Theorem pw1ne3 7224

Description: The power set of 1_o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6438	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
2		ssnel 4566	. . . . 5 ⊢ (2o ⊆ 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
3	1, 2	mt2 640	. . . 4 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
4		2onn 6517	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
5	4	elexi 2749	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
6	5	elpw 3581	. . . 4 ⊢ (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
7	3, 6	mtbir 671	. . 3 ⊢ ¬ 2o ∈ 𝒫 1o
8	5	sucid 4415	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ suc 2o
9		df-3o 6414	. . . . 5 ⊢ 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2253	. . . 4 ⊢ 2o ∈ 3o
11		eleq2 2241	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 3o → (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ∈ 3o))
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 3o → 2o ∈ 𝒫 1o)
13	7, 12	mto 662	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 3o
14	13	neir 2350	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   ⊆ wss 3129  𝒫 cpw 3575  suc csuc 4363  ωcom 4587  1_oc1o 6405  2_oc2o 6406  3_oc3o 6407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3809  df-int 3844  df-tr 4100  df-iord 4364  df-on 4366  df-suc 4369  df-iom 4588  df-1o 6412  df-2o 6413  df-3o 6414

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7228