Theorem pw1ne3 7583

Description: The power set of 1_o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6709	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
2		ssnel 4714	. . . . 5 ⊢ (2o ⊆ 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
3	1, 2	mt2 649	. . . 4 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
4		2onn 6788	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
5	4	elexi 2834	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
6	5	elpw 3694	. . . 4 ⊢ (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
7	3, 6	mtbir 682	. . 3 ⊢ ¬ 2o ∈ 𝒫 1o
8	5	sucid 4560	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ suc 2o
9		df-3o 6683	. . . . 5 ⊢ 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2314	. . . 4 ⊢ 2o ∈ 3o
11		eleq2 2302	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 3o → (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ∈ 3o))
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 3o → 2o ∈ 𝒫 1o)
13	7, 12	mto 672	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 3o
14	13	neir 2423	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  suc csuc 4508  ωcom 4735  1_oc1o 6674  2_oc2o 6675  3_oc3o 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-int 3969  df-tr 4228  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-1o 6681  df-2o 6682  df-3o 6683

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7587