Theorem pc2dvds 12261

Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc2dvds	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A || B <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   B, p

Proof of Theorem pc2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcdvdstr 12258	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A || B ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) )
2	1	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A || B ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) )
3	2	ralrimiva 2539	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A || B ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) )
4	3	3expia 1195	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) )
5		2prm 12059	. . . . . . . 8 |- 2 e. Prime
6		elex2 2742	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. Prime -> E. w w e. Prime )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- E. w w e. Prime
8		r19.2m 3495	. . . . . . 7 |- ( ( E. w w e. Prime /\ A. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) ) -> E. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) )
9	7, 8	mpan 421	. . . . . 6 |- ( A. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) -> E. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) )
10		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. Prime -> p e. Prime )
11		zq 9564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ZZ -> B e. QQ )
12	11	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. QQ )
13		pcxcl 12243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ B e. QQ ) -> ( p pCnt B ) e. RR* )
14	10, 12, 13	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. RR* )
15		pnfge 9725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p pCnt B ) e. RR* -> ( p pCnt B ) <_ +oo )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) <_ +oo )
17	16	biantrurd 303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( +oo <_ ( p pCnt B ) <-> ( ( p pCnt B ) <_ +oo /\ +oo <_ ( p pCnt B ) ) ) )
18		pc0 12236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> ( p pCnt 0 ) = +oo )
19	18	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt 0 ) = +oo )
20	19	breq1d 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) <-> +oo <_ ( p pCnt B ) ) )
21		pnfxr 7951	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e. RR*
22		xrletri3 9740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p pCnt B ) e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( ( p pCnt B ) = +oo <-> ( ( p pCnt B ) <_ +oo /\ +oo <_ ( p pCnt B ) ) ) )
23	14, 21, 22	sylancl 410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt B ) = +oo <-> ( ( p pCnt B ) <_ +oo /\ +oo <_ ( p pCnt B ) ) ) )
24	17, 20, 23	3bitr4d 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) <-> ( p pCnt B ) = +oo ) )
25		pnfnre 7940	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e/ RR
26	25	neli 2433	. . . . . . . . . . 11 |- -. +oo e. RR
27		eleq1 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p pCnt B ) = +oo -> ( ( p pCnt B ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
28	26, 27	mtbiri 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p pCnt B ) = +oo -> -. ( p pCnt B ) e. RR )
29		simplr 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> B e. ZZ )
30		0zd 9203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> 0 e. ZZ )
31		zdceq 9266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID B = 0 )
32	29, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> DECID B = 0 )
33		pczcl 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. Prime /\ ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) ) -> ( p pCnt B ) e. NN0 )
34	33	nn0red 9168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. Prime /\ ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) ) -> ( p pCnt B ) e. RR )
35	34	adantll 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. Prime ) /\ ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) ) -> ( p pCnt B ) e. RR )
36	35	an4s 578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( p e. Prime /\ B =/= 0 ) ) -> ( p pCnt B ) e. RR )
37	36	expr 373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( B =/= 0 -> ( p pCnt B ) e. RR ) )
38	37	a1d 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> (DECID B = 0 -> ( B =/= 0 -> ( p pCnt B ) e. RR ) ) )
39	38	necon1bddc 2413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> (DECID B = 0 -> ( -. ( p pCnt B ) e. RR -> B = 0 ) ) )
40	32, 39	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( -. ( p pCnt B ) e. RR -> B = 0 ) )
41	28, 40	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt B ) = +oo -> B = 0 ) )
42	24, 41	sylbid 149	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) -> B = 0 ) )
43	42	rexlimdva 2583	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( E. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) -> B = 0 ) )
44		0dvds 11751	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> ( 0 || B <-> B = 0 ) )
45	44	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 || B <-> B = 0 ) )
46	43, 45	sylibrd 168	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( E. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) -> 0 || B ) )
47	9, 46	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) -> 0 || B ) )
48	47	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A = 0 ) -> ( A. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) -> 0 || B ) )
49		oveq2 5850	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> ( p pCnt A ) = ( p pCnt 0 ) )
50	49	breq1d 3992	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) <-> ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) ) )
51	50	ralbidv 2466	. . . . . 6 |- ( A = 0 -> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) ) )
52		breq1 3985	. . . . . 6 |- ( A = 0 -> ( A || B <-> 0 || B ) )
53	51, 52	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( A = 0 -> ( ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) -> A || B ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) -> 0 || B ) ) )
54	53	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A = 0 ) -> ( ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) -> A || B ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt 0 ) <_ ( p pCnt B ) -> 0 || B ) ) )
55	48, 54	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A = 0 ) -> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) -> A || B ) )
56		zdvdsdc 11752	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A || B )
57	56	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> DECID A || B )
58		gcddvds 11896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
59	58	simpld 111	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || A )
60		gcdcl 11899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
61	60	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
62		simpl 108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
63		dvdsabsb 11750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> ( A gcd B ) || ( abs ` A ) ) )
64	61, 62, 63	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> ( A gcd B ) || ( abs ` A ) ) )
65	59, 64	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || ( abs ` A ) )
66	65	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( A gcd B ) || ( abs ` A ) )
67		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = 0 /\ B = 0 ) -> A = 0 )
68	67	necon3ai 2385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= 0 -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
69		gcdn0cl 11895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( A gcd B ) e. NN )
70	68, 69	sylan2 284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. NN )
71	70	nnzd 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
72	70	nnne0d 8902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( A gcd B ) =/= 0 )
73		nnabscl 11042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. NN )
74	73	adantlr 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. NN )
75	74	nnzd 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. ZZ )
76		dvdsval2 11730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A gcd B ) =/= 0 /\ ( abs ` A ) e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || ( abs ` A ) <-> ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
77	71, 72, 75, 76	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) || ( abs ` A ) <-> ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
78	66, 77	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. ZZ )
79		nnre 8864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` A ) e. NN -> ( abs ` A ) e. RR )
80		nngt0 8882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` A ) e. NN -> 0 < ( abs ` A ) )
81	79, 80	jca 304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` A ) e. NN -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 < ( abs ` A ) ) )
82		nnre 8864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A gcd B ) e. NN -> ( A gcd B ) e. RR )
83		nngt0 8882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A gcd B ) e. NN -> 0 < ( A gcd B ) )
84	82, 83	jca 304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A gcd B ) e. NN -> ( ( A gcd B ) e. RR /\ 0 < ( A gcd B ) ) )
85		divgt0 8767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 < ( abs ` A ) ) /\ ( ( A gcd B ) e. RR /\ 0 < ( A gcd B ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) )
86	81, 84, 85	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` A ) e. NN /\ ( A gcd B ) e. NN ) -> 0 < ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) )
87	74, 70, 86	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> 0 < ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) )
88		elnnz 9201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. NN <-> ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. ZZ /\ 0 < ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) )
89	78, 87, 88	sylanbrc 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. NN )
90		elnn1uz2 9545	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. NN <-> ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) = 1 \/ ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
91	89, 90	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) = 1 \/ ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
92	58	simprd 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || B )
93	92	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( A gcd B ) || B )
94		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( ( A gcd B ) = ( abs ` A ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> ( abs ` A ) || B ) )
95	93, 94	syl5ibcom 154	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) = ( abs ` A ) -> ( abs ` A ) || B ) )
96	74	nncnd 8871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
97	70	nncnd 8871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. CC )
98		1cnd 7915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> 1 e. CC )
99	70	nnap0d 8903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( A gcd B ) # 0 )
100	96, 97, 98, 99	divmulapd 8708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) = 1 <-> ( ( A gcd B ) x. 1 ) = ( abs ` A ) ) )
101	97	mulid1d 7916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) x. 1 ) = ( A gcd B ) )
102	101	eqeq1d 2174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( A gcd B ) x. 1 ) = ( abs ` A ) <-> ( A gcd B ) = ( abs ` A ) ) )
103	100, 102	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) = 1 <-> ( A gcd B ) = ( abs ` A ) ) )
104		absdvdsb 11749	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A || B <-> ( abs ` A ) || B ) )
105	104	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( A || B <-> ( abs ` A ) || B ) )
106	95, 103, 105	3imtr4d 202	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) = 1 -> A || B ) )
107		exprmfct 12070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) )
108		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> p e. Prime )
109	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( abs ` A ) e. NN )
110	109	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( abs ` A ) e. ZZ )
111	109	nnne0d 8902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( abs ` A ) =/= 0 )
112	70	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( A gcd B ) e. NN )
113		pcdiv 12234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. Prime /\ ( ( abs ` A ) e. ZZ /\ ( abs ` A ) =/= 0 ) /\ ( A gcd B ) e. NN ) -> ( p pCnt ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) = ( ( p pCnt ( abs ` A ) ) - ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) )
114	108, 110, 111, 112, 113	syl121anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) = ( ( p pCnt ( abs ` A ) ) - ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) )
115		simplll 523	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> A e. ZZ )
116		zq 9564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
117	115, 116	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> A e. QQ )
118		pcabs 12257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. Prime /\ A e. QQ ) -> ( p pCnt ( abs ` A ) ) = ( p pCnt A ) )
119	108, 117, 118	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt ( abs ` A ) ) = ( p pCnt A ) )
120	119	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( p pCnt ( abs ` A ) ) - ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) = ( ( p pCnt A ) - ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) )
121	114, 120	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) = ( ( p pCnt A ) - ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) )
122		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) )
123	89	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. NN )
124		pcelnn 12252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. Prime /\ ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. NN ) -> ( ( p pCnt ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) e. NN <-> p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) )
125	108, 123, 124	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( p pCnt ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) e. NN <-> p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) )
126	122, 125	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) e. NN )
127	121, 126	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( p pCnt A ) - ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) e. NN )
128	108, 112	pccld 12232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) e. NN0 )
129	128	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) e. ZZ )
130		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> A =/= 0 )
131		pczcl 12230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. Prime /\ ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
132	108, 115, 130, 131	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
133	132	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt A ) e. ZZ )
134		znnsub 9242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p pCnt ( A gcd B ) ) e. ZZ /\ ( p pCnt A ) e. ZZ ) -> ( ( p pCnt ( A gcd B ) ) < ( p pCnt A ) <-> ( ( p pCnt A ) - ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) e. NN ) )
135	129, 133, 134	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( p pCnt ( A gcd B ) ) < ( p pCnt A ) <-> ( ( p pCnt A ) - ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) e. NN ) )
136	127, 135	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) < ( p pCnt A ) )
137		zltnle 9237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p pCnt ( A gcd B ) ) e. ZZ /\ ( p pCnt A ) e. ZZ ) -> ( ( p pCnt ( A gcd B ) ) < ( p pCnt A ) <-> -. ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) )
138	129, 133, 137	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( p pCnt ( A gcd B ) ) < ( p pCnt A ) <-> -. ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) )
139	136, 138	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> -. ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( A gcd B ) ) )
140	132	nn0red 9168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt A ) e. RR )
141		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> B e. ZZ )
142		nprmdvds1 12072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> -. p || 1 )
143	142	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> -. p || 1 )
144		gcdid0 11913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ZZ -> ( A gcd 0 ) = ( abs ` A ) )
145	115, 144	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( A gcd 0 ) = ( abs ` A ) )
146	145	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( A gcd 0 ) ) = ( ( abs ` A ) / ( abs ` A ) ) )
147	96	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
148	109	nnap0d 8903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( abs ` A ) # 0 )
149	147, 148	dividapd 8682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( abs ` A ) ) = 1 )
150	146, 149	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( A gcd 0 ) ) = 1 )
151	150	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd 0 ) ) <-> p || 1 ) )
152	143, 151	mtbird 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> -. p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd 0 ) ) )
153		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B = 0 -> ( A gcd B ) = ( A gcd 0 ) )
154	153	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B = 0 -> ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) = ( ( abs ` A ) / ( A gcd 0 ) ) )
155	154	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B = 0 -> ( p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) <-> p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd 0 ) ) ) )
156	122, 155	syl5ibcom 154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( B = 0 -> p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd 0 ) ) ) )
157	156	necon3bd 2379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( -. p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd 0 ) ) -> B =/= 0 ) )
158	152, 157	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> B =/= 0 )
159	108, 141, 158, 33	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt B ) e. NN0 )
160	159	nn0red 9168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt B ) e. RR )
161		lemininf 11175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p pCnt A ) e. RR /\ ( p pCnt A ) e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) -> ( ( p pCnt A ) <_ inf ( { ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) } , RR , < ) <-> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt A ) /\ ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) ) )
162	140, 140, 160, 161	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( p pCnt A ) <_ inf ( { ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) } , RR , < ) <-> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt A ) /\ ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) ) )
163		pcgcd 12260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
164	108, 115, 141, 163	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
165	159	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt B ) e. ZZ )
166		2zinfmin 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p pCnt A ) e. ZZ /\ ( p pCnt B ) e. ZZ ) -> inf ( { ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) } , RR , < ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
167	133, 165, 166	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> inf ( { ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) } , RR , < ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
168	164, 167	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = inf ( { ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) } , RR , < ) )
169	168	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( A gcd B ) ) <-> ( p pCnt A ) <_ inf ( { ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) } , RR , < ) ) )
170	140	leidd 8412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt A ) )
171	170	biantrurd 303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) <-> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt A ) /\ ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) ) )
172	162, 169, 171	3bitr4rd 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) <-> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( A gcd B ) ) ) )
173	139, 172	mtbird 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) ) ) -> -. ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) )
174	173	expr 373	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) -> -. ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) )
175	174	reximdva 2568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( E. p e. Prime p || ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) -> E. p e. Prime -. ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) )
176		rexnalim 2455	. . . . . . . 8 |- ( E. p e. Prime -. ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) -> -. A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) )
177	107, 175, 176	syl56 34	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) )
178	106, 177	orim12d 776	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) = 1 \/ ( ( abs ` A ) / ( A gcd B ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A || B \/ -. A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) ) )
179	91, 178	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( A || B \/ -. A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) )
180	179	ord 714	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( -. A || B -> -. A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) )
181		condc 843	. . . 4 |- (DECID A || B -> ( ( -. A || B -> -. A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) -> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) -> A || B ) ) )
182	57, 180, 181	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) -> A || B ) )
183		0zd 9203	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
184		zdceq 9266	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A = 0 )
185	62, 183, 184	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = 0 )
186		dcne 2347	. . . 4 |- (DECID A = 0 <-> ( A = 0 \/ A =/= 0 ) )
187	185, 186	sylib 121	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = 0 \/ A =/= 0 ) )
188	55, 182, 187	mpjaodan 788	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) -> A || B ) )
189	4, 188	impbid 128	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A || B <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   E.wrex 2445   ifcif 3520   {cpr 3577   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842  infcinf 6948   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   x. cmul 7758   +oocpnf 7930   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   QQcq 9557   abscabs 10939   || cdvds 11727   gcd cgcd 11875   Primecprime 12039   pCnt cpc 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-xnn0 9178  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876  df-prm 12040  df-pc 12217

This theorem is referenced by:  pc11  12262  pcz  12263  pcprmpw2  12264  pockthg  12287