Theorem pw1ne3 7376

Description: The power set of 1o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	|- ~P 1o =/= 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6551	. . . . 5 |- 1o e. 2o
2		ssnel 4635	. . . . 5 |- ( 2o C_ 1o -> -. 1o e. 2o )
3	1, 2	mt2 641	. . . 4 |- -. 2o C_ 1o
4		2onn 6630	. . . . . 6 |- 2o e. om
5	4	elexi 2789	. . . . 5 |- 2o e. _V
6	5	elpw 3632	. . . 4 |- ( 2o e. ~P 1o <-> 2o C_ 1o )
7	3, 6	mtbir 673	. . 3 |- -. 2o e. ~P 1o
8	5	sucid 4482	. . . . 5 |- 2o e. suc 2o
9		df-3o 6527	. . . . 5 |- 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2283	. . . 4 |- 2o e. 3o
11		eleq2 2271	. . . 4 |- ( ~P 1o = 3o -> ( 2o e. ~P 1o <-> 2o e. 3o ) )
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 |- ( ~P 1o = 3o -> 2o e. ~P 1o )
13	7, 12	mto 664	. 2 |- -. ~P 1o = 3o
14	13	neir 2381	1 |- ~P 1o =/= 3o

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   suc csuc 4430   omcom 4656   1oc1o 6518   2oc2o 6519   3oc3o 6520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-tr 4159  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-1o 6525  df-2o 6526  df-3o 6527

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7380