Theorem pnfnre 7466

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	⊢ +∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7403	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	uniex 4237	. . . . 5 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
3		pwuninel2 5995	. . . . 5 ⊢ (∪ ℂ ∈ V → ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
5		df-pnf 7461	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
6	5	eleq1i 2150	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
7	4, 6	mtbir 629	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℂ
8		recn 7412	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → +∞ ∈ ℂ)
9	7, 8	mto 621	. 2 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
10	9	nelir 2349	1 ⊢ +∞ ∉ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1436   ∉ wnel 2346  Vcvv 2615  𝒫 cpw 3415  ∪ cuni 3636  ℂcc 7285  ℝcr 7286  +∞cpnf 7456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-un 4233  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-nel 2347  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-uni 3637  df-pnf 7461

This theorem is referenced by:  renepnf  7472  nn0nepnf  8670  xrltnr  9175  pnfnlt  9182  inftonninf  9768