Theorem inftonninf 10879

Description: The mapping of +oo into ℕ_∞ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
inftonninf	|- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem inftonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . 3 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5696	. 2 |- ( I ` +oo ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo )
3		pnf0xnn0 9637	. . 3 |- +oo e. NN0*
4		omex 4740	. . . 4 |- om e. _V
5		1oex 6695	. . . . 5 |- 1o e. _V
6	5	snex 4322	. . . 4 |- { 1o } e. _V
7	4, 6	xpex 4891	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
8		pnfnre 8367	. . . . . 6 |- +oo e/ RR
9	8	neli 2517	. . . . 5 |- -. +oo e. RR
10		nn0re 9572	. . . . 5 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
11	9, 10	mto 672	. . . 4 |- -. +oo e. NN0
12		fxnn0nninf.g	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
13		fxnn0nninf.f	. . . . . . 7 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
14	12, 13	fnn0nninf 10875	. . . . . 6 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞
15	14	fdmi 5541	. . . . 5 |- dom ( F o. `' G ) = NN0
16	15	eleq2i 2305	. . . 4 |- ( +oo e. dom ( F o. `' G ) <-> +oo e. NN0 )
17	11, 16	mtbir 682	. . 3 |- -. +oo e. dom ( F o. `' G )
18		fsnunfv 5916	. . 3 |- ( ( +oo e. NN0* /\ ( om X. { 1o } ) e. _V /\ -. +oo e. dom ( F o. `' G ) ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo ) = ( om X. { 1o } ) )
19	3, 7, 17, 18	mp3an 1378	. 2 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo ) = ( om X. { 1o } )
20		fconstmpt 4822	. 2 |- ( om X. { 1o } ) = ( x e. om |-> 1o )
21	2, 19, 20	3eqtri 2263	1 |- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3709   <.cop 3712   |-> cmpt 4192   omcom 4737   X. cxp 4772   `'ccnv 4773   dom cdm 4774   o. ccom 4778   ` cfv 5377  (class class class)co 6085  freccfrec 6661   1oc1o 6680  ℕ_∞xnninf 7459   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   +oocpnf 8357   NN0cn0 9563  NN0*cxnn0 9630   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-map 6924  df-nninf 7460  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-xnn0 9631  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  nninfctlemfo  12817