Theorem pnfnre 7961

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	⊢ +∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7898	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	uniex 4422	. . . . 5 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
3		pwuninel2 6261	. . . . 5 ⊢ (∪ ℂ ∈ V → ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
5		df-pnf 7956	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
6	5	eleq1i 2236	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
7	4, 6	mtbir 666	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℂ
8		recn 7907	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → +∞ ∈ ℂ)
9	7, 8	mto 657	. 2 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
10	9	nelir 2438	1 ⊢ +∞ ∉ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 2435  Vcvv 2730  𝒫 cpw 3566  ∪ cuni 3796  ℂcc 7772  ℝcr 7773  +∞cpnf 7951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-nel 2436  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-uni 3797  df-pnf 7956

This theorem is referenced by:  renepnf  7967  nn0nepnf  9206  xrltnr  9736  pnfnlt  9744  xnn0lenn0nn0  9822  inftonninf  10397  pcgcd1  12281  pc2dvds  12283