Theorem pw1ne3 7207

Description: The power set of 1_o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6421	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
2		ssnel 4553	. . . . 5 ⊢ (2o ⊆ 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
3	1, 2	mt2 635	. . . 4 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
4		2onn 6500	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
5	4	elexi 2742	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
6	5	elpw 3572	. . . 4 ⊢ (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
7	3, 6	mtbir 666	. . 3 ⊢ ¬ 2o ∈ 𝒫 1o
8	5	sucid 4402	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ suc 2o
9		df-3o 6397	. . . . 5 ⊢ 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2246	. . . 4 ⊢ 2o ∈ 3o
11		eleq2 2234	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 3o → (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ∈ 3o))
12	10, 11	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 3o → 2o ∈ 𝒫 1o)
13	7, 12	mto 657	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 3o
14	13	neir 2343	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   ⊆ wss 3121  𝒫 cpw 3566  suc csuc 4350  ωcom 4574  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389  3_oc3o 6390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-1o 6395  df-2o 6396  df-3o 6397

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7211