Theorem pw1ne3 7342

Description: The power set of 1o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	|- ~P 1o =/= 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6528	. . . . 5 |- 1o e. 2o
2		ssnel 4617	. . . . 5 |- ( 2o C_ 1o -> -. 1o e. 2o )
3	1, 2	mt2 641	. . . 4 |- -. 2o C_ 1o
4		2onn 6607	. . . . . 6 |- 2o e. om
5	4	elexi 2784	. . . . 5 |- 2o e. _V
6	5	elpw 3622	. . . 4 |- ( 2o e. ~P 1o <-> 2o C_ 1o )
7	3, 6	mtbir 673	. . 3 |- -. 2o e. ~P 1o
8	5	sucid 4464	. . . . 5 |- 2o e. suc 2o
9		df-3o 6504	. . . . 5 |- 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2281	. . . 4 |- 2o e. 3o
11		eleq2 2269	. . . 4 |- ( ~P 1o = 3o -> ( 2o e. ~P 1o <-> 2o e. 3o ) )
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 |- ( ~P 1o = 3o -> 2o e. ~P 1o )
13	7, 12	mto 664	. 2 |- -. ~P 1o = 3o
14	13	neir 2379	1 |- ~P 1o =/= 3o

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   C_ wss 3166   ~Pcpw 3616   suc csuc 4412   omcom 4638   1oc1o 6495   2oc2o 6496   3oc3o 6497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-1o 6502  df-2o 6503  df-3o 6504

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7346