Theorem pw1ne1 7227

Description: The power set of 1o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	|- ~P 1o =/= 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7224	. . . 4 |- ~P 1o e. On
2	1	onirri 4542	. . 3 |- -. ~P 1o e. ~P 1o
3		df1o2 6429	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
4		pwpw0ss 3804	. . . . . . . 8 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) }
5	3	pweqi 3579	. . . . . . . 8 |- ~P 1o = ~P { (/) }
6	4, 5	sseqtrri 3190	. . . . . . 7 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P 1o
7		0ex 4130	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
8		p0ex 4188	. . . . . . . 8 |- { (/) } e. _V
9	7, 8	prss 3748	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ~P 1o /\ { (/) } e. ~P 1o ) <-> { (/) , { (/) } } C_ ~P 1o )
10	6, 9	mpbir 146	. . . . . 6 |- ( (/) e. ~P 1o /\ { (/) } e. ~P 1o )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- { (/) } e. ~P 1o
12	3, 11	eqeltri 2250	. . . 4 |- 1o e. ~P 1o
13		eleq1 2240	. . . 4 |- ( ~P 1o = 1o -> ( ~P 1o e. ~P 1o <-> 1o e. ~P 1o ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. . 3 |- ( ~P 1o = 1o -> ~P 1o e. ~P 1o )
15	2, 14	mto 662	. 2 |- -. ~P 1o = 1o
16	15	neir 2350	1 |- ~P 1o =/= 1o

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   C_ wss 3129   (/)c0 3422   ~Pcpw 3575   {csn 3592   {cpr 3593   1oc1o 6409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-tr 4102  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-1o 6416

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7229  sucpw1nel3  7231