ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inftonninf Unicode version

Theorem inftonninf 9812
Description: The mapping of +oo into ℕ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
fxnn0nninf.f  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
fxnn0nninf.i  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
Assertion
Ref Expression
inftonninf  |-  ( I `
+oo )  =  ( x  e.  om  |->  1o )
Distinct variable group:    i, n
Allowed substitution hints:    F( x, i, n)    G( x, i, n)    I( x, i, n)

Proof of Theorem inftonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . 3  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
21fveq1i 5290 . 2  |-  ( I `
+oo )  =  ( ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } ) ` +oo )
3 pnf0xnn0 8713 . . 3  |- +oo  e. NN0*
4 omex 4398 . . . 4  |-  om  e.  _V
5 1oex 6171 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
65snex 4011 . . . 4  |-  { 1o }  e.  _V
74, 6xpex 4541 . . 3  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.  _V
8 pnfnre 7508 . . . . . 6  |- +oo  e/  RR
98neli 2352 . . . . 5  |-  -. +oo  e.  RR
10 nn0re 8652 . . . . 5  |-  ( +oo  e.  NN0  -> +oo  e.  RR )
119, 10mto 623 . . . 4  |-  -. +oo  e.  NN0
12 fxnn0nninf.g . . . . . . 7  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
13 fxnn0nninf.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
1412, 13fnn0nninf 9808 . . . . . 6  |-  ( F  o.  `' G ) : NN0 -->
1514fdmi 5154 . . . . 5  |-  dom  ( F  o.  `' G
)  =  NN0
1615eleq2i 2154 . . . 4  |-  ( +oo  e.  dom  ( F  o.  `' G )  <-> +oo  e.  NN0 )
1711, 16mtbir 631 . . 3  |-  -. +oo  e.  dom  ( F  o.  `' G )
18 fsnunfv 5481 . . 3  |-  ( ( +oo  e. NN0*  /\  ( om  X.  { 1o }
)  e.  _V  /\  -. +oo  e.  dom  ( F  o.  `' G
) )  ->  (
( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } ) ` +oo )  =  ( om  X.  { 1o }
) )
193, 7, 17, 18mp3an 1273 . 2  |-  ( ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } ) ` +oo )  =  ( om  X.  { 1o }
)
20 fconstmpt 4473 . 2  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  =  ( x  e.  om  |->  1o )
212, 19, 203eqtri 2112 1  |-  ( I `
+oo )  =  ( x  e.  om  |->  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    u. cun 2995   (/)c0 3284   ifcif 3389   {csn 3441   <.cop 3444    |-> cmpt 3891   omcom 4395    X. cxp 4426   `'ccnv 4427   dom cdm 4428    o. ccom 4432   ` cfv 5002  (class class class)co 5634  freccfrec 6137   1oc1o 6156  ℕxnninf 6768   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332   +oocpnf 7498   NN0cn0 8643  NN0*cxnn0 8706   ZZcz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-xnn0 8707  df-z 8721  df-uz 8989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator