ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1bg Unicode version

Theorem en1bg 6826
Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
en1bg  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~~  1o  <->  A  =  { U. A } ) )

Proof of Theorem en1bg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en1 6825 . . 3  |-  ( A 
~~  1o  <->  E. x  A  =  { x } )
2 id 19 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { x } )
3 unieq 3833 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  U. { x } )
4 vex 2755 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54unisn 3840 . . . . . . 7  |-  U. {
x }  =  x
63, 5eqtrdi 2238 . . . . . 6  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  x )
76sneqd 3620 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  { U. A }  =  { x } )
82, 7eqtr4d 2225 . . . 4  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { U. A } )
98exlimiv 1609 . . 3  |-  ( E. x  A  =  {
x }  ->  A  =  { U. A }
)
101, 9sylbi 121 . 2  |-  ( A 
~~  1o  ->  A  =  { U. A }
)
11 uniexg 4457 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
12 ensn1g 6823 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  { U. A }  ~~  1o )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { U. A }  ~~  1o )
14 breq1 4021 . . 3  |-  ( A  =  { U. A }  ->  ( A  ~~  1o 
<->  { U. A }  ~~  1o ) )
1513, 14syl5ibrcom 157 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  { U. A }  ->  A  ~~  1o ) )
1610, 15impbid2 143 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~~  1o  <->  A  =  { U. A } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {csn 3607   U.cuni 3824   class class class wbr 4018   1oc1o 6434    ~~ cen 6764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-suc 4389  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1o 6441  df-en 6767
This theorem is referenced by:  en1uniel  6830
  Copyright terms: Public domain W3C validator