Theorem pw1ne3 7313

Description: The power set of 1_o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6509	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
2		ssnel 4606	. . . . 5 ⊢ (2o ⊆ 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
3	1, 2	mt2 641	. . . 4 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
4		2onn 6588	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
5	4	elexi 2775	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
6	5	elpw 3612	. . . 4 ⊢ (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
7	3, 6	mtbir 672	. . 3 ⊢ ¬ 2o ∈ 𝒫 1o
8	5	sucid 4453	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ suc 2o
9		df-3o 6485	. . . . 5 ⊢ 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2272	. . . 4 ⊢ 2o ∈ 3o
11		eleq2 2260	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 3o → (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ∈ 3o))
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 3o → 2o ∈ 𝒫 1o)
13	7, 12	mto 663	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 3o
14	13	neir 2370	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ⊆ wss 3157  𝒫 cpw 3606  suc csuc 4401  ωcom 4627  1_oc1o 6476  2_oc2o 6477  3_oc3o 6478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-tr 4133  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-1o 6483  df-2o 6484  df-3o 6485

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7317