Theorem pw1ne1 7375

Description: The power set of 1o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	|- ~P 1o =/= 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7372	. . . 4 |- ~P 1o e. On
2	1	onirri 4609	. . 3 |- -. ~P 1o e. ~P 1o
3		df1o2 6538	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
4		pwpw0ss 3859	. . . . . . . 8 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) }
5	3	pweqi 3630	. . . . . . . 8 |- ~P 1o = ~P { (/) }
6	4, 5	sseqtrri 3236	. . . . . . 7 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P 1o
7		0ex 4187	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
8		p0ex 4248	. . . . . . . 8 |- { (/) } e. _V
9	7, 8	prss 3800	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ~P 1o /\ { (/) } e. ~P 1o ) <-> { (/) , { (/) } } C_ ~P 1o )
10	6, 9	mpbir 146	. . . . . 6 |- ( (/) e. ~P 1o /\ { (/) } e. ~P 1o )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- { (/) } e. ~P 1o
12	3, 11	eqeltri 2280	. . . 4 |- 1o e. ~P 1o
13		eleq1 2270	. . . 4 |- ( ~P 1o = 1o -> ( ~P 1o e. ~P 1o <-> 1o e. ~P 1o ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. . 3 |- ( ~P 1o = 1o -> ~P 1o e. ~P 1o )
15	2, 14	mto 664	. 2 |- -. ~P 1o = 1o
16	15	neir 2381	1 |- ~P 1o =/= 1o

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   C_ wss 3174   (/)c0 3468   ~Pcpw 3626   {csn 3643   {cpr 3644   1oc1o 6518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-tr 4159  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-1o 6525

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7377  sucpw1nel3  7379