Theorem pw1ne3 7246

Description: The power set of 1_o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6460	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
2		ssnel 4582	. . . . 5 ⊢ (2o ⊆ 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
3	1, 2	mt2 641	. . . 4 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
4		2onn 6539	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
5	4	elexi 2763	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
6	5	elpw 3595	. . . 4 ⊢ (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
7	3, 6	mtbir 672	. . 3 ⊢ ¬ 2o ∈ 𝒫 1o
8	5	sucid 4431	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ suc 2o
9		df-3o 6436	. . . . 5 ⊢ 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2264	. . . 4 ⊢ 2o ∈ 3o
11		eleq2 2252	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 3o → (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ∈ 3o))
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 3o → 2o ∈ 𝒫 1o)
13	7, 12	mto 663	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 3o
14	13	neir 2362	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Syntax hints:   = wceq 1363   ∈ wcel 2159   ≠ wne 2359   ⊆ wss 3143  𝒫 cpw 3589  suc csuc 4379  ωcom 4603  1_oc1o 6427  2_oc2o 6428  3_oc3o 6429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-uni 3824  df-int 3859  df-tr 4116  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-1o 6434  df-2o 6435  df-3o 6436

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7250