Theorem inftonninf 10366

Description: The mapping of +oo into ℕ_∞ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
inftonninf	|- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem inftonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . 3 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5481	. 2 |- ( I ` +oo ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo )
3		pnf0xnn0 9175	. . 3 |- +oo e. NN0*
4		omex 4564	. . . 4 |- om e. _V
5		1oex 6383	. . . . 5 |- 1o e. _V
6	5	snex 4158	. . . 4 |- { 1o } e. _V
7	4, 6	xpex 4713	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
8		pnfnre 7931	. . . . . 6 |- +oo e/ RR
9	8	neli 2431	. . . . 5 |- -. +oo e. RR
10		nn0re 9114	. . . . 5 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
11	9, 10	mto 652	. . . 4 |- -. +oo e. NN0
12		fxnn0nninf.g	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
13		fxnn0nninf.f	. . . . . . 7 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
14	12, 13	fnn0nninf 10362	. . . . . 6 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞
15	14	fdmi 5339	. . . . 5 |- dom ( F o. `' G ) = NN0
16	15	eleq2i 2231	. . . 4 |- ( +oo e. dom ( F o. `' G ) <-> +oo e. NN0 )
17	11, 16	mtbir 661	. . 3 |- -. +oo e. dom ( F o. `' G )
18		fsnunfv 5680	. . 3 |- ( ( +oo e. NN0* /\ ( om X. { 1o } ) e. _V /\ -. +oo e. dom ( F o. `' G ) ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo ) = ( om X. { 1o } ) )
19	3, 7, 17, 18	mp3an 1326	. 2 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo ) = ( om X. { 1o } )
20		fconstmpt 4645	. 2 |- ( om X. { 1o } ) = ( x e. om |-> 1o )
21	2, 19, 20	3eqtri 2189	1 |- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1342   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   u. cun 3109   (/)c0 3404   ifcif 3515   {csn 3570   <.cop 3573   |-> cmpt 4037   omcom 4561   X. cxp 4596   `'ccnv 4597   dom cdm 4598   o. ccom 4602   ` cfv 5182  (class class class)co 5836  freccfrec 6349   1oc1o 6368  ℕ_∞xnninf 7075   RRcr 7743   0cc0 7744   1c1 7745   + caddc 7747   +oocpnf 7921   NN0cn0 9105  NN0*cxnn0 9168   ZZcz 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-recs 6264  df-frec 6350  df-1o 6375  df-2o 6376  df-map 6607  df-nninf 7076  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-xnn0 9169  df-z 9183  df-uz 9458

This theorem is referenced by: (None)