Theorem rescnvcnv 5071

Description: The restriction of the double converse of a class. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rescnvcnv	⊢ (◡◡𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ 𝐵)

Proof of Theorem rescnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv2 5062	. . 3 ⊢ ◡◡𝐴 = (𝐴 ↾ V)
2	1	reseq1i 4885	. 2 ⊢ (◡◡𝐴 ↾ 𝐵) = ((𝐴 ↾ V) ↾ 𝐵)
3		resres 4901	. 2 ⊢ ((𝐴 ↾ V) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ (V ∩ 𝐵))
4		ssv 3169	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ V
5		sseqin2 3346	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ V ↔ (V ∩ 𝐵) = 𝐵)
6	4, 5	mpbi 144	. . 3 ⊢ (V ∩ 𝐵) = 𝐵
7	6	reseq2i 4886	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ (V ∩ 𝐵)) = (𝐴 ↾ 𝐵)
8	2, 3, 7	3eqtri 2195	1 ⊢ (◡◡𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1348  Vcvv 2730   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ^◡ccnv 4608   ↾ cres 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-res 4621

This theorem is referenced by:  cnvcnvres  5072  imacnvcnv  5073  resdm2  5099  resdmres  5100  coires1  5126  cocnvres  5133  f1oresrab  5659