ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inftonninf Unicode version

Theorem inftonninf 10424
Description: The mapping of +oo into ℕ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
fxnn0nninf.f  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
fxnn0nninf.i  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
Assertion
Ref Expression
inftonninf  |-  ( I `
+oo )  =  ( x  e.  om  |->  1o )
Distinct variable group:    i, n
Allowed substitution hints:    F( x, i, n)    G( x, i, n)    I( x, i, n)

Proof of Theorem inftonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . 3  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
21fveq1i 5512 . 2  |-  ( I `
+oo )  =  ( ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } ) ` +oo )
3 pnf0xnn0 9232 . . 3  |- +oo  e. NN0*
4 omex 4589 . . . 4  |-  om  e.  _V
5 1oex 6419 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
65snex 4182 . . . 4  |-  { 1o }  e.  _V
74, 6xpex 4738 . . 3  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.  _V
8 pnfnre 7986 . . . . . 6  |- +oo  e/  RR
98neli 2444 . . . . 5  |-  -. +oo  e.  RR
10 nn0re 9171 . . . . 5  |-  ( +oo  e.  NN0  -> +oo  e.  RR )
119, 10mto 662 . . . 4  |-  -. +oo  e.  NN0
12 fxnn0nninf.g . . . . . . 7  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
13 fxnn0nninf.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
1412, 13fnn0nninf 10420 . . . . . 6  |-  ( F  o.  `' G ) : NN0 -->
1514fdmi 5369 . . . . 5  |-  dom  ( F  o.  `' G
)  =  NN0
1615eleq2i 2244 . . . 4  |-  ( +oo  e.  dom  ( F  o.  `' G )  <-> +oo  e.  NN0 )
1711, 16mtbir 671 . . 3  |-  -. +oo  e.  dom  ( F  o.  `' G )
18 fsnunfv 5713 . . 3  |-  ( ( +oo  e. NN0*  /\  ( om  X.  { 1o }
)  e.  _V  /\  -. +oo  e.  dom  ( F  o.  `' G
) )  ->  (
( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } ) ` +oo )  =  ( om  X.  { 1o }
) )
193, 7, 17, 18mp3an 1337 . 2  |-  ( ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } ) ` +oo )  =  ( om  X.  { 1o }
)
20 fconstmpt 4670 . 2  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  =  ( x  e.  om  |->  1o )
212, 19, 203eqtri 2202 1  |-  ( I `
+oo )  =  ( x  e.  om  |->  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    u. cun 3127   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3591   <.cop 3594    |-> cmpt 4061   omcom 4586    X. cxp 4621   `'ccnv 4622   dom cdm 4623    o. ccom 4627   ` cfv 5212  (class class class)co 5869  freccfrec 6385   1oc1o 6404  ℕxnninf 7112   RRcr 7798   0cc0 7799   1c1 7800    + caddc 7802   +oocpnf 7976   NN0cn0 9162  NN0*cxnn0 9225   ZZcz 9239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-nninf 7113  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-n0 9163  df-xnn0 9226  df-z 9240  df-uz 9515
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator