ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitric GIF version

Theorem pitric 6977
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitric ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴)))

Proof of Theorem pitric
StepHypRef Expression
1 pinn 6965 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 6965 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nntri2 6295 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2an 284 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
5 ltpiord 6975 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
6 ltpiord 6975 . . . . 5 ((𝐵N𝐴N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
76ancoms 265 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
87orbi2d 742 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
98notbid 630 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
104, 5, 93bitr4d 219 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 667   = wceq 1296  wcel 1445   class class class wbr 3867  ωcom 4433  Ncnpi 6928   <N clti 6931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-ni 6960  df-lti 6963
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator