Theorem pnfnre 8030

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	⊢ +∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7966	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	uniex 4455	. . . . 5 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
3		pwuninel2 6308	. . . . 5 ⊢ (∪ ℂ ∈ V → ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
5		df-pnf 8025	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
6	5	eleq1i 2255	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
7	4, 6	mtbir 672	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℂ
8		recn 7975	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → +∞ ∈ ℂ)
9	7, 8	mto 663	. 2 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
10	9	nelir 2458	1 ⊢ +∞ ∉ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2160   ∉ wnel 2455  Vcvv 2752  𝒫 cpw 3590  ∪ cuni 3824  ℂcc 7840  ℝcr 7841  +∞cpnf 8020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-un 4451  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-nel 2456  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-uni 3825  df-pnf 8025

This theorem is referenced by:  renepnf  8036  nn0nepnf  9278  xrltnr  9811  pnfnlt  9819  xnn0lenn0nn0  9897  inftonninf  10474  pcgcd1  12363  pc2dvds  12365