Theorem pw1ne3 7292

Description: The power set of 1_o is not three. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne3	⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Proof of Theorem pw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6497	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
2		ssnel 4602	. . . . 5 ⊢ (2o ⊆ 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
3	1, 2	mt2 641	. . . 4 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
4		2onn 6576	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
5	4	elexi 2772	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
6	5	elpw 3608	. . . 4 ⊢ (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
7	3, 6	mtbir 672	. . 3 ⊢ ¬ 2o ∈ 𝒫 1o
8	5	sucid 4449	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ suc 2o
9		df-3o 6473	. . . . 5 ⊢ 3o = suc 2o
10	8, 9	eleqtrri 2269	. . . 4 ⊢ 2o ∈ 3o
11		eleq2 2257	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 3o → (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ∈ 3o))
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 3o → 2o ∈ 𝒫 1o)
13	7, 12	mto 663	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 3o
14	13	neir 2367	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 3o

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   ⊆ wss 3154  𝒫 cpw 3602  suc csuc 4397  ωcom 4623  1_oc1o 6464  2_oc2o 6465  3_oc3o 6466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-tr 4129  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-1o 6471  df-2o 6472  df-3o 6473

This theorem is referenced by:  3nelsucpw1  7296