Theorem pw1ne3 7355

Description: The power set of 1_o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6538	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
2		ssnel 4622	. . . . 5 ⊢ (2o ⊆ 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
3	1, 2	mt2 641	. . . 4 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
4		2onn 6617	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
5	4	elexi 2786	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
6	5	elpw 3624	. . . 4 ⊢ (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
7	3, 6	mtbir 673	. . 3 ⊢ ¬ 2o ∈ 𝒫 1o
8	5	sucid 4469	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ suc 2o
9		df-3o 6514	. . . . 5 ⊢ 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2282	. . . 4 ⊢ 2o ∈ 3o
11		eleq2 2270	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 3o → (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ∈ 3o))
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 3o → 2o ∈ 𝒫 1o)
13	7, 12	mto 664	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 3o
14	13	neir 2380	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   ⊆ wss 3168  𝒫 cpw 3618  suc csuc 4417  ωcom 4643  1_oc1o 6505  2_oc2o 6506  3_oc3o 6507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-uni 3854  df-int 3889  df-tr 4148  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-1o 6512  df-2o 6513  df-3o 6514

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7359