Theorem renepnf 7837

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	|- ( A e. RR -> A =/= +oo )

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7831	. . . 4 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2406	. . 3 |- -. +oo e. RR
3		eleq1 2203	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. RR <-> +oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 665	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2363	1 |- ( A e. RR -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   RRcr 7643   +oocpnf 7821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-un 4363  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-uni 3745  df-pnf 7826

This theorem is referenced by:  renepnfd  7840  renfdisj  7848  ltxrlt  7854  xrnepnf  9595  xrlttri3  9613  nltpnft  9627  xrrebnd  9632  rexneg  9643  xrpnfdc  9655  rexadd  9665  xaddnepnf  9671  xaddcom  9674  xaddid1  9675  xnn0xadd0  9680  xnegdi  9681  xpncan  9684  xleadd1a  9686  xltadd1  9689  xsubge0  9694  xposdif  9695  xleaddadd  9700  xrmaxrecl  11056