Theorem pw1ne3 7448

Description: The power set of 1_o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6610	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
2		ssnel 4667	. . . . 5 ⊢ (2o ⊆ 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
3	1, 2	mt2 645	. . . 4 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
4		2onn 6689	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
5	4	elexi 2815	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
6	5	elpw 3658	. . . 4 ⊢ (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
7	3, 6	mtbir 677	. . 3 ⊢ ¬ 2o ∈ 𝒫 1o
8	5	sucid 4514	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ suc 2o
9		df-3o 6584	. . . . 5 ⊢ 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2307	. . . 4 ⊢ 2o ∈ 3o
11		eleq2 2295	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 3o → (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ∈ 3o))
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 3o → 2o ∈ 𝒫 1o)
13	7, 12	mto 668	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 3o
14	13	neir 2405	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  suc csuc 4462  ωcom 4688  1_oc1o 6575  2_oc2o 6576  3_oc3o 6577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-1o 6582  df-2o 6583  df-3o 6584

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7452