbi2d 780	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A = B \/ B <N A ) <-> ( A = B \/ B e. A ) ) )
9	8	notbid 657	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( -. ( A = B \/ B <N A ) <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
10	4, 5, 9	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> -. ( A = B \/ B <N A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   omcom 4567   N.cnpi 7213   <N clti 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-ni 7245  df-lti 7248

This theorem is referenced by: (None)