Theorem rescnvcnv 5009

Description: The restriction of the double converse of a class. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rescnvcnv	⊢ (◡◡𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ 𝐵)

Proof of Theorem rescnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv2 5000	. . 3 ⊢ ◡◡𝐴 = (𝐴 ↾ V)
2	1	reseq1i 4823	. 2 ⊢ (◡◡𝐴 ↾ 𝐵) = ((𝐴 ↾ V) ↾ 𝐵)
3		resres 4839	. 2 ⊢ ((𝐴 ↾ V) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ (V ∩ 𝐵))
4		ssv 3124	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ V
5		sseqin2 3300	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ V ↔ (V ∩ 𝐵) = 𝐵)
6	4, 5	mpbi 144	. . 3 ⊢ (V ∩ 𝐵) = 𝐵
7	6	reseq2i 4824	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ (V ∩ 𝐵)) = (𝐴 ↾ 𝐵)
8	2, 3, 7	3eqtri 2165	1 ⊢ (◡◡𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1332  Vcvv 2689   ∩ cin 3075   ⊆ wss 3076  ^◡ccnv 4546   ↾ cres 4549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-res 4559

This theorem is referenced by:  cnvcnvres  5010  imacnvcnv  5011  resdm2  5037  resdmres  5038  coires1  5064  cocnvres  5071  f1oresrab  5593