Theorem pnfnre 8085

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	⊢ +∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8020	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	uniex 4473	. . . . 5 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
3		pwuninel2 6349	. . . . 5 ⊢ (∪ ℂ ∈ V → ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
5		df-pnf 8080	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
6	5	eleq1i 2262	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
7	4, 6	mtbir 672	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℂ
8		recn 8029	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → +∞ ∈ ℂ)
9	7, 8	mto 663	. 2 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
10	9	nelir 2465	1 ⊢ +∞ ∉ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2167   ∉ wnel 2462  Vcvv 2763  𝒫 cpw 3606  ∪ cuni 3840  ℂcc 7894  ℝcr 7895  +∞cpnf 8075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-nel 2463  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-uni 3841  df-pnf 8080

This theorem is referenced by:  renepnf  8091  nn0nepnf  9337  xrltnr  9871  pnfnlt  9879  xnn0lenn0nn0  9957  inftonninf  10551  pcgcd1  12522  pc2dvds  12524