Theorem renepnf 8008

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	|- ( A e. RR -> A =/= +oo )

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8002	. . . 4 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2444	. . 3 |- -. +oo e. RR
3		eleq1 2240	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. RR <-> +oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 675	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2401	1 |- ( A e. RR -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   RRcr 7813   +oocpnf 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-un 4435  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-uni 3812  df-pnf 7997

This theorem is referenced by:  renepnfd  8011  renfdisj  8020  ltxrlt  8026  xrnepnf  9781  xrlttri3  9800  nltpnft  9817  xrrebnd  9822  rexneg  9833  xrpnfdc  9845  rexadd  9855  xaddnepnf  9861  xaddcom  9864  xaddid1  9865  xnn0xadd0  9870  xnegdi  9871  xpncan  9874  xleadd1a  9876  xltadd1  9879  xsubge0  9884  xposdif  9885  xleaddadd  9890  xrmaxrecl  11266