Theorem en1bg 6766

Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
en1bg	|- ( A e. V -> ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } ) )

Proof of Theorem en1bg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1 6765	. . 3 |- ( A ~~ 1o <-> E. x A = { x } )
2		id 19	. . . . 5 |- ( A = { x } -> A = { x } )
3		unieq 3798	. . . . . . 7 |- ( A = { x } -> U. A = U. { x } )
4		vex 2729	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5	4	unisn 3805	. . . . . . 7 |- U. { x } = x
6	3, 5	eqtrdi 2215	. . . . . 6 |- ( A = { x } -> U. A = x )
7	6	sneqd 3589	. . . . 5 |- ( A = { x } -> { U. A } = { x } )
8	2, 7	eqtr4d 2201	. . . 4 |- ( A = { x } -> A = { U. A } )
9	8	exlimiv 1586	. . 3 |- ( E. x A = { x } -> A = { U. A } )
10	1, 9	sylbi 120	. 2 |- ( A ~~ 1o -> A = { U. A } )
11		uniexg 4417	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
12		ensn1g 6763	. . . 4 |- ( U. A e. _V -> { U. A } ~~ 1o )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( A e. V -> { U. A } ~~ 1o )
14		breq1 3985	. . 3 |- ( A = { U. A } -> ( A ~~ 1o <-> { U. A } ~~ 1o ) )
15	13, 14	syl5ibrcom 156	. 2 |- ( A e. V -> ( A = { U. A } -> A ~~ 1o ) )
16	10, 15	impbid2 142	1 |- ( A e. V -> ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {csn 3576   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   1oc1o 6377   ~~ cen 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-en 6707

This theorem is referenced by:  en1uniel  6770