Theorem pw1ne3 7186

Description: The power set of 1_o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6410	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
2		ssnel 4546	. . . . 5 ⊢ (2o ⊆ 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
3	1, 2	mt2 630	. . . 4 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
4		2onn 6489	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
5	4	elexi 2738	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
6	5	elpw 3565	. . . 4 ⊢ (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
7	3, 6	mtbir 661	. . 3 ⊢ ¬ 2o ∈ 𝒫 1o
8	5	sucid 4395	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ suc 2o
9		df-3o 6386	. . . . 5 ⊢ 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2242	. . . 4 ⊢ 2o ∈ 3o
11		eleq2 2230	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 3o → (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ∈ 3o))
12	10, 11	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 3o → 2o ∈ 𝒫 1o)
13	7, 12	mto 652	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 3o
14	13	neir 2339	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   ⊆ wss 3116  𝒫 cpw 3559  suc csuc 4343  ωcom 4567  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378  3_oc3o 6379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-1o 6384  df-2o 6385  df-3o 6386

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7190