Theorem pw1ne1 7158

Description: The power set of 1o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	|- ~P 1o =/= 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7155	. . . 4 |- ~P 1o e. On
2	1	onirri 4501	. . 3 |- -. ~P 1o e. ~P 1o
3		df1o2 6373	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
4		pwpw0ss 3767	. . . . . . . 8 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) }
5	3	pweqi 3547	. . . . . . . 8 |- ~P 1o = ~P { (/) }
6	4, 5	sseqtrri 3163	. . . . . . 7 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P 1o
7		0ex 4091	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
8		p0ex 4149	. . . . . . . 8 |- { (/) } e. _V
9	7, 8	prss 3712	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ~P 1o /\ { (/) } e. ~P 1o ) <-> { (/) , { (/) } } C_ ~P 1o )
10	6, 9	mpbir 145	. . . . . 6 |- ( (/) e. ~P 1o /\ { (/) } e. ~P 1o )
11	10	simpri 112	. . . . 5 |- { (/) } e. ~P 1o
12	3, 11	eqeltri 2230	. . . 4 |- 1o e. ~P 1o
13		eleq1 2220	. . . 4 |- ( ~P 1o = 1o -> ( ~P 1o e. ~P 1o <-> 1o e. ~P 1o ) )
14	12, 13	mpbiri 167	. . 3 |- ( ~P 1o = 1o -> ~P 1o e. ~P 1o )
15	2, 14	mto 652	. 2 |- -. ~P 1o = 1o
16	15	neir 2330	1 |- ~P 1o =/= 1o

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   C_ wss 3102   (/)c0 3394   ~Pcpw 3543   {csn 3560   {cpr 3561   1oc1o 6353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-tr 4063  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-1o 6360

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7160  sucpw1nel3  7162