Theorem renepnf 8337

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	|- ( A e. RR -> A =/= +oo )

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8331	. . . 4 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2511	. . 3 |- -. +oo e. RR
3		eleq1 2297	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. RR <-> +oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 682	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2468	1 |- ( A e. RR -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   RRcr 8142   +oocpnf 8321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-uni 3920  df-pnf 8326

This theorem is referenced by:  renepnfd  8340  renfdisj  8349  ltxrlt  8355  xrnepnf  10130  xrlttri3  10149  nltpnft  10166  xrrebnd  10171  rexneg  10182  xrpnfdc  10194  rexadd  10204  xaddnepnf  10210  xaddcom  10213  xaddid1  10214  xnn0xadd0  10219  xnegdi  10220  xpncan  10223  xleadd1a  10225  xltadd1  10228  xsubge0  10233  xposdif  10234  xleaddadd  10239  xrmaxrecl  11965