Theorem en1bg 6738

Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
en1bg	|- ( A e. V -> ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } ) )

Proof of Theorem en1bg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1 6737	. . 3 |- ( A ~~ 1o <-> E. x A = { x } )
2		id 19	. . . . 5 |- ( A = { x } -> A = { x } )
3		unieq 3781	. . . . . . 7 |- ( A = { x } -> U. A = U. { x } )
4		vex 2715	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5	4	unisn 3788	. . . . . . 7 |- U. { x } = x
6	3, 5	eqtrdi 2206	. . . . . 6 |- ( A = { x } -> U. A = x )
7	6	sneqd 3573	. . . . 5 |- ( A = { x } -> { U. A } = { x } )
8	2, 7	eqtr4d 2193	. . . 4 |- ( A = { x } -> A = { U. A } )
9	8	exlimiv 1578	. . 3 |- ( E. x A = { x } -> A = { U. A } )
10	1, 9	sylbi 120	. 2 |- ( A ~~ 1o -> A = { U. A } )
11		uniexg 4398	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
12		ensn1g 6735	. . . 4 |- ( U. A e. _V -> { U. A } ~~ 1o )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( A e. V -> { U. A } ~~ 1o )
14		breq1 3968	. . 3 |- ( A = { U. A } -> ( A ~~ 1o <-> { U. A } ~~ 1o ) )
15	13, 14	syl5ibrcom 156	. 2 |- ( A e. V -> ( A = { U. A } -> A ~~ 1o ) )
16	10, 15	impbid2 142	1 |- ( A e. V -> ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   {csn 3560   U.cuni 3772   class class class wbr 3965   1oc1o 6350   ~~ cen 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-suc 4330  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-1o 6357  df-en 6679

This theorem is referenced by:  en1uniel  6742