Theorem inftonninf 10460

Description: The mapping of +oo into ℕ_∞ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
inftonninf	|- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem inftonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . 3 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5531	. 2 |- ( I ` +oo ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo )
3		pnf0xnn0 9265	. . 3 |- +oo e. NN0*
4		omex 4607	. . . 4 |- om e. _V
5		1oex 6443	. . . . 5 |- 1o e. _V
6	5	snex 4200	. . . 4 |- { 1o } e. _V
7	4, 6	xpex 4756	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
8		pnfnre 8018	. . . . . 6 |- +oo e/ RR
9	8	neli 2457	. . . . 5 |- -. +oo e. RR
10		nn0re 9204	. . . . 5 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
11	9, 10	mto 663	. . . 4 |- -. +oo e. NN0
12		fxnn0nninf.g	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
13		fxnn0nninf.f	. . . . . . 7 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
14	12, 13	fnn0nninf 10456	. . . . . 6 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞
15	14	fdmi 5388	. . . . 5 |- dom ( F o. `' G ) = NN0
16	15	eleq2i 2256	. . . 4 |- ( +oo e. dom ( F o. `' G ) <-> +oo e. NN0 )
17	11, 16	mtbir 672	. . 3 |- -. +oo e. dom ( F o. `' G )
18		fsnunfv 5733	. . 3 |- ( ( +oo e. NN0* /\ ( om X. { 1o } ) e. _V /\ -. +oo e. dom ( F o. `' G ) ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo ) = ( om X. { 1o } ) )
19	3, 7, 17, 18	mp3an 1348	. 2 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo ) = ( om X. { 1o } )
20		fconstmpt 4688	. 2 |- ( om X. { 1o } ) = ( x e. om |-> 1o )
21	2, 19, 20	3eqtri 2214	1 |- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   u. cun 3142   (/)c0 3437   ifcif 3549   {csn 3607   <.cop 3610   |-> cmpt 4079   omcom 4604   X. cxp 4639   `'ccnv 4640   dom cdm 4641   o. ccom 4645   ` cfv 5231  (class class class)co 5891  freccfrec 6409   1oc1o 6428  ℕ_∞xnninf 7137   RRcr 7829   0cc0 7830   1c1 7831   + caddc 7833   +oocpnf 8008   NN0cn0 9195  NN0*cxnn0 9258   ZZcz 9272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-1o 6435  df-2o 6436  df-map 6668  df-nninf 7138  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-n0 9196  df-xnn0 9259  df-z 9273  df-uz 9548

This theorem is referenced by: (None)