Theorem pw1ne3 7447

Description: The power set of 1o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	|- ~P 1o =/= 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6609	. . . . 5 |- 1o e. 2o
2		ssnel 4667	. . . . 5 |- ( 2o C_ 1o -> -. 1o e. 2o )
3	1, 2	mt2 645	. . . 4 |- -. 2o C_ 1o
4		2onn 6688	. . . . . 6 |- 2o e. om
5	4	elexi 2815	. . . . 5 |- 2o e. _V
6	5	elpw 3658	. . . 4 |- ( 2o e. ~P 1o <-> 2o C_ 1o )
7	3, 6	mtbir 677	. . 3 |- -. 2o e. ~P 1o
8	5	sucid 4514	. . . . 5 |- 2o e. suc 2o
9		df-3o 6583	. . . . 5 |- 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2307	. . . 4 |- 2o e. 3o
11		eleq2 2295	. . . 4 |- ( ~P 1o = 3o -> ( 2o e. ~P 1o <-> 2o e. 3o ) )
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 |- ( ~P 1o = 3o -> 2o e. ~P 1o )
13	7, 12	mto 668	. 2 |- -. ~P 1o = 3o
14	13	neir 2405	1 |- ~P 1o =/= 3o

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   suc csuc 4462   omcom 4688   1oc1o 6574   2oc2o 6575   3oc3o 6576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-1o 6581  df-2o 6582  df-3o 6583

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7451