Theorem renepnf 8227

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	|- ( A e. RR -> A =/= +oo )

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8221	. . . 4 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2499	. . 3 |- -. +oo e. RR
3		eleq1 2294	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. RR <-> +oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 681	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2456	1 |- ( A e. RR -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   RRcr 8031   +oocpnf 8211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-uni 3894  df-pnf 8216

This theorem is referenced by:  renepnfd  8230  renfdisj  8239  ltxrlt  8245  xrnepnf  10013  xrlttri3  10032  nltpnft  10049  xrrebnd  10054  rexneg  10065  xrpnfdc  10077  rexadd  10087  xaddnepnf  10093  xaddcom  10096  xaddid1  10097  xnn0xadd0  10102  xnegdi  10103  xpncan  10106  xleadd1a  10108  xltadd1  10111  xsubge0  10116  xposdif  10117  xleaddadd  10122  xrmaxrecl  11833