Theorem inftonninf 10703

Description: The mapping of +oo into ℕ_∞ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
inftonninf	|- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem inftonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . 3 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5640	. 2 |- ( I ` +oo ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo )
3		pnf0xnn0 9471	. . 3 |- +oo e. NN0*
4		omex 4691	. . . 4 |- om e. _V
5		1oex 6589	. . . . 5 |- 1o e. _V
6	5	snex 4275	. . . 4 |- { 1o } e. _V
7	4, 6	xpex 4842	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
8		pnfnre 8220	. . . . . 6 |- +oo e/ RR
9	8	neli 2499	. . . . 5 |- -. +oo e. RR
10		nn0re 9410	. . . . 5 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
11	9, 10	mto 668	. . . 4 |- -. +oo e. NN0
12		fxnn0nninf.g	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
13		fxnn0nninf.f	. . . . . . 7 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
14	12, 13	fnn0nninf 10699	. . . . . 6 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞
15	14	fdmi 5490	. . . . 5 |- dom ( F o. `' G ) = NN0
16	15	eleq2i 2298	. . . 4 |- ( +oo e. dom ( F o. `' G ) <-> +oo e. NN0 )
17	11, 16	mtbir 677	. . 3 |- -. +oo e. dom ( F o. `' G )
18		fsnunfv 5854	. . 3 |- ( ( +oo e. NN0* /\ ( om X. { 1o } ) e. _V /\ -. +oo e. dom ( F o. `' G ) ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo ) = ( om X. { 1o } ) )
19	3, 7, 17, 18	mp3an 1373	. 2 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo ) = ( om X. { 1o } )
20		fconstmpt 4773	. 2 |- ( om X. { 1o } ) = ( x e. om |-> 1o )
21	2, 19, 20	3eqtri 2256	1 |- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   <.cop 3672   |-> cmpt 4150   omcom 4688   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   dom cdm 4725   o. ccom 4729   ` cfv 5326  (class class class)co 6017  freccfrec 6555   1oc1o 6574  ℕ_∞xnninf 7317   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   +oocpnf 8210   NN0cn0 9401  NN0*cxnn0 9464   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-nninf 7318  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-xnn0 9465  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  nninfctlemfo  12610