ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1bg Unicode version

Theorem en1bg 6793
Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
en1bg  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~~  1o  <->  A  =  { U. A } ) )

Proof of Theorem en1bg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en1 6792 . . 3  |-  ( A 
~~  1o  <->  E. x  A  =  { x } )
2 id 19 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { x } )
3 unieq 3816 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  U. { x } )
4 vex 2740 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54unisn 3823 . . . . . . 7  |-  U. {
x }  =  x
63, 5eqtrdi 2226 . . . . . 6  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  x )
76sneqd 3604 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  { U. A }  =  { x } )
82, 7eqtr4d 2213 . . . 4  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { U. A } )
98exlimiv 1598 . . 3  |-  ( E. x  A  =  {
x }  ->  A  =  { U. A }
)
101, 9sylbi 121 . 2  |-  ( A 
~~  1o  ->  A  =  { U. A }
)
11 uniexg 4435 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
12 ensn1g 6790 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  { U. A }  ~~  1o )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { U. A }  ~~  1o )
14 breq1 4003 . . 3  |-  ( A  =  { U. A }  ->  ( A  ~~  1o 
<->  { U. A }  ~~  1o ) )
1513, 14syl5ibrcom 157 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  { U. A }  ->  A  ~~  1o ) )
1610, 15impbid2 143 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~~  1o  <->  A  =  { U. A } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {csn 3591   U.cuni 3807   class class class wbr 4000   1oc1o 6403    ~~ cen 6731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-suc 4367  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-1o 6410  df-en 6734
This theorem is referenced by:  en1uniel  6797
  Copyright terms: Public domain W3C validator