Theorem en1bg 6952

Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
en1bg	|- ( A e. V -> ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } ) )

Proof of Theorem en1bg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1 6951	. . 3 |- ( A ~~ 1o <-> E. x A = { x } )
2		id 19	. . . . 5 |- ( A = { x } -> A = { x } )
3		unieq 3897	. . . . . . 7 |- ( A = { x } -> U. A = U. { x } )
4		vex 2802	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5	4	unisn 3904	. . . . . . 7 |- U. { x } = x
6	3, 5	eqtrdi 2278	. . . . . 6 |- ( A = { x } -> U. A = x )
7	6	sneqd 3679	. . . . 5 |- ( A = { x } -> { U. A } = { x } )
8	2, 7	eqtr4d 2265	. . . 4 |- ( A = { x } -> A = { U. A } )
9	8	exlimiv 1644	. . 3 |- ( E. x A = { x } -> A = { U. A } )
10	1, 9	sylbi 121	. 2 |- ( A ~~ 1o -> A = { U. A } )
11		uniexg 4530	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
12		ensn1g 6949	. . . 4 |- ( U. A e. _V -> { U. A } ~~ 1o )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( A e. V -> { U. A } ~~ 1o )
14		breq1 4086	. . 3 |- ( A = { U. A } -> ( A ~~ 1o <-> { U. A } ~~ 1o ) )
15	13, 14	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( A e. V -> ( A = { U. A } -> A ~~ 1o ) )
16	10, 15	impbid2 143	1 |- ( A e. V -> ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   U.cuni 3888   class class class wbr 4083   1oc1o 6555   ~~ cen 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6562  df-en 6888

This theorem is referenced by:  en1uniel  6956