Theorem pw1ne1 7341

Description: The power set of 1o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	|- ~P 1o =/= 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7338	. . . 4 |- ~P 1o e. On
2	1	onirri 4591	. . 3 |- -. ~P 1o e. ~P 1o
3		df1o2 6515	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
4		pwpw0ss 3845	. . . . . . . 8 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) }
5	3	pweqi 3620	. . . . . . . 8 |- ~P 1o = ~P { (/) }
6	4, 5	sseqtrri 3228	. . . . . . 7 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P 1o
7		0ex 4171	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
8		p0ex 4232	. . . . . . . 8 |- { (/) } e. _V
9	7, 8	prss 3789	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ~P 1o /\ { (/) } e. ~P 1o ) <-> { (/) , { (/) } } C_ ~P 1o )
10	6, 9	mpbir 146	. . . . . 6 |- ( (/) e. ~P 1o /\ { (/) } e. ~P 1o )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- { (/) } e. ~P 1o
12	3, 11	eqeltri 2278	. . . 4 |- 1o e. ~P 1o
13		eleq1 2268	. . . 4 |- ( ~P 1o = 1o -> ( ~P 1o e. ~P 1o <-> 1o e. ~P 1o ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. . 3 |- ( ~P 1o = 1o -> ~P 1o e. ~P 1o )
15	2, 14	mto 664	. 2 |- -. ~P 1o = 1o
16	15	neir 2379	1 |- ~P 1o =/= 1o

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ~Pcpw 3616   {csn 3633   {cpr 3634   1oc1o 6495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-1o 6502

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7343  sucpw1nel3  7345