ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1bg Unicode version

Theorem en1bg 6497
Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
en1bg  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~~  1o  <->  A  =  { U. A } ) )

Proof of Theorem en1bg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en1 6496 . . 3  |-  ( A 
~~  1o  <->  E. x  A  =  { x } )
2 id 19 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { x } )
3 unieq 3657 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  U. { x } )
4 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54unisn 3664 . . . . . . 7  |-  U. {
x }  =  x
63, 5syl6eq 2136 . . . . . 6  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  x )
76sneqd 3454 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  { U. A }  =  { x } )
82, 7eqtr4d 2123 . . . 4  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { U. A } )
98exlimiv 1534 . . 3  |-  ( E. x  A  =  {
x }  ->  A  =  { U. A }
)
101, 9sylbi 119 . 2  |-  ( A 
~~  1o  ->  A  =  { U. A }
)
11 uniexg 4256 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
12 ensn1g 6494 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  { U. A }  ~~  1o )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { U. A }  ~~  1o )
14 breq1 3840 . . 3  |-  ( A  =  { U. A }  ->  ( A  ~~  1o 
<->  { U. A }  ~~  1o ) )
1513, 14syl5ibrcom 155 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  { U. A }  ->  A  ~~  1o ) )
1610, 15impbid2 141 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~~  1o  <->  A  =  { U. A } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3441   U.cuni 3648   class class class wbr 3837   1oc1o 6156    ~~ cen 6435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-suc 4189  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-1o 6163  df-en 6438
This theorem is referenced by:  en1uniel  6501
  Copyright terms: Public domain W3C validator