ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitric Unicode version

Theorem pitric 7350
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitric  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <N  A ) ) )

Proof of Theorem pitric
StepHypRef Expression
1 pinn 7338 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 7338 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nntri2 6519 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
41, 2, 3syl2an 289 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
5 ltpiord 7348 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
6 ltpiord 7348 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( B  <N  A  <->  B  e.  A ) )
76ancoms 268 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  <N  A  <->  B  e.  A ) )
87orbi2d 791 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  =  B  \/  B  <N  A )  <->  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
98notbid 668 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( -.  ( A  =  B  \/  B  <N  A )  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A )
) )
104, 5, 93bitr4d 220 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <N  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   omcom 4607   N.cnpi 7301    <N clti 7304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-ni 7333  df-lti 7336
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator